Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(рис. 4.4)Для большого класса систем – грубых систем – характер поведения которых неменяется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения вокрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную, аупрощенную линеаризованную систему.Линейные системы.Рассмотрим систему двух линейных уравнений:.(4.4)Здесь a, b, c, d - константы, x, y - декартовы координаты на фазовой плоскости.Общее решение будем искать в виде:.Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на e t:(4.5)(4.6)Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными A, B имеет ненулевое решениелишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов принеизвестных, равен нулю:.Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:.(4.7)Решение этого уравнения дает значения показателя 1,2, при которых возможныненулевые для A и B решения уравнения (4.6).
Эти значения суть.(4.8)Если подкоренное выражение отрицательно, то 1,2 комплексно сопряженные числа.Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительныечасти и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (4.4) можно представить ввиде линейной комбинации экспонент с показателями 1, 2:(4.9)Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскостииспользуем линейное однородное преобразование координат,которое позволит привестисистему к каноническому виду:,(4.10)допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению сисходной системой (4.4). Введем новые координаты ξ, η по формулам:(4.1)Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительныхчастей 1, 2 исходную систему (4.4) при помощи преобразований (4.11) всегда можнопреобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовойплоскости ξ, η.
Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.Корни λ1, λ2 – действительны и одного знакаВ этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим отдействительной плоскости x,y к действительной плоскости ξ, η. Разделив второе изуравнений (4.10) на первое, получим:.Интегрируя это уравнение, находим:(4.12), где.(4.13)Условимся понимать под λ2 корень характеристического уравнения с большим модулем,что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемомслучае корни λ1, λ2 – действительны и одного знака, a>1, и мы имеем дело синтегральными кривыми параболического типа.Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует) касаются вначале координат оси ξ, которая также является интегральной кривой уравнения (4.11).Начало координат является особой точкой.Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовыхтраекторий.
Если λ1, λ2 – отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), |ξ|, |η| убываютс течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда,однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши,которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь однафазовая траектория.Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, каксемейство параболузла (рис.
4.5)проходит через начало координат, носит названиеРис. 4.5. Особая точка типа узелна плоскости каноническихкоординат ξ, ηСостояние равновесия типа узел при λ1, λ2<0 устойчиво по Ляпунову, так какизображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началукоординат. Это устойчивый узел. Если же λ1, λ2>0, то |ξ|, |η| возрастают с течениемвремени и изображающая точка удаляется от начала координат.
В этом случае особаяточка – неустойчивый узел.На фазовой плоскости x, y общий качественный характер поведения интегральныхкривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осямикоординат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношениемкоэффициентов α, β, γ, δ в уравнениях (4.11).Корни λ1, λ2 – действительны и разных знаков.Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнениядля канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки λ 1, λ2 различны.Уравнение фазовых траекторий имеет вид:где,(4.14)Интегрируя (4.14), находим(4.15)Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе осикоординат – асимптоты (при a=1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол).
Осикоординат и в этом случае являются интегральными кривыми – это будут единственныеинтегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит изтрех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состоянияравновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые – сутьгиперболы, не проходящие через начало координат (рис.
4.6) Такая особая точка носитназвание «седло». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовымтраекториям в окрестности седла.Рис. 4.6. Особая точка типа седло наплоскости каноническихкоординат ξ, ηРассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизисостояния равновесия. Пусть, например, λ1>0, λ2<0. Тогда изображающая точка,помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будетнеограниченно приближаться к началу координат, не достигая его за конечное время. Гдебы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особойточки и точек на асимптоте η=0), она в конечном счете будет удаляться от состоянияравновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых понаправлению к особой точке.Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива.
Только при специальновыбранных начальных условиях на асимптоте η=0система будет приближаться ксостоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивостисистемы. Если считать, что все начальные состояния системы на фазовой плоскостиравновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствуетдвижению по направлению к особой точке, равна нулю. Поэтому всякое реальноедвижение будет удалять систему от состояния равновесия.Переходя обратно ккоординатам x,y, мы получим ту же качественную картину характера движениятраекторий вокруг начала координат.Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла являетсяслучай, когда один из характеристических показателей, например λ1,обращается в нуль,что имеет место, когда определитель системы – выражение ad-bc=0 (см.
формулу 4.8). Вэтом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4) пропорциональны друг другу:и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой:Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых сугловым коэффициентом, по которым изображающие точки либо приближаютсяк состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корняхарактеристического уравнения λ2 = a+d. (Рис.4.7) В этом случае координаты состоянияравновесия зависят от начального значения переменных.Рис.
4.7. Фазовый портретсистемы, один изхарактеристических корнейкоторой равен нулю, а второйотрицателен.Корни λ1, λ2 – комплексные сопряженныеВэтомслучаепридействительных x и y мыбудем иметькомплексныесопряженные ξ, η (4.10). Однако , вводя еще одно промежуточное преобразование, можнои в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородномупреобразованию. Положим:(4.16)где a,b, и u,v – действительные величины. Можно показать, что преобразованиеот x,y к u,v является при наших предположениях действительным, линейным,однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10, 4.16) имеем:откуда(4.17)Разделив второе из уравнений на первое, получим:которое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (r, φ). Послеподстановкиполучим., откуда:(4.18)Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семействомлогарифмических спиралей, каждая из которых имеетасимптотическую точку в началекоординат.
Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральныхкривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (рис.4.8).Рис. 4.8. Фазовый портретсистемы в окрестностиособой точки типа фокус наплоскости координат u, v.Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям.Умножая первое из уравнений (4.17) на u, а второе на v и складывая, получаем:гдеПусть a1 < 0 (a1=Reλ). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началукоординат, не достигая его в конечное время.
Это означает, что фазовые траекториипредставляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающимколебаниям переменных. Это –устойчивый фокус.В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не толькоусловие Ляпунова, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальныхотклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положениюравновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только ненарастают, но затухают, стремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью.Если в формуле (4.18) a1 >0, то изображающая точка удаляется от начала координат, имы имеем дело с неустойчивым фокусом.
При переходе от плоскости u,v к фазовойплоскости x,y спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.Рассмотрим теперь случай, когда a1=0. Фазовыми траекториями на плоскости u, v будутокружностикоторым на плоскостиx,y соответствуют эллипсы:Таким образом, при a1=0 через особую точку x=0, y=0 не проходит ни однаинтегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральныекривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг вдруга и охватывающие особую точку, называется центром.Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимостиот характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовыхтраекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
