Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Введем новые координаты ξ, η по формуламИз курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей λ1, λ2 исходную систему (4.4) при помощи преобразований (4.11)всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведениена фазовой плоскости (ξ, η). Рассмотрим различные случаи, которые могут здесьпредставиться.Состояние равновесия типа узел при λ1, λ2 < 0 устойчиво, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началукоординат.
Это устойчивый узел. Если же λ1, λ2 > 0, то |ξ|, |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случаеособая точка — неустойчивый узел.На фазовой плоскости (x, y) общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится. Угол наклона этих касательных к интегральнымкривым будет определяться соотношением коэффициентов α, β, γ, δ в уравнениях(4.11).Корни λ1, λ2 — действительны и одного знакаКорни λ1, λ2 — действительны и разных знаковВ этом случае коэффициенты преобразования (4.11) действительны, мы переходим от действительной плоскости (x, y) к действительной плоскости (ξ, η).Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим:Преобразование (4.11) от координат x, y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), нотеперь знаки λ1, λ2 различны.
Уравнение фазовых траекторий имеет вид88ξ = α x + β y,η = γ x + δ y.dη λ 2 η.=dξ λ 1 ξ(4.11)(4.12)Интегрируя это уравнение, находим:η=cξ ,aгде a =λ2.λ1dηη= −a ,ξdξгде a =λ1.λ 289(4.14)Интегрируя (4.14), находим(4.13)Условимся понимать под λ2 корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, посколькув рассматриваемом случае корни λ1, λ2 — действительны и одного знака, то a > 1,и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует c = ∞ ) касаются в начале координат оси ξ, которая также является интегральной кривойуравнения (4.11). Начало координат является особой точкой.Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовыхтраекторий. Если λ1, λ2 — отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), |ξ|, |η|убывают с течением времени.
Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол y = cx a (a > 0) проходитчерез начало координат, носит название узла (рис. 4.5).Рис. 4.5. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат (ξ, η).−aη=cξ .(4.15)Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обеоси координат — асимптоты (при a = 1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми — этобудут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат.Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия.
Всеостальные интегральные кривые суть гиперболы, не проходящие через началокоординат (рис. 4.6). Такая особая точка носит название седло. Линии уровнявблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла.Рис. 4.6. Особая точка типа седло на плоскостиканонических координат (ξ, η).90ЛЕКЦИЯ 4Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, λ1 > 0, λ2 < 0. Тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат,а помещенная на оси η — неограниченно приближаться к началу координат, недостигая его за конечное время. Где бы ни находилась изображающая точкав начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте η = 0),она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особойточке.Очевидно, что особая точка типа седло всегда неустойчива.
Только приспециально выбранных начальных условиях на асимптоте η = 0 система будетприближаться к состоянию равновесия (это не противоречит утверждению о неустойчивости системы). Всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам x, y, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат.Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например λ1, обращаетсяв нуль, что имеет место, когда определитель системы — выражение ad – bc = 0(см.
формулу (4.8)). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4)пропорциональны друг другуМОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХКорни λ1, λ2 — комплексные сопряженныеВ этом случае при действительных x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ, η (4.10). Однако вводя еще одно промежуточное преобразование,можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положимλ 1= a1 + ib1 , λ12 = a1 − ib1 ,ξ = u + iv,η = u − iv,(4.16)где a1, b1 и u, v — действительные величины.
Можно показать, что преобразование от x, y к u, v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10),(4.16) имеем:dudv+ i = (a1 + ib1 )(u + iv),dtdtdudv− i = (a1 − ib1 )(u − iv),dtdtоткудаa b=c ddu= a1u − b1v,dtdv= a1v + b1u.dtи система имеет своими состояниями равновесия все точки прямойax + by = 0.Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом χ = c / d , по которым изображающиеточки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от негов зависимости от знака второго корня характеристического уравнения λ2 = a + d(рис. 4.7).
В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начальногозначения переменных.91(4.17)Разделив второе из уравнений на первое, получим:dv a1v + b1u,=du a1u − b1vкоторое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (r, φ).После подстановки u = r cos ϕ , v = r sin ϕ получимrdr a1= ,dϕ b1Рис. 4.7. Фазовый портрет системы,один из характеристических корнейкоторой равен нулю, а второй отрицателен.откудаa1ϕr = Ce b1 .(4.18)Таким образом, на фазовой плоскости (u, v) мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точкув начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всехинтегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (рис.
4.8).92ЛЕКЦИЯ 4МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХ93Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимостиот характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовых траекторий на плоскости (x, y) для этих шести случаев изображен на рис. 4.9.Рис. 4.8. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа фокус наплоскости координат (u, v).Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17) на u, а второе на v и складывая, получаем:1 dρ= a1 ρ , где ρ = u 2 + v 2 .2 dtПусть a1 < 0 (a1 = Re λ1,2).
Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуютзатухающим колебаниям переменных. Это — устойчивый фокус.В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено нетолько условие Ляпунова, но и более жесткое требование, а именно: при любыхначальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодноблизко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальныеотклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называетсяабсолютной устойчивостью.Если в формуле (4.18) a1 > 0, то изображающая точка удаляется от начала координат и мы имеем дело с неустойчивым фокусом. При переходе от плоскости (u, v) к фазовой плоскости (x, y) спирали также останутся спиралями, однакобудут деформированы.Рассмотрим теперь случай, когда a1 = 0.
Фазовыми траекториями на плоскости (u, v) будут окружности u 2 + v 2 = const , которым на плоскости (x, y) соответствуют эллипсы:by 2 + (a − d ) xy − cx 2 = const.Таким образом, при a1 = 0 через особую точку x = 0, y = 0 не проходит ни однаинтегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы,вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
