Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Однако «биологические часы» имеютсвойство, отличающее их от рассмотренных типов колебаний неизменность во временипериода и амплитуды таких колебаний, означающую стационарность и устойчивостьколебательного режима.Рис. 8.1. Космофизические, геофизические и биологические ритмы. Справа – шкала периодов,слева – шкала частотВ данном случае периодическое изменение величин представляет собой один из типовстационарного поведения системы. Если колебания в системе имеют постоянные период иамплитуду, устанавливаются независимо от начальных условий и поддерживаютсяблагодаря свойствам самой системы, а не вследствие воздействия периодической силы,система называется автоколебательной.Незатухающие колебания в таких системах устойчивы, так как отклонения отстационарного колебательного режима затухают.
К классу автоколебательныхсистем относятся колебания в гликолизе и других метаболических системах,периодические процессы фотосинтеза, колебания концентрации кальция вклетке, колебания численности животных в популяциях и сообществах.Предельный цикл. В фазовом пространстве такому типу поведения соответствуетпритягивающее множество (аттрактор), называемоепредельным циклом.Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, ккоторой в пределе при tстремятся все интегральные кривые. Предельный циклпредставляет стационарный режим с определенной амплитудой, не зависящий отначальных условий, а определяющийся только организацией системы.
Существованиепредельного цикла на фазовой плоскости есть основной признак автоколебательнойсистемы. Очевидно, что при автоколебательном процессе фаза колебаний может бытьлюбой.Остановимся на общих характеристикахРассмотрим систему уравнений общего вида:автоколебательныхсистем.(8.1)Если T (T > 0) — наименьшее число, для которого при всяком tто изменение переменных x = x(t), y = y(t) называется периодическим изменением спериодом T.Периодическому изменению соответствует замкнутая траектория на фазовойплоскости, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесконечноемножество периодических изменений, отличающихся друг от друга выборомначала отсчета времени.Если периодическому изменению на фазовой плоскости соответствует изолированнаязамкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней стороны приближаются (привозрастании t) соседние траектории по спиралям, эта изолированная замкнутаятраектория есть предельный цикл.Простые примеры позволяют убедиться, что система общего вида (8.1)допускает в качестве траекторий предельные циклы.Например, для системы(8.2)траекториябудут:является предельным циклом.
Его параметрические уравненияа уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде:.Значениям постоянной интегрирования С > 0 соответствуют фазовые траектории,накручивающиеся на предельный цикл изнутри (при t), а значениям –1 < C < 0 траектории,накручивающиеся снаружи.Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область нафазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, окрестность , что всефазовые траектории, начинающиеся в окрестности , асимптотически приtприближаются к предельному циклу.Если же, наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности предельного цикласуществует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся кпредельномуциклу приt,тотакойпредельныйциклназываетсянеустойчивым.
Такие циклы разделяют области влияния (бассейны) разныхпритягивающих множеств.На рис. 8.2 изображены устойчивый предельный цикл (а) и неустойчивые (б) и (в).Неустойчивые предельные циклы, подобные изображенному на рис. 8.2 б, такие, что всетраектории с одной стороны (например, изнутри) приближаются к ним, а с другойстороны (например, извне) удаляются от них при t, называют «полуустойчивыми»или двойными. Последнее название связано с тем, что обычно такие циклы приподходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которыхустойчив, а другой неустойчив.А.М.
Ляпунов показал, что для исследования устойчивости периодическогодвижения x = (t), y = (t) можно идти по пути линеаризации уравнений,подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состоянийравновесия. Если положитьподставить эти выражения в уравнения (8.1), разложить правые части этихуравнений функциив ряды по степеням и и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейныеуравнения (уравнения первого приближения) для координат возмущения и :Коэффициенты в правой части:Это система линейных дифференциальных уравнений с периодическимикоэффициентами периода T, поскольку a, b, c, d суть функции от , — периодическихфункций времени с периодом T. Общий вид ее решенияЗдесь—некоторыепериодическиефункцииспериодом T.Отпоказателейикоторые носят название «характеристических показателей», зависятсвойства решений для отклонений от стационарного периодического решения и .
Аименно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решениянарастающими или затухающими. Можно показать, что в силу автономности исходнойсистемы (8.1) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен h.где x = (t), y = (t) — любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемомупредельному циклу, T — период решения.Таким образом, устойчивость предельного цикла (и устойчивость в смысле Ляпуновасоответствующих периодических движений) определяется знаком характеристическогопоказателя. Предельный цикл устойчив, если h < 0 и неустойчив, если h > 0. Если же h = 0,уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодическогодвижения.Для нахождения предельных циклов не существует таких простыханалитических методов, как для нахождения стационарных точек иисследования их устойчивости.
Однако, исследование фазовой плоскостисистемы позволяет ответить на вопрос, есть в данной системе предельный цикл,или нет.Сформулируем несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла потопологическому строению фазовой плоскости. Они могут быть полезны как прианалитическом, так и при компьютерном анализе системы.Теорема 1.
Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовыетраектории не выходят, и в которой нет положений равновесия (особых точек). Тогда вэтой области обязательно существует предельный цикл, причем все остальныетраектории обязательно наматываются на него.На рис. 8.3. изображена такая область G, из которой фазовые траектории невыходят. Это означает, что фазовые траектории либо входят, пересекая границу,внутрь области, либо сама граница является траекторией. Легко видеть, чтотакая область не может быть односвязной. Поскольку траектория наматываетсяна предельный цикл изнутри, это означает, что внутри этого предельного циклана фазовой плоскости существует либо неустойчивая особая точка, либонеустойчивый предельный цикл, очевидно, не принадлежащие рассматриваемойобласти G.Таким образом, если найти на фазовой плоскости такую двусвязную область,что направления фазовых траекторий на всей границе обращены внутрь этойобласти, то можно утверждать, что внутри этой области имеется предельныйцикл.Теорема 2.
Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область,такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее,и внутри этой области находится неустойчивая особая точка, то в этой областиобязательно имеется хотя бы один предельный цикл (рис. 8.4)Приведем также некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий (в томчисле предельных циклов).1. Если в системе не существует особых точек, то в ней не может быть и замкнутыхфазовых траекторий.2. Если в системе существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса ицентра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.3.
Если в системе имеются только простые особые точки, причем через всеточки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие набесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых траекторий.В случае, если критерии 1–3 выполнены, можно с уверенностью утверждать,что в системе нет предельных циклов.
Однако невыполнение этих критериевеще не позволяет сделать вывод о наличии в системе предельных циклов и,следовательно, автоколебаний.Неустойчивый предельный цикл также может содержаться в фазовом портретегрубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальномупериодическому процессу, он играет лишь роль «водораздела», по обе стороныкоторого траектории имеют различное поведение. Например, на рис. 8.5представляет собой сепаратрису, отделяющую область тяготения траекторий кустойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельномуциклу, с другой.Рождение предельного цикла.
Бифуркация Андронова-Хопфа.Существование предельных циклов возможно лишь в системе типа (8.1), правыечасти которой представлены нелинейными функциями.На бифуркационной диаграмме 4.11 мы видели, что при пересечении осиабсцисс происходит смена устойчивости фокуса. Нулевым значениямдействительной части характеристических чисел (ляпуновских показателей)соответствует особая точка типа центр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
