В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Применения основной теоремыПрименим предыдущую теорему к алгебре элементарных множеств в отрезке (в случае Rn — в n-мерном кубе) I с мерой µ, равной длине (соответственно n-мерному объёму). На этой алгебре функция µ счётно-аддитивна(так как существует компактный класс). Такое продолжение называется мерой Лебега, а множества из Lµ —измеримыми по Лебегу. Заметим, что Lµ ⊃ B(I).Теорему 2.12 можно применить к любой неотрицательной аддитивной функции на алгебре элементарныхмножеств в I. В результате получим неотрицательную меру на некоторой σ-алгебре, содержащей σ-алгебруB(I).
Ограничение этой меры на B(I) называется борелевской мерой. Ясно, что любая неотрицательная счётноаддитивная мера на B(I) является борелевской.Замечание. Кроме алгебр рассматривают ещё кольца и полукольца. Кольцо R допускает операции ∪, ∩,\, и, кроме того, ∅ ∈ R. Не всегда имеем X ∈ R, поэтому кольцо, вообще говоря, не является алгеброй.Например, ограниченные множества в R образуют кольцо. Полукольцо R0 ⊂ 2X — это система множеств,которая вместе с любыми двумя множествами A, B содержит их пересечение A ∩ B, а разность A\B (которая необязательно сама лежит в R0 ) может быть представлена в виде A\B = R1 ⊔ .
. . ⊔ Rm для некоторых множествR1 , . . . , Rm ∈ R0 . Примером полукольца является класс {[α, β)} ⊂ R, причём он не является кольцом. Можнолегко проверить, что счётно-аддитивная мера на R0 продолжается до счётно-аддитивной меры на кольце R,порождённом полукольцом R0 (это кольцо составляют конечные объединения элементов из R0 ). Далее, с кольцаR эта мера продолжается на σ-алгебру σ(R).Пример 2.1. Мера Лебега-Стилтьеса. Пусть дана вероятностная борелевская мера µ на R (термин «вероятностная мера» означает, что мера всего пространства равна 1). Функция распределения этой меры естьFµ (t) = µ((−∞, t)).
Функция распределения обладает следующими свойствами:1) Fµ монотонно не убывает;2) Fµ (t) → 1 при t → +∞;3) Fµ (t) → 0 при t → −∞;4) Fµ непрерывна слева.Примеры мер Лебега-Стилтьеса:1◦ . Мера Лебега λ на отрезке [0, 1]. Функция распределения для этой меры имеет вид0, t 6 0;Fλ (t) = t, t ∈ [0, 1];1, t > 1.92◦ . Мера δ Дирака в нуле. Функция распределения(Fδ (t) =0,1,t 6 0;t>0имеет скачок в точке t = 0.
Вообще из равенства µ((−∞, t]) = µ((−∞, t)) + µ({t}) следует, что функция Fµ имеетскачок в точке t тогда и только тогда, когда µ({t}) > 0. В нашем случае δ({0}) = 1.Обратно, если функция F (t) обладает свойствами 1)–4) функций распределения, то существует единственнаявероятностная борелевская мера µ, такая что Fµ (t) = F (t). В самом деле, заметим, что F имеет не более чемсчётное число точек разрыва. Тогда возьмём в R счётное всюду плотное множество S точек непрерывностифункции F и рассмотрим алгебру A конечных объединений промежутков вида {α, β}, (−∞, α}, {α, +∞) (скобки"{"и "}"заменяют любые из скобок "( "[" и ") "]" соответственно), где α, β ∈ S. Для любых α, β ∈ S, α < β,положим µ({α, β}) = F (β) − F (α), µ((−∞, α}) = F (α), µ({α, +∞)) = 1 − F (α).
Таким образом, мы задали меруна алгебре A . Ясно, что эта мера конечно-аддитивна.Замечание. На самом деле µ счётно-аддитивна, ибо существует компактный класс (для лучей всё следуетиз определений функции F на ±∞).Основная теорема о продолжении меры (теорема 2.12) даёт меру µ на B(R) (так как σ(A ) = B(R)), её-то иназывают мерой Лебега-Стилтьеса.2.4.4. Свойства меры Лебега в RnПредложение 2.13. Пусть множество A ⊂ Rn измеримо по Лебегу и λn — мера Лебега в Rn . Тогда:1. Для любого вектора h ∈ Rn множество A + h тоже измеримо по Лебегу и λn (A + h) = λn (A).2. Для любого ε > 0 существуют компактное множество Kε ⊂ A и открытое множество Uε ⊃ A, такиечто λn (Uε ) − ε 6 λn (A) 6 λn (Kε ) + ε.
1. Следует из того, что доказываемое верно для элементарных множеств, поэтому это верно и длявнешней меры.∞P2. Из определения следует, что существуют элементарные множества Ek , такие что λn (A) >λn (Ek ) − ε иA⊂∞Sk=1Ek . Более общим образом, можно считать, что все Ek открыты. Поэтому можно положить Uε =k=1∞SEk .k=1Взяв дополнение множества A до куба и применив к нему доказанное, получим вписанный в A компакт близкоймеры.
Задача 2.5. Пусть O — ортогональный оператор в Rn . Тогда для любого измеримого множества A имеемλn (A) = λn (O(A)).Пример 2.2. Пусть I — бесконечномерный куб: I = {(x1 , x2 , x3 , . . .) : xi ∈ [0, 1]}. В I есть алгебра цилиндроввида C = {(xi ) ∈ I : (x1 , . . . , xn ) ∈ B}, где B ∈ B([0, 1]n ), n ∈ N. Множество B называется основанием цилиндраC.Задача 2.6. Это действительно алгебра.Задача 2.7. Пусть λ∞ (C) = λn (B). Показать, что эта функция корректно определяет меру на алгебрецилиндров.Задача 2.8.
Класс цилиндров с компактными основаниями компактен. Следствие: мера λ∞ счётно-аддитивна.Пример неизмеримого по Лебегу множества. Рассмотрим отрезок [0, 1] и введём на нём отношение x ∼ y ⇔⇔ x − y ∈ Q. То, что это отношение эквивалентности, сомнения не вызывает. В каждом классе эквивалентностичисло точек счётно. По аксиоме выбора существует множество E, содержащее ровно по одному элементу каждогокласса. Покажем, что множество E неизмеримо по Лебегу. Предположим противное. Заметим сначала, что(E + r1 ) ∩ (E + r2 ) = ∅ при любых r1 , r2 ∈ Q. Далее, λ(E) = λ(E + r) при любом r ∈ Q в силу инвариантностимеры Лебега при сдвиге. Пусть λ(E) = 0.
Тогда заметим, чтоSотрезок [0, 1] содержитсяв объединенииPмножествPвида E + r при r ∈ [−1, 1] ∩ Q. Значит, 1 = λ([0, 1]) 6 λ((E + r)) 6λ(E + r) =0=0r∈[−1,1]∩Qr∈[−1,1]∩Qr∈[−1,1]∩QF— противоречие. Теперь предположим, что λ(E) = d > 0. Тогда имеем [−1, 2] ⊂(E + r). Значит, 3 =r∈[0,1]∩QSPP= λ([−1, 2]) > λ((E + r)) >λ(E + r) =d = ∞. Противоречие.r∈[0,1]∩Qr∈[0,1]∩Qr∈[0,1]∩QЗадача 2.9.
Построить пример множества E ⊂ [0, 1], такого что λ∗ (E) = 0, λ∗ (E) = 1, где λ∗ (E) =∞∞PF= sup{λ(An ) : An ∈ A , E ⊃An }.n=1n=110Теперь приведём пример множества, неизмеримого относительно какой-либо меры. Возьмём X = {0, 1},положим µ(∅) = 0, µ({X}) = 1, A = {∅, X}. Тогда ясно, что множество {1} неизмеримо.2.4.5.
Описание измеримых множествПредложение 2.14. Пусть A — некоторая σ-алгебра подмножеств X с заданной на ней σ-аддитивноймерой µ и A ⊂ X. Тогда A ∈ Lµ ⇔ A = A0 ∪ Z, где A0 ∈ A и µ∗ (Z) = 0. Иными словами, существуютмножества A1 , A2 ∈ A , такие что A1 ⊂ A ⊂ A2 и µ(A1 ) = µ(A2 ). В обратную сторону доказываемое утверждение ясно. Докажем его в прямую. Если A ∈ Lµ , то для∞∞PSвсякого ε > 0 существуют множества Bk ∈ A , такие что µ∗ (A) >µ(Bk ) − ε и A ⊂Bk . ПоложимA2,ε =∞Sk=1∗Bk ∈ A .
Тогда имеем µ (A) > µ(A2,ε ) − ε. Теперь берём A2 =∞Tm=1k=1k=1A2, m1 ∈ A , тогда µ∗ (A) = µ(A2 ).Дополнение к множеству A входит в Lµ , применим к нему доказанное. Получим множество B ∈ A , такое чтоX\A ⊂ B и µ∗ (X\A) = µ(B). Тогда множество A1 = X\B удовлетворяет нашим требованиям. 2.5. Измеримые функции на пространствах с мерамиПусть µ > 0 — мера на σ-алгебре A в X. Отныне σ-алгебру Lµ множеств, измеримых по Лебегу относительномеры µ, будем обозначать через Aµ , а продолжение µ∗ меры µ на σ-алгебру Aµ будем обозначать тем жесимволом µ.Отметим, что развиваемая нами теория в основном относится к случаю, когда µ(X) < ∞, на это следуетобратить внимание.
Но большинство теорем, которые мы докажем, также справедливы и для случая µ(X) = ∞.Об этом см. п. 3.5.2.Определение. Функции, измеримые относительно Aµ , назовём µ-измеримыми. Кроме того, функцию fбудем считать µ-измеримой, если она определена на множестве X0 ∈ Aµ , таком что µ(X\X0 ) = 0 (это называется«f определена µ-почти всюду»), и функция f |X0 является µ-измеримой, где µ рассматривается на X0 . При этомна X\X0 функция f может быть не определена или принимать значения ±∞. Фактически требуется выполнениеусловия {x ∈ X0 : f (x) < c} ∈ Aµ для любого c ∈ R.Замечание.
В дальнейшем фразы «почти всюду», «почти всех» и т.д. будем часто заменять сокращением«п.в.»Определение. Пусть есть последовательность функций f1 , f2 , . . ., определённых µ-почти всюду. Говорят,µ−п.в.п.в.что fn → f µ-почти всюду (обозначения: fn −−−−→ f или fn −−→ f , если ясно, о какой мере идёт речь), еслиf (x) = lim fn (x) для µ-почти всех x.n→∞По доказанному ранее (теорема 2.5, п. 5)), если функции fn µ-измеримы и fn → f µ-п.в., то функция fтакже µ-измерима.2.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
