Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если переменные x, y имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов), чащевсего область G представляет собой положительный квадрантправой полуплоскости:0≤ x< ∞, 0 ≤ y < ∞.Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадьюареала обитания. Тогда область значений переменных имеетвид:x ≤ 0 ≤ x*, y ≤ 0 ≤ y*,где x*, y* — максимально возможные значение переменных x, y.Пуанкаре Жюль Анри(Jules Henri Poincaré,1854–1912) — великийфранцузский математик, физик, философи теоретик науки.
Пуанкаре был математиком-универсалом, емупринадлежат работыпо созданной им новойнауке — топологии, потеории вероятностей,теории дифференциальных уравнений, неевклидовой геометрии,интегральнымуравнениям, теории чисел.Он работал также в области математическойфизики: механики, теории потенциала, теориитеплопроводности, электромагнетизма и астрономии.ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХПеременные x, y во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (4.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (x, y).Смещение изображающей точки системы задается суммой векторов Δx и Δyв точке (x, y). Направление смещения Δy/Δx зависит от знака функций P(x, y),Q(x, y). Возможные варианты представлены в таблице:82yΔyP(x, y) > 0, Q(x, y) > 0ΔxxyΔxРис.
4.1. Изображающая точка на фазовой плоскости.Обратно, каждой паре переменных (x, y) соответствует определенное состояние системы.Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значенияпеременных x, y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенномусостоянию системы.
Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x, y) называется изображающей или представляющей точкой.Пусть в начальный момент времени t = t0 координаты изображающей точкиМ0(x(t0), y(t0)). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x(t), y(t). Совокупность точек М(x(t), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t),y(t) согласно уравнениям (4.1), называется фазовой траекторией.Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы.
Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1).Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение Δt > 0, получим соответствующие приращения Δx и Δy из выраженийΔx = P(x, y) Δt,Δy = Q(x, y) Δt.ΔyP(x, y) < 0, Q(x, y) < 0xyΔxΔyP(x, y) > 0, Q(x, y) < 0xyΔyP(x, y) < 0, Q(x, y) > 0Δxx83ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХМожно получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде.Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое:Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x, y), координатыкоторой удовлетворяют условиям84dy Q( x, y )=.dx P( x, y )(4.2)Решение этого уравнения y = y(x, c) (или, в неявном виде) F(x, y) = c, где с —постоянная интегрирования) дает семейство интегральных кривых уравнения(4.2) — фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости (x, y).Метод изоклинДля построения фазового портрета пользуются методом изоклин — на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом.
Уравнение изоклин легко получить из (4.2). Положимdy= A,dxгде А — определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и может принимать значения от –∞ до +∞. Подставляя вместо dy/dx в (4.2) величину А, получим уравнениеизоклин:dy Q( x, y )=.(4.3)dx P( x, y )Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, гдеP(x, y) = 0, Q(x, y) = 0, в которой направление касательной становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной:dy Q( x, y ).=dx P( x, y )P( x , y ) = 0, Q ( x , y ) = 0,мы найдем точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно.
Это — особаяточка, которая соответствует стационарному состоянию системы (рис. 4.2). Система (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся другот друга только началом отсчета времени.Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве (x, y, t).Таким образом, фазовые траектории системы — это проекции интегральныхкривых в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость (x, y) (рис.
4.3).Эта точка является точкой пересечения всех изоклин — особой точкой (точкойпокоя). В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных x и y.dxdt= P( x , y ) = 0,x,ydydt= Q( x , y ) = 0.x,yТаким образом, в особой точке скорости изменения переменных равны нулю.Следовательно, особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий(4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1), а ее координаты —суть стационарные значения переменных x, y.Особый интерес представляют главные изоклины:dy/dx = 0, Q(x, y) = 0 — изоклина горизонтальных касательных иdy/dx = ∞, P(x, y) = 0 — изоклина вертикальных касательных.85Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве (x, y, t).86ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХЕсли условия теоремы Коши выполнены, то через каждуюточку пространства (x, y, t) проходит единственная интегральная кривая.
То же справедливо, благодаря автономности, дляфазовых траекторий: через каждую точку фазовой плоскостипроходит единственная фазовая траектория.Коши Огюстен Луи(Cauchy Augustin Louis,1789–1857) — великийфранцузский математик. Разработал основыматематическогоанализа, автор многихосновополагающих работ в области алгебры,математической физики и других областейматематики.Устойчивость стационарного состоянияПусть система находится в состоянии равновесия.Тогда изображающая точка находится в одной из особыхточек системы, в которых по определениюdx= 0;dtdy=0.dtУстойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет илине уйдет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости наязыке ε, δ выглядит следующим образом.Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия (ε) можно указать область δ(ε ), окружающуюсостояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория,которая начинается внутри области δ, никогда не достигнет границы ε(рис.
4.4)Линейные системыРассмотрим систему двух линейных уравнений:dx= ax + by,dtdy= cx + dy.dt(4.4)Здесь a, b, c, d — константы, x, y — декартовы координаты на фазовой плоскости.Общее решение будем искать в видеx = Aeλ t ,y = Beλ t .(4.5)Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на eλt:λ A = aA + bB,λ B = cA + dB.(4.6)Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными A, B имеет ненулевоерешение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:⎛a − λ⎜⎝ cb ⎛⎜ =0.d −λ⎝Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:λ 2 − (a + d ) λ + (ad − bc) = 0 .(4.7)Решение этого уравнения дает значения показателя λ1,2, при которых возможны ненулевые для A и B решения уравнения (4.6).
Эти значения сутьλ 1,2 =Рис. 4.4. Иллюстрация к определениюустойчивости области ε и δ на плоскости (x, y).87a+d(a + d )2 − 4(ad − bc).±24(4.8)Если подкоренное выражение отрицательно, то λ1,2 комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличныеот нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решениесистемы (4.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями λ1, λ2:x = c11eλ 1 t + c12 eλ 2 t ,y = c21eλ 1 t + c22 eДля большого класса систем, грубых систем, характер поведения которых неменяется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведенияв окрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную,а упрощенную линеаризованную систему. Подробно процесс линеаризации будетрассмотрен в лекции 5.λ2t.(4.9)Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскостииспользуем линейное однородное преобразование координат, которое позволитпривести систему к каноническому виду:dξ= λ1ξ ,dtdη= λ2η ,dt(4.10)ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХи допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
