Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(тогда а 1 'С' 2 — ф Ьг «а (1) е а 1 (14) т. е. В)1, ..., В)» независимо распределены, причем при даа~ О 41а ИМЕЕТ НОРМаЛЬНОЕ РаСПРЕДЕЛЕНИЕ С ПаРаМЕтРами (О, ~/41аа), а пРн Наа = Ос неРоЯтностью1 41а= О. Если матрица В имеет ранг А, то матрица Р также ИМЕЕТ РаНГ й, т, Е. ВСЕ да ) О, В ЗтОМ СЛУЧаЕ В) ИМЕЕТ 1ВЕ Гл. !1 мпогомсРные хлРлт!тяРистичгск1лг Фтикиии А-мерную плотность рч(У1~ ° ° Ул) = Л и„ 1 1 ти 1 2(о 2 2) =Ц вЂ” е = „, е , ~/я 1„, рп)лыа/(О( Поскольку В= С-'т) и (С)=1, то по формуле (2) из $43 (о !ех, сх) р2(х)=р„(Сх) = „2 е ' (2о) 2 21(01 -- (С"О 1ех, х) 1 — — (а 1х, х) 1 (Зо)!их Ъ'!' Н( (2хт)222 т/11 так как В-'= С*0-!С, )В~=(лх~. Нормальное распределение (Ц1, ..., Цх) с плотностью (15) называется нееыроэоденнь!и.
Если В диагональна с одинаковыми диагональными элементами, то нормальное распределение называется сферическим. В этом случае плотность (15) зависит лишь от расстояния точки х от начала координат. Если жс ранг г матр11ны В меньше !2, то 4„„» О для а = 1, ..., г, д,+1,,+! —— - ... = Ал = О (прн соот. ветствующем преобразовании С). В этом случае, как уже говорилось вьппе, Р(т)„„, =... =т)„=О) = 1, т. е.
вес распределение сосредоточено на пространстве меньшего числа измерений, определяемого равенствами еиаяа — — О, о= — г+ 1, ..., Й. а 1 Выбирая на этом подпрострапстве координаты т)„= ~~'„е„ат . ст = 1, ..., г, мы получаем, в силу (14), а-! на этом подпространстве плотность х 2 1 — Х— 2 и !Ч!" Пх( 1' ' ''' х) (хя)нх /Е и В этом случае нормальное распределение называется вырожденных!, Если мы в общем случае г - 12 к случайным величинам т)1, ..., т), применим еще линейное преобразова- ч ла мпоГОмГР!юв е!ОРмАлы1ое РАспРГЛГле!п1Б гвт НИЕ О„=Г1„/уй,а, таи Чта (ОЬ ., О,) .будут НСЗЗРЛ1- симы и (0,1)-нормальны, то мы приходим к следующему утверждени!о. Т ео р е и а б.
Для того чтобы случайный вектор Р ==. =($1, ..., зл) был нормально распределен, необход!! но и достаточно, чтобь! имело место представление Г $а Е ваьйа + аа» 1 еде ((дав!! — некотораял!атрица, М$,=а„а 01, ..., О,— независимыв нор.!!ально распределенные случайные величины с параметрал!и (О, 1). Одно из самых важных свойств нормального рас. пределения состоит в том, что опо выступает в ролл предельного распределения для достаточно общей схем,л сумм независимых случайных векторов.
!!!ы докажем здесь методом характеристических функций следующу1о предсльную теорему. Т е о р е м а 7. Пусть $„~»,..., $„, ... — последовательность незавпсил!ых одинаково рас!!рсделенных случайных векторов У„=(а„„..., ~„ь) с М1аА=О и конечнь!л!и Сот(Ваа, В„„)=баз. Обозначим ьа= — з!+ ... + Ца.
Того!с Ча — па функция распределения случайного вектора ~а= = з/и слабо сходится к нормальной функции распреде»1е!иля с нулсвыл!и л!атематическил!и ожиданиял!и и матрицей ковариации В=!~ Ь„з!1. Доказательств о. Обозначим 1 (1) характеристическУю фУнкцию Ра = ..„— а. ПосколькУ МР,= 0 и !ч)АД„„= б„а, то по свойству 9) 5 43 ~~ — ', )=1 — — ' ~' б„,Г.Г„+о( — '). а, Р—.1 Поэтому при л!обом 1 1 ь, !а! 1,.
(г) = ~) ~=)~ — »е откуда, в силу теоремы 3 9 45, след, сг доказываемое утверждение, 1аа ГЛ 11. М110ГОМВРНЫа ХЛР>гктЕРИСти>1ГСКИВ ФУПКЦИИ Ясно, что из (1б) вытекает справедливость аналогичного утверждения для конечных сумм таких прямо* угольников и для множсств, которые можно прибли. вить этими суммами. Другими словами, для любого измеримого по джордану множества А с Р (ь ~ дА) = О, где дА — граница А, при ~„=» 1, Р (Д„я А) -ь Р (~ ен А). (17) Можно доказать, что (17) справедливо для любого борелевского А с Р(~ ендА) =О.
Так же, как в одномерном случае, мы используем обычно предельное соотно шение (17) в допрсдсльной форме, считая, что прн достаточно больших и левая часть (1?) приближенно раппа правой. Сферическое нормальное распределение. Как уже го. ворплось выше, распределение С = Дг, ..., 21,) с плот- ностью (18) ь1астпым случаем этой теоремы является Теорема 8. Пусть 5 = Дг, ..., '„-1,) ихгеет полинолсиальное распределение с вероятностями исходов р = = (рь ..., рь) и и испьгганиями. Распределение вектора (г,— пр)1 ь~п при и — >- со слабо сходится к нор.
лиаЛЬНОМд С НрЛЕВЬт СрЕОНии и Матрицсгг КОВариации 1~б,,бр~ — р,рею еде б а — символ Кронекера. Доказательство. Случайный вектор З представим в виде суммы Ч, + т12+ ... + Ч„независимых вектойов Ч,„=(Чьг> Чмь ...> Ч„ь)> где Ч„з — — 1, если пйи и-и испытании произошел исход (1 и Ч =- О в противо- тгОЛОИ1НОЫ СЛуяаЕ.
ПОСКОЛЬКУ (гбЧ,гг=?га И СОЧ(Чье> Чат) = =- р,б — р р, то применима теорема 7, откуда и следует утверждение. Замечание 4. Из слабой сходимостн ь„к пре. дельному вектору ь следует, что для любого прямо. угольника непрерывности Л прсдельного распределения Р (~„ен Л) -» Р (с еи Л). (16) Ф и. мнОГОмеРное нОРмлльное РАОПРеделенне 1ЕВ называется сферическим нормальныл~ распределением. Это распределение инвариантно относительно любого ортогонального преобразования Г) = СВ, так как — — ' ~сьь с~п — — ', и, и 7„(1)=~а(С'г)=е ' ' =е т. е. 1ч(1)= ~е(1)'.
Из сфеРического ноРмального Распределения мы выведем несколько стандартных распределений, имеющих большое значение в математической статистике и других приложениях теории вероятностей. 1('-распределение. рассмотрим сферическое распределение с а = 1. Найдем распределение случайной величины Ха = ь1+ ° ° ° + ь1.
Найдем сначала плотность рх„(х) случайной величины ун (она пам понадобится дальше). Вероятность события х (тх ( х+ дх можно получить из й-мерной нормаль-. ной плотности (18) с и= 1, интегрируя ее по й-мерному сферическому слою радиуса х и толщины дх. В результате, поскольку (й — 1)-мерный объем (й — 1)-мерной сферы радиуса х пропорционален х'-', получаем р (х)=С х~ 'е Для определения Сх воспользуемся тем, что по свойству плотности ~ р (х) 0х = 1, откуда получаем хь СО х' ь Сх~х 'е ' дхх 2 Г( — )Сь=1 о и х р„ (х) = „ е , х ~ О.
(19) г' г©' !гтб Гл. и. миоГомГГиые хАГАктегистическив Фиг!кции Используя связь между плотностями р и р., имеем ХА КА' х з з(х)==рк ((Ггх )= —;, е ~, х~О. (20) -' (~) ?аспределепие с плотностью (20) называется хз-распре)елениел! с я степеняА!и своооды. При и = 2 х." имеет 1 показательную плотность —,-е ', х ~ О. Плотность (19) зри й = 3 называется плотность!о распределения г)1ап,еелла и дает в кинет!г !еско!1 теории газов расцрсдслпие збсолготной величины скорое!и частиц. распределение Ст е а.
Пусть случайные величины сгг, ь ..., $А независимы и нормально распредс. лены с параметрами (О, 1). В статистике мы часто будем использовать слугайную величину называемую огносиением Сгьгоденга. Распределение случайной всличппы та, называемое распределениелг Стщ»- денга с й с! Епен!!лги свободы, имеет плотность ее(х)= ' ',, ~1+ — '„), — <х< .
(21) :- "(~) Плотность (21) можно вывести следующим образом, А Обозначая ХА= ~/ х„й„, представим тА в виде отпою-! щения двух независимых случайных величин ,!г! т,!=в хг! распределение которых известно (числитель имеет по!- мальиое распределение (О, ~ГФ ), а знаменатель — -рас. % 46. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 171 пределение (19)). Функция распределения 52(х) случайной величины ти равна интегралу ~ ( )=Р(т (х)= ~~ р~,ги-(и)рх (о) 1!2 1"= и — ".х, и)0 1 (и1,) =а, )) о е сии'о, — ~х, и)0 и и где От переменных (и, о) перейдем к новым переменным '(у, г) по формулам (22> и=,дг, о=г, Якобиан преобразования равен ( ' =г, поэтому д (и, 0) д (у, 2) о е 2(и1(о= ) 2(у~ ге ' Г(г= и — "х, и)О и х В+! ~о 222 = ~ ( — „+1) а!у~ ве ' а!ге= Ф 0 А — 1 х А+! =2 Г( ) )('~ +1) а'у, откуда следует (21).
Заметим, что плотность (21) прн 2 й-и со сходится к нормальной плотности =е х/ги зависимые (О, 1)-нормальные случайные величины. !7я Гл. 1!. янОГомвРные хАРАктаРистичаскна Функции Обозначнь! Р ~ а2 Р 2 а=1 Распределение РРР имеет плотность '(з)'(з),+.,) — "' ' а называется Р-раепределеаием Фишера. Для вывода (23) воспользуемся тем, что Р рР есть отношение двух независимых случайных величин, имеющих распределение т2 с р и д степенями свободы соответственно.
По. атому Р ! Я-1 х+Р и о е ' !(и !(о. Р+Р з ' гЯг( — ) х -<х о --1 --1 Р Р М+Р и о е Г!и!(о= 2 2 2 — „<х Р а>о, Р>о хЪО, в~О Делая опять под интегралом замену переменных (22), получаем алддчи г ( " + ' ) (,» ро чх) — г ) ус) ~ р+ч '-'гг откуда уьче нетрудно вывести (23), Просто связанная с Гро случайная величина $~! +, " + й', аг+" +йр+цг+" +цд имеет болсе симметричное р-распределение с вестью 1 — ! -„-! Р о ха (1 — х), О~~я~ (!. в( —, -) (р ч) 2' 2 плот- (25) Задачи 1. Случайные величины $ь ег — коордвнагы точкп, равномерно распределенной в треугольнике йг ~ О, йг ~ О, $г + аг -'- 1. Найти нх двумерную характеристическую функцию. 2.
Пусть 1(!) — характеристическая функция случайной велцчияы $г. Найти характеристическую функциго 5г, аг, если $г= 1 — Ь. 3. Случайные величины йг, $г имеют сферическое нормальное распределение с плотностью ! —, (х'+в'! — и 2ц )!айти вероятности Р((е1~1, (т1(- Ц и Р(аз+ т)~гС1), г м 4. Случайные величины $о, ао, ь!.....
$„независимы и имеют нормальное распределение с парамстрамн (О, !). Выразить через распределение Стьюдента распределение случайной величины йо со 5. Доказатгь что случайная аслнчипа (24) имеет плотность р-распределениг! (25). Функции )(х-распределения, распределения Стыодента и Е-распределения табулированы. Г л а в а 12. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ф 47. Зако Г!усть на вероятностном пространстве (11,,чт, Р) оп;спалена последовательность событий Л, ев Ф., С каж- , йг такой послсдователгнгосгью можно связать события Л =(ьи гали Л„для бесконечно многих н), ˄— — (вн гаев А„для всех, кроме конечного числа и), которые называются соответственно верхним и нггжнидг лределадги последовательности (Лл). Мы будем обозначатьь А'=1Ипвир А„, Л„=!!гп !п1 Л„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
