Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пример— бифуркация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего аттракторисчезает (рис. 6.5).Частокромебифуркационныхдиаграммдлянаглядностистроят фазопараметрические диаграммы. В этом случае по однимкоординатным осям откладывают значения параметров, а по другим –динамические переменные или связанные с ними величины.
Получаютнекоторую гиперповерхность, точки которой соответствуют определеннымдинамическим режимам, меняющимся с изменением параметров. Бифуркациина таких диаграммах могут проявляться в образовании складок поверхности илив расщеплении ее на несколько частей.Резкие значительные изменения переменных состояния динамическойсистемы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений, вчастности,малымиизменениямипараметров,частоназывают катастрофами. Теория катастроф была развита топологом РенеТома (Thom R. Structural Stability and Morphogenesis.
N.Y., 1972). В основу еебыла положена разработанная ранее теория особенностей Уитни. Показано, чтосуществует небольшое количество элементарных катастроф, с помощьюкоторых можно локально описать поведение системы. С основами теориикатастроф можно познакомиться по книге: В.И. Арнольд. Теория катастроф. М.,Изд. МГУ, 1983.Модельные системыДля описания событий, происходящих вблизи бифуркационной границы удобноиспользовать системы самых простых уравнений, обычно – полиномиальных,которые описывают качественные особенности процесса.
Такие системыназываются модельными и активно используются в теории бифуркаций и втеории катастроф. Например, для системы, которая может быть описана однимавтономным дифференциальным уравнением, модельная система имеет вид:Условиемвырождения(бифуркации)являетсяравенствонулюкоэффициента a, то есть отсутствие в правой части линейного члена.В качестве модельной системы, описывающей бифуркацию коразмерности k,обычно выступает полиномиальная система l k уравнений, зависящаяот k малых параметров. При нулевых значениях параметров в системе возникаетвырождение, а при вариации параметров происходит бифуркация.
Впростейшем случае в качестве параметров выступают вещественные частисобственных чисел. Размерность модельной системы l совпадает с количествомсобственных чисел, вещественные части которых обращаются в нуль прибифуркационном значении параметра .Рассмотрим основные бифуркации – катастрофы.Седло-узловая бифуркация (складка).Пусть в системе при < * существуют два состояния равновесия: устойчивыйузел Q и седло S (Рис. 6.5, а). При = * происходит слияние узла и седла собразованием негрубого состояния равновесия, называемого седло-узлом.
(рис.6.5, б).При > * положение равновесия исчезает (рис. 6.5, в). Переменная x стечением времени стремится к бесконечности. Поскольку в результатебифуркации аттрактор (узел) исчезает, границы бассейнов должны качественноперестроиться. Следовательно, данная бифуркация является кризисом(катастрофой). Простейшая модельная система, описывающая даннуюбифуркацию, имеет вид:(6.17)Уравнение (6.17) имеет два стационарных состоянияЛинеаризуем уравнение (6.17) в окрестности стационарного состояния.Собственные значения.Такимобразом x1 —устойчивоесостояние, x2 —неустойчивое.При = 0 имеем x1 = x2 = 0, и собственное значение в этой точке равно нулю.Бифуркация имеет коразмерность 1, так как выделяется однимусловием ( )=0. На рис. 6.6 а изображена фазопараметрическая диаграммасистемы (6.17). Если бифуркация седло-узел происходит в двупараметрическойсистеме, то в фазопараметрическом пространстве ей соответствует особенность(катастрофа) типа складки вдоль линии l* на плоскости параметров.Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изученииматематических моделей на примере модели второго порядка, содержащейпеременные x и u.
u –этофактическиуправляющийпараметр , бифуркационному значению которого = * соответствует u=0.Пусть x – «быстрая» переменная, но исключить ее нельзя, поскольку системане удовлетворяет условиям Теоремы Тихонова (см. выше), так как быстрыйпроцесс не везде устойчив. «Складка» соответствует модели(6.18)Здесь >> 1, характерное время изменения переменной x будем считатьпорядка единицы. Изоклина P=0 имеет устойчивую ветвь – аттрактор в форме«складки». При медленном уменьшении u в соответствии с первым уравнением(6.18) при достижении u=0 произойдет срыв изображающей точки, котораялибо уйдет на , либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим,что в реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует.Катастрофа типа «складки» появляется в моделях, описывающихрелаксационные колебания, «ждущие» режимы и триггерные системы(параметрическое переключение).
В распределенных моделях (2 том лекций)модели, имеющие «складки», используются при описании автоволновыхпроцессов и диссипативных структур.Трехкратное равновесие (сборка)Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия – узлов Q1, Q2 иседла Q0 между ними (в рождении двух устойчивых узлов из седла) (рис. 6.7,6.8)Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «рождение двух узлов из седла». а –фазовый портрет в незаштрихованной области (рис. 6.8 а);б – фазовый портрет на границе l1; в –фазовый портрет на границе l2 ; в – фазовый портрет в заштрихованной области представлен двумяустойчивыми узлами и седлом между ними.Рис. 6.8. Бифуркация трехкратного равновесия (катастрофа – сборка).а бифуркационная диаграмма, б – фазопараметрическая диаграммаБифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания какминимум двух параметров.
Модельной системой для нее служит уравнение:(6.19)Система имеет три особых точки. Линейный анализ показывает, чтопри 2>0 и любом 1 система имеет единственное состояние равновесия Q0 сотрицательным собственным значением, то есть асимптотически устойчивое.При 2<0 существует область значений 1(заштрихованная область набифуркационной диаграмме (рис.6.8, а), где система имеет три состоянияравновесия Q1, Q2 и Q0, причем Q0 - неустойчивое состояние равновесия.,а Q1, Q2 - устойчивые.
Такие системы (триггерные) широко применяются дляописания бистабильных режимов, их модели будут подробно рассмотрены влекции 7.Границыобластибистабильностиобразованылиниями l1 и l2 ,соответствующими бифуркациям седло-узел, на которых два из состоянийравновесия сливаются и исчезают. Линии l1 и l2 сходятся в точке А ( 1 = 2 = 0),гдеодновременновыполняютсядваусловия: ( 1, 2)вточках Q1 и Q2 одновременно равны нулю, поэтому бифуркация в этой точке,называемая трехкратным равновесием, имеет коразмерность 2.
Для уравнения6.19. в точке А фазовый портрет представляет собой седло Вфазопараметрическом пространстве (рис. 6.8, б) имеет место структура,называемая сборкой. Верхний и нижний лист сборки соответствуютустойчивым состояниям равновесия, а средний – неустойчивому. На ребрахсборки имеют место катастрофы типа складки.Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются при описаниирелаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов сосмещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа.Слияние четырех или пяти особых точек приводит к катастрофам типа«ласточкин хвост» (рис.
6.9) и «бабочка». (Арнольд В.И. Теория катастроф. М.,Знание, 1983). Фазовые пространства при этом – четырех- и пятимерные.Отметим важное различие катастроф типа складки и сборки. «Складка» неописывает поведение системы на больших временах. Изображающая точкауходит из рассматриваемой области фазового пространства, где справедливаформула (6.18). Катастрофа складка не локализуема, то же относится ккатастрофе «ласточкин хвост» с четной коразмерностью (рис.
6.9).Рис. 6.9. Бифуркация «Ласточкин хвост»В случае сборки изображающая точка остается вблизи прежнегостационарного состояния. Cборка локализуема, как и катастрофа «бабочка» счетной коразмерностью.Бифуркации, приводящие к возникновению незатухающих колебаний иквазистохастических режимов, мы рассмотрим в лекциях 8 и 10,соответственно.ЛитератураАндронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон Н.Н., Майер А.Г.
Качественная теориядинамических систем второго порядка. М., Наука, 1966Арнольд В.И.. Теория катастроф. М., Изд. МГУ, 1983.Базыкин А.Д., Кузнецов, Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. М., Изд.Знание, 1989Березовская Ф.С., Карев Г.П. Дифференциальные уравнения в математических моделях,М., Изд.
МИРЭА, 2000Варфоломеев С.Д., Гуревич К.Г. Биокинетика. М., Фаир-Пресс, 1998Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделейсложных динамических систем. М., Изд. МФТИ, 2000Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малыепараметры при производных. Мат. сб. т32, №3, 1952Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., 1967Thom R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
