Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системылинейных дифференциальных уравнений (4.4).ЛЕКЦИЯ 494МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХ95Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малымидолжны быть изменения не только правых частей, но и их производных первогопорядка. Шестое состояние равновесия — центр — негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.Бифуркационная диаграммаВведем обозначения:σ = −(a + d ); Δ =a b.c d(4.11)Тогда характеристическое уравнение запишется в видеλ 2 + σλ + Δ = 0 .(4.12)Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами σ, Δ и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравненияλ 1,2 =−σ ± σ 2 − 4Δ.2(4.13)Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательнойдействительной части у λ1 и λ2.
Необходимое и достаточное условие этого — выполнение неравенств σ > 0, Δ > 0. На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особаяточка будет фокусом, если λ1 и λ2 комплексны. Этому условию соответствуют теточки плоскости, для которых σ 2 − 4 Δ < 0 , т. е.
точки между двумя ветвями параболы σ 2 = 4Δ. Точки полуоси σ = 0, Δ > 0 соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, λ1 и λ2 — действительны, но разных знаков, т. е.особая точка будет седлом, если Δ < 0, и т. д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров σ, Δ на области, соответствующие различным типам состояния равновесия (рис. 4.10).Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины σ, Δ. Припереходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными — по разные стороны отграницы система имеет два качественно различных фазовых портрета и, соответственно, два разных типа поведения.Рис. 4.10.
Бифуркационная диаграмма для системы линейных уравнений (4.4).На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключитьособые случаи — начало координат, — то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т. д.
Отметим, что переходы устойчивый узел — устойчивый фокус и неустойчивыйузел — неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топологияфазового пространства при этом не меняется.Топология (топос — место, логос — слово, наука) — «геометрия положения» — это часть геометрии, изучающая свойства формы и взаимного положения фигур, то есть свойства, не зависящие от размеров (длин, углов, площадей),а также от прямолинейности. Топологию называют «качественной геометрией»,«резиновой геометрией». Более точно: топологические свойства фигуры — этотакие ее свойства, которые сохраняются при всевозможных взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных отображениях.
Например, свойство кривойбыть замкнутой является топологическим. У эллипса и у окружности одни и теже топологические свойства, т. к. окружность гомеоморфна эллипсу, то естьможет быть взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно отображена на эллипс.Качественная теория дифференциальных уравнений, элементы которой мы используем в данном курсе, также является одним из разделов теории топологических пространств. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особойточки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова–Хопфа по име-ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХнам исследовавших ее ученых.
При этой бифуркации в нелинейных системахпроисходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривымy = y(x), пересекающим ось ординат x = 0, отрицателен в верхней полуплоскости(вспомним, что переменные x, y имеют значения концентраций, и поэтому насинтересует только правый верхний квадрант фазовой плоскости).
При этом величина тангенса угла наклона касательной увеличивается с удалением от началакоординат.Рассмотрим ось y = 0. В месте пересечения этой оси интегральными кривымиони описываются уравнением96Пример. Система линейных химических реакцийВещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество Y и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества Y, выводитсяиз сферы реакции.
Все реакции имеют первый порядок, за исключением притокавещества извне, имеющего нулевой порядок. Схема реакций имеет видk3k1k2⎯⎯→ X ⎯⎯→ Y ⎯⎯→k1тангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих осьk2абсцисс, положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличениkdyем x.= ∞ при x = 1 (изоклина вертикальных касательных).dxk2Затем при дальнейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, и стремится к -1 при x → ∞. Знаянаправление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и наосях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий (рис.
4.11).При 0 < x <dx= k1 − k2 x,dtdy= k2 x − k3 y.dt(4.15)Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю:k1,k2k2 xdy.=dx k1 − k2 x(4.14)и описывается системой уравненийx=97y=k1.k3(4.16)Запишем уравнение для фазовых траекторий системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое.
Получим:dy k2 x − k3 y=.dx k1 − k2 x(4.17)Рис. 4.11. Фазовый портрет системы линейных химических реакций (4.15).Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости.Построим фазовый портрет этой системы. Начнем с главных изоклин на фазовойплоскости. Уравнение изоклины вертикальных касательных:kdy= ∞, x = 1 .dxk2Уравнение изоклины горизонтальных касательных:k xdy= 0, y = 2 .dxk3Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми.kdyЕсли x = 0, то= − 3 y.k1dxУстановим характер устойчивости особой точки.
Характеристический определитель системы имеет вид⎛ − k2 − λ⎜⎝ k20 ⎛⎜ =0.− k3 − λ ⎝98ЛЕКЦИЯ 4Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение системы:(k2 + λ )(k3 + λ ) = 0 .Корни этого уравненияλ 1 = − k2 ,λ 2 = − k3 .Корни характеристического уравнения оба действительны и отрицательны.
Следовательно, стационарное состояние системы представляет собой устойчивыйузел. Колебательные режимы в такой системе невозможны.Метод Ляпунова линеаризации системв окрестности стационарного состояния.Примеры исследования устойчивостистационарных состояний моделей биологическихсистем. Уравнения Лотки. Уравнения Вольтерра.Метод функции Ляпунова.Пусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида:dx= P( x, y ),dtdy= Q( x, y ).dt(5.1)Стационарные значения переменных системы определяются из алгебраических уравнений:P( x , y ) = 0,Q( x , y ) = 0.(5.2)Стационарные состояния соответствуют особым точкам дифференциального уравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые:dy Q ( x, y )=.dx P ( x, y )(5.3)Русский математик и механик Александр Михайлович Ляпунов показал, чтов большом числе случаев анализ устойчивости стационарного состояния нелинейной системы можно заменить анализом устойчивости системы, линеаризованной в окрестности стационарного состояния.Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольшом отклонении системы от состояния равновесия.Введем вместо переменных x, y новые независимые переменные ξ, η, определив их как смещения относительно равновесныхзначений переменныхx = x + ξ,y = y + η.(5.4)Подставив эти выражения в (5.1), получим:dx d ξ+= P( x + ξ , y + η ),dt dtdy dη+= Q( x + ξ , y + η ).dt dt(5.5)dx dy== 0 , так как x , y — координаты особой точки.dydtАлександр Михайлович Ляпунов (1857–1918) — русский математик, создал теориюустойчивости состояний равновесия и движениямеханическихсистем с конечнымчисломпараметров.Работал также в областидифференциальныхуравнений,гидродинамики, теориивероятностей.ЛЕКЦИЯ 5ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙПредположим, что функции P и Q непрерывны и имеют непрерывные производные не ниже первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
