Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 12
Текст из файла (страница 12)
4.9.Рис. 4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейныхуравнений (4.4).Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется придостаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малымидолжны быть изменения не только правых частей, но и их производных первогопорядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малыхизменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый илинеустойчивый фокус.Бифуркационная диаграммаВведем обозначения:.(4.11)Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:.(4.12)Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами , и отметим наней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, которыйопределяется характером корней характеристического уравнения.(4.13)Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательнойдействительной части у 1 и 2.
Необходимое и достаточное условие этого – выполнениенеравенств > 0, > 0. На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки,расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом,если 1 и 2 комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, длякоторых, т.е. точки между двумя ветвями параболы 2 = 4 . Точкиполуоси = 0, >0,соответствуютсостояниямравновесиятипацентр.Аналогично, 1 и 2 - действительны, но разных знаков, т.е.
особая точка будет седлом,если <0, и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров , , наобласти, соответствующие различным типам состояния равновесия.Рис. 4.10. Бифуркационная диаграммадля системы линейных уравнений 4.4Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, топри изменении этого параметра будут меняться и величины , . При переходе черезграницы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границыназываются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет дватопологически различных фазовых портрета и, соответственно два разных типаповедения.На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключитьособые случаи – начало координат, – то легко видеть, что седло можетпереходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат.Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.д.Отметим, что переходы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивыйузел – неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топологияфазового пространства при этом не меняется.
Более подробно мы поговорим отопологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки.Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Этабифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по именам исследовавших ееученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельногоцикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).Пример.
Система линейных химических реакцийВещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество Y и соскоростью, пропорциональной концентрации вещества Y, выводится из сферы реакции.Все реакции имеют первый порядок, за исключением притока вещества извне, имеющегонулевой порядок. Схема реакций имеет вид:(4.14)и описывается системой уравнений:(4.15)Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю:.(4.16)Рассмотрим фазовый портрет системы. Разделим второе уравнение системы(4.16) на первое. Получим:.(4.17)Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости.Построим фазовый портрет этой системы.
Сначала нарисуем главные изоклинына фазовой плоскости. Уравнение изоклины вертикальных касательных:Уравнение изоклины горизонтальных касательных:Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральнымикривыми.Если x=0, то.Такимобразом,тангенсугланаклонакасательнойкинтегральнымкривым y=y(x), пересекающим ось ординат x=0, отрицателен в верхней полуплоскости(вспомним, что переменные x, y имеют значения концентраций, и поэтому нас интересуеттолько правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса угланаклона касательной увеличивается с удалением от начала координат.Рассмотрим ось y=0.
В месте пересечения этой оси интегральными кривыми ониописываются уравнением.Притангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих ось абсцисс,положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличением x.при.Затем при дальнейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютнойвеличине, оставаясь отрицательным и стремится к -1 приx. Зная направлениекасательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легкопостроить всю картину фазовых траекторий.Характер устойчивости особой точки установим, пользуясь методом Ляпунова.Характеристический определитель системы имеет вид:.Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение системы:.Корни этого уравненияоба действительны, так как дискриминантположителен при любых значениях параметров.всегда меньше, чем, т.е.
корнихарактеристического уравнения оба отрицательны. Следовательно, стационарноесостояние системы представляет собой устойчивый узел. При этом концентрациявещества X стремится к стационарному состоянию всегда монотонно, концентрациявещества Y может проходить через min или max. Колебательные режимы в такой системеневозможны.ЛЕКЦИЯ 5ИССЛЕДОВАНИЕУСТОЙЧИВОСТИСТАЦИОНАРНЫХСОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКАМетод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарногосостояния. Примеры исследования устойчивости стационарных состояниймоделей биологических систем. Уравнения Лотки.
Уравнения Вольтерра.Метод функции ЛяпуноваПусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальныхуравнений второго порядка общего вида:(5.1)Стационарные значения переменных системы определяются из алгебраическихуравнений:(5.2)Стационарные состояния соответствуют особым точкам дифференциальногоуравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые:(5.3)Математический анализ поведения траекторий этой системы на фазовойплоскости связан с именами французского математика Анри Пуанкаре ирусского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова (18571918).Ляпунов показал, что в большом числе случаев анализ устойчивостистационарного состояния нелинейной системы можно заменить анализомустойчивости системы, линеаризованной в окрестности стационарногосостояния.Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольшом отклонениисистемы от состояния равновесия.
Введем вместо переменных x, y новые независимыепеременные , , определив их как смещения относительно равновесных значенийпеременных(5.4)Подставив эти выражения в (5.1), получим:(5.5), так как- координаты особой точки.Предположим, что функции P и Q непрерывны и имеют непрерывные производные нениже первого порядка. Тогда мы можем разложить правые части уравнений (5.5) в рядТейлора по переменным , .(5.6)где(5.7)Учтем, что по определению особой точкии отбросим в уравнениях (5.6) нелинейные члены.
Получим систему линейных уравненийс постоянными коэффициентами — систему первого приближения:(5.8)Решение этой системы было рассмотрено в Лекции 4. Оно определяетсякорнями характеристического уравнения системы:(5.9)Ляпунов показал, что в случае, если оба корня уравнения (5.9):(5.10)имеют отличные от нуля действительные части, исследование уравнений первогоприближения (5.8) всегда дает правильный ответ на вопрос о типе устойчивостисостояния равновесия в системе (5.1). А именно:если оба корня имеют отрицательную действительную часть и, следовательно, всерешения уравнений первого приближения (5.8) затухают, то состояние равновесияустойчиво;если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то естьсистема (5.8) имеет нарастающие решения, то состояние равновесия неустойчиво.Если действительныечастиобоихкорней характеристическогоуравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицателен,то уравнения (5.8) не дают ответа на вопрос об устойчивости состоянияравновесия,инеобходимо рассматриватьчленыболеевысокогопорядка малости в разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений (5.6).В случае, когда оба корня характеристического уравнения имеют отличные от нулядействительные части (грубые системы), уравнение первого приближения определяютне только устойчивость стационарного состояния, но и характер фазовых траекторий вдостаточно малой его окрестности.Как и в случае линейных уравнений (Лекция 4) здесь возможны пять типовгрубых состояний равновесия: устойчивый узел, неустойчивый узел,устойчивый фокус, неустойчивый фокус и седло.
Для исследования типовсостояний равновесий удобно пользоваться диаграммой, изображенной нарис. 4.11. Для системы (5.1):,(5.11).(5.12)Грубым состояниям равновесия соответствуют все точки плоскости параметров , ,лежащие вне оси =0 и полуоси =0, >0.Точкам оси = 0 и полуоси = 0, >0 соответствуют негрубые состояния равновесия(негрубые особые точки). Их свойства могут быть изменены сколь угодно малымиизменениями правых частей уравнений (5.1) за счет сколь угодно малых измененийфункций P(x,y), Q(x,y) и их производных.
Поэтому характер негрубых состоянийравновесия (в частности, устойчивость) уже не определяется значениями коэффициентовв правых частях уравнений первого приближения (5.8). В отличие от линейных систем,уже при небольших изменений в правых частях содержащихся там нелинейных членовможет произойти качественное изменение фазового портрета — бифуркация.Примеры1. Кинетические уравнения Лотки (A.J. Lotka.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
