Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 21
Текст из файла (страница 21)
г – релаксационные колебания спостоянной амплитудой и фазой, (предельный цикл почти треугольной формы на фазовойплоскости ) α = 8; r = 0.5Интересно, что колебательные реакции в системе гликолиза были сначалапредсказаны на математической модели (Higgins, 1964), и лишь после этогозарегистрированы экспериментально с помощью метода дифференциальнойспектрофотометрии в лаборатории Б.
Чанса (1966).Внутриклеточные колебания кальция.Во многих типах живых клеток наблюдаются колебания внутриклеточнойконцентрации кальция, период которых может варьировать от 0,5 до 10 мин.Простейшая схема процессов, приводящих к гармонально обусловленнымколебаниям кальция, основой которых служит кальций индуцированныйвыходакальция из клетки, приведена на рис. 8.15. Такие колебания впервыенаблюдались Эндо с соавторами (1970) на клетках скелетных мышц, Фабиато(1975) на клетках саркоплазматического ретикулума сердца быка, и позднее —многими другими исследователями.Схема и модель процессов, предложена и описана в [Dupont and Goldbetter (1989,1994)].
Рассматриваются приток и отток кальция в клетку через плазматическуюмембрану (константы скоростей v1 и v2, соответственно); гормонально активируемоеосвобождение кальция из пула (скорость v3); активный транспорт цитозольного кальция впул, (v4), освобождение кальция из пула, активируемое цитозольным кальцием (v5);свободный отток кальция из пула в цитозоль (v6). Модель состоит из двухдифференциальных уравнений(8.11)Здесь S1 - концентрация кальция в цитозоле, S1- концентрация кальция в гормональночувствительном пуле.Выражения для величин скоростей были предложены в Simogyi, Stuckin (1991):(8.12)Модель предсказывает колебания концентрации кальция во времени, поформе близкие к экспериментальным (рис.
8.16).Клеточные циклы.В процессе жизненного цикла клетка удваивает свое содержимое и делится на две. Ворганизме млекопитающего для поддержания жизни производятся ежесекундномиллионы новых клеток. Нарушение регуляции пролиферации клеток проявляется каконкологическое заболевание.
Этим вызван большой интерес к изучению и моделированиюмеханизмов регуляции клеточного деления.Схема клеточного цикла изображена на рис. 8.17. Клеточный цикл состоит из двухпериодов: митоз (М-фаза) включает разделение предварительно удвоенного ядерногоматериала, деление ядра и деление самой клетки - цитокинез и занимает около часа.Значительно более длительный период между двумя митозами занимает интерфаза,включающая стадию роста G1, фазу репликации ДНК (S), фазу подготовки к делению G2.Клеточный цикл (рис.8.17) регулируется генами и белками-ферментами двух основныхклассов.Циклин-зависимые протеин-киназы (Cdk) индуцируют последовательностьпроцессов путем фосфорилирования отдельных белков.
Циклины, которыесинтезируются и деградируют при каждом новом цикле деления, связываются смолекулами Cdk и контролируют их способность к фосфорилированию, безциклина Cdk не активны. Количество этих молекул-регуляторов различно вразного вида клетках.В делении дрожжевой клетки основные роли играют один Cdk и девятьциклинов, которые образуют девять разных циклин-Cdk комплексов.
У гораздоболее сложно организованных млекопитающих изучено шесть Cdk и полторадесятка циклинов. Контроль выхода клетки из G1, и G2фаз осуществляютпромотор-фактор S-фазы(SPF)ипромотор-фактор M-фазы(MPF),представляющие собой гетеродимеры. Cуществует особая контрольная точкаклеточного цикла (Start), с которой заканчивается рост (G1 фаза) и начинаетсяпроцесс синтеза ДНК.Простая модель процесса предложена Тайсоном (Tyson, 1995). Постулируетсясуществование фактора транскрипции SBF, который может быть в активной Sa ипассивной Si форме. Он переходит в активную форму под действием циклинаCln (N) и Start-киназы (Cdc28-Cln3) (A) и инактивируется другим веществом (Е).Циклин продуцируется путем активации SBF и деградирует. SBF активируетсяChu и Start-киназой и инактивируется фосфатазой.
Безразмерная модельпроцессов имеет вид:(8.13)Модель имеет одно или три стационарных решения (два устойчивых) в зависимости отзначений параметров, и при увеличении параметра (в процессе роста клетки) описываетпереключение системы из G1 в S фазу.Добавление двух уравнений сходного вида позволяет описать также переключениеиз G2 в фазу митоза М. Полная модель, учитывающая и другие регуляторные ферменты вфосфорилированной и дефосфорилированной форме содержит 9 нелинейных уравнений(Novak, Tyson 1993) и хорошо описывает кинетику деления ооцитов Xenopus.
Присоответствующем подборе параметров она применима к описанию деления других типовклеток.Большое количество работ было посвящено попыткам моделирования периодическоговоздействия на клеточный цикл с целью оптимизации параметров рентгено- радио- илихемотерапии при воздействии на клетки онкологических опухолей.В современной литературе по математической биологии рассмотрены сотниавтоколебательных систем на разных уровнях организации живой природы.Несомненно, колебательный характер процессов — эволюционное изобретениеприроды, и их функциональная роль имеет несколько разных аспектов.Во-первых колебания позволяют разделить процессы во времени, когда водном компартменте клетки протекает сразу несколько различных реакций,организуя периоды высокой и низкой активности отдельных метаболитов.
Вовторых, характеристики колебаний, их амплитуда и фаза, несут определеннуюинформацию и могут играть регуляторную роль в каскадах процессов,проходящих на уровне клетки и живого организма. Наконец, колебательные(потенциально или реально) системы служат локальными элементамираспределенных активных сред, способных к пространственно-временнойсамоорганизации, в том числе к процессам морфогенеза. Эту рольколебательных систем мы подробно рассмотрим во второй части лекций.ЛитератураАндронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э.
Теория колебаний. М., Наука, 1981.Белюстина Л.Н., Кокина Г.А. Качественное исследовани е уравнений фотосинтеза. – В сб.Колебательные процессы в биологических и химических системах. М., Наука, 1967Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, стабильности и флуктуаций.М., 1978Николис Ж, Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М., Мир., 1979Чернавский Д.С., Чернавская Н.М. О колебаниях в темновых реакциях фотосинтеза.
– В сб.Колебательные процессы в биологических и химических системах. М., Наука, 1967Dupont G. and Goldbetter A. Theoretical insights into the origin of signal-induced calcium oscillations, inGoldbeter A. (ed). Cell to Cell signalling: From experiments to theoretical models. Acad. Press, London,pp. 461-474, 1989Dupont G.
and Goldbetter A. Oscillations and waves of citosolic calsium: insights from theoreticalmodels. Bioessays, 14, 485-493, 1992Higgins J.A. A chemical mechanism for oscillations in glicolitic intermediates in yeast cells. Proc. Nat.Acad. Sci. USA, v.51, 1954Higgins J.A. The theory of oscillating reactions. Ing. Chem. V.59, N5, 1967Hopf E. Abzweilung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differentialsystems(bifurcation of a periodic solusion from stationary solution of a system of differential equations) Ber.Math-phys. Kl.
Sachs. Akad. Wiss. Leipzig 94, 3-22, 1942Novak B, Tyson J.J. Modeling the cell division cycle: M-phase trigger, oscillation and size control, J.Theor. Biol. 165, 101-104, 1993Somogyi R, Stuckin J.W. Hormone-induced calcium oscillations in liver cells can beexplained by a simple one pool model. J. Biol. Chem.266, 11068-11077, 1991Prigozhine I.R., Lefebre R. Simmetry breaking instabilities indissipative systems.J.Che. Phys., 48, 1665-1700, 1968Winfree A.T.
The Geometry of Biological Time. Springer, 1980ЛЕКЦИЯ 9МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ВИДОВГипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские моделивзаимодействий. Классификация типов взаимодействий Конкуренция. Хищник-жертва.Обобщенныемоделивзаимодействиявидов. МодельКолмогорова.Модельвзаимодействия двух видов насекомых Макартура. Параметрический и фазовыепортреты системы Базыкина.Основателем современной математической теории популяций справедливо считаетсяитальянский математик Вито Вольтерра, разработавший математическую теориюбиологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные и интегродифференциальные уравнения.(Vito Volterra. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Luttepour la Vie.
Paris, 1931). В последующие десятилетия популяционная динамикаразвивалась, в основном, в русле высказанных в этой книге идей. Русский перевод книгиВольтерра вышел в 1976 г. под названием: «Математическая теория борьбы засуществование» с послесловием Ю.М. Свирежева, в котором рассматривается историяразвития математической экологии в период 1931-1976 гг.Книга Вольтерра написана так, как пишут книги по математике. В ней сначаласформулированы некоторые предположения о математических объектах, которыепредполагается изучать, а затем проводится математическое исследование свойств этихобъектов.Системы, изученные Вольтерра, состоят их двух или нескольких видов.
В отдельныхслучаях рассматривается запас используемой пищи. В основу уравнений, описывающихвзаимодействие этих видов, положены следующие представления.Гипотезы Вольтерра1. Пища либо имеется в неограниченном количестве, либо ее поступление с течениемвремени жестко регламентировано.2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибаетпостоянная доля существующих особей.3. Хищные виды поедают жертв, причем в единицу времени количество съеденных жертввсегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведениюколичества хищников на количество жертв.4. Если имеется пища в ограниченном количестве и несколько видов, которыеспособны ее потреблять, то доля пищи, потребляемой видом в единицу времени,пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторымкоэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
