Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому й пои больших и (а, о/.1Леи)-асимптотическн нормальна и е 4Леlч 1 Р(/а — а~~в) =т~ — „~ е ' 4(и, (13) -е чЛе/а 152 гл,нс цвнтгьльнля пгвдвльнья таовеыь Из (13) формально можно было бы сделать вывод, что с помощщо как угодно грубых методов измерения получаются прп больших и как угодно точные результаты. Это противоречит здравому смьгслу. В чем тут дело? По-видимому, измерение грубыми методамн пе подчиняется той модели, па основе которой получена фор. мула (13). И,, действительно, прн крупном масштабе деления измерительного инструмента нельзя гарантировать отсутствие систематической ошибки. Часто, отвлекаясь от ошнбкн округления, принн.
мают, что каждое измерение гг имеет нормальное распределение с параметрами (а„а). Тогда (13) из приближенного равенства превращается в точное. П р и м е р 2. Логарифмиггески-норлгальное распределение. В антропологии обычно рост нли вес человека определенного возраста и пола считают случайной ве. лнчнпой, имеющей нормальное распределение. Однако во многих случаях с гораздо большим основанием можно считать, что логарифмы этих параметров имеют нормальное распределение. Если случайгная величина Ч та. кона, что $ = !оаЧ имеет нормальное распределение, то говорят, что Ч имеет логарифмггчгески-норггальное распреде,гение, нли, короче, лог-норлгальное распределение.
Лог-нормальности роста и веса можно дать некоторое теоретическое обоснование. В самом деле, вес, например, получается в результате воздействия многих нева. висимых причин, однако эти причины воздействугот на вес не адднтнвно, а мультнпликативно, т. е. Ч ЧгЧ2 ' ' ' Чл где Ч; — близкие к едгпгице независимые случайные величиныны. В этом случае 1од Ч = ~ !о и Ч „ г г и !оиЧ в силу центральной предельной теоремы имеет в пределе нормальное распределение. П р н м ер 3.
С помощью центральной предельной теоремы можно доказывать н чисто аналитические факты. Докажем, например, что пь К-г л! 2 ' ,11ПЕ л7 а-0 злдлчи Задачи 1, В предположыин, что размер одного шага пешехода равномсрно распределен в нптервале от 70 см до 80 см и размеры раз. пых шагов незанисямы, найти вероятность того, что за !0000 шагов ок пройдет расстояние не менее 7,49 км и ие более 7,5! км. 2. Пусть случайные величины $~ йз, ... независимы и одинаково распределены, Мь!=О, Мй;=1, Показать, что для последовательности т рая!, Хз$г, ..., 1«ь«„...,, где и„— числовая последовательность, удовлетворяюшая уеловшо гпах Х» -!-О а ;7'„й» »=! (14) справедлива псптральная предельная теорема.
Построить пример, показываюшнй, что прн нарушении условия (14) пентральная пре. дельная теорсма может не выполняться. 3. Случайные- величины й!, яг, ..., $«, ... независимы н имеют следующие распределения Р(йз и ) Р(~а= — л")= —, а 1 2па Р (я!г 01 1 — —.
1 пр' Прн каких !х и !! выполнено условие теоремы Ляпуиовар 4. Случайные величины $„Ч независимы и имеют пуассонов- скис распределения с Мейа= МЧ» 7сп. Найти 1,ш Р~ Ь вЂ” Ча ~х~ 5. Случайные величины $!, яз, ..., яю ... независимы и равно- мерно распредслепы на отрезке (О, 1), Найти вероятность того, что гое » ! В самом деле, пусть г„есть случайная величина, имеюгпая распределение Пуассона с параметром гг, Тогда Р(ьа~ п)=е а~ —,. » ! Поскольку с„= й! + ...
+ $„, где $» независимы, Мй» вЂ” — 1 н распределены по закону Пуассона, то ь„асимптотнчески нормальна с параметрами 1п, ~/и); поэтому Р (~„~ и) — «1/2. Г л а в а !1, МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $43, Определение и простейшие свойства Пусть случайный вектор а = Я!.., .. ьь) имеет много. мерную функцию распределения Гл,.„;, (х!,..., хл)= Р (5! «~ х!,..., $„(хл), которую мы иногда будем обозначать кратко Рл(х), полагая х =(х!, ..., хл). Анало- гично, плотность р,,, Л„(х!, ..., хл), сели опа сущест- вует, будем обозначать р;(х). 1Иного,иернои характери- стической функииеи' случа!1иого вектора е назовем 11 Я = Ь, ...
1„(1 !, ..., 1,) = Ме! !" ", где 1=(1„..., 1,), (1, $)= ~ ~Д„. Характеристическая и — ! функция определена для всех 1 с дейстпительными ком. понситами 1„. Характеристическая функция (1) пареде. ляется с помощью 1!Л(х) и рв(х) следующим образом; ) (1)= ~е'!' >ЛГл(х), (л(1)= ~е'!'")рл(х)дх где интегралы берутся но всему и-л!ерному простран- ству 1т'~.
Свойства характеристических функций. 1) При всех 1 е=- Я" ~1(!) ! =" 1, ЦО) =- 1. Очевидное следствие из ~е'!' Ы ~ = — 1. 2) 1(1) ривномерно непрерывна ло й Доказательство. Обозна шм событие Л =- = (~ сч~ ~~ Х, !х = 1, ..., Ц н напишем нс1)авенство ~ )-(1+ !!) ) (1) ! ! Ме!(с л!(е! (й, $! 1) ! ( М ~ е' !" М вЂ” 11= М ~ е' !" л! — 1! Хл + + М ( е' !" М вЂ” 1 ! (Х ( М1(1!, с)! Тл -!- 2Мӄ— ~~ (~ Х ~ й ~ + 2Р ',;-' ф ! — Х, Х1"), % Эа опРеделение и пРостеишие сВОйстВА !56 где [Ь[= ~~„~ Ь,„[ н [ — Х, Х)' — прямоугольник а =-! (х: ~ х„~<Х, о.= 1, ...„й). Пус~~ дано е = й. Выбираем сначала Л так, чтобы Р(й Ф[ — Х, Х)') <е/4.
Тогда прн всех )А! = е/(2Х) ['(1+ й) — ! (1) ) а е, что и требовалось доказать. 3) Если $(1), $(2), ..., й(Э!) — независимые случайна!в векторы и ь= $(1)+ й(2)+ ... +й(я), то [:(~) = П [,ии«). Доказывается с помощью мульпшлнкатншюго свойства математн !еского ожидания. 4) Характеристическая функция для вектора (а!,,. ..., 5 ), т <; яб иолу чается из характеристической функции [Е ... В «!, ..., (А) слсдуюЭцим образом: 1~,... «,...,1)=[,, „4«п...,(„, О, ..., О). Очевидно. 5) )ь,+ ... +; «) = 7е .., еь «1 ° !) Вытекает из )' $, '(=1 Х $ п!' а ! 6) Для незаеиси.ности а!, ..., КА необходима и да.
статачно, чтобы [;,!..е,((п ..„1,)=Ц):„(1.). Необходимость следует из мультипликативного свойства математического ожидания, Достато !ность будет следовать из доказываемой ниже формулы обращения. 7) Если т) = Ск — линейное преобразование Ча = ~Х'„сиД, а = 1...,, т, а ! с матрицей С =[~сиз[~„а= 1, ..., и; 6=1, ..., й, то Уч(~) =)1(СЪ гл. о, мцогомвгныв ххглктхгг!стичвскив ак!!кцни еде С" — сопряженная С !!агро!1а, преобразующая вектор 1=(г!, ..., 1 ) по форл!1!л!!м с„з~„, ~=1, ..., 7». а ! Доказательство. '~Р ! ! Е !а 2 сыт-6 Мег(! ч)=ме ч=! "а=Ме!(!,с»! 1!!)е ь т !)» л с=! а=! = Ще!!с'! Ю =1»(С"1), 3 а и е ч а и н е 1.
Если и! = й, детерминант ~ С~ чь О н имеется плотность р»(х), то г! = Сс также имеет плогность р„(у), которая связана с р»(х) формуле!! рчЬ)= >~> р»(С 'И) (2) В самом деле, для любого А ~ Яч имеем Р(зе-:А) = ~ р»(х)г!х. Делая в интеграле замену х=С у, полул чаем Ра =А)= 1 р»(С-'р)~С-'~а~!= =Р(Ч !и!СА) = ~ рчЫгЬ, откуда следует (2). 3 а меч а н не 2. Из 3) и 7) следует, что прн преобразовании г! = С5+Ь имеется следующая связь между характеристическими функциями ~» и )„: (г) =е!(!, ы~(С'1) 8) К»( — !) =7»(1) ="~-»(1) Очевидно, Обозначим моменты и!а ... ее= М$! $з . ье ° 9) Если конечны все и„, ...,ь с а!+ ... + а» =г, то „д"1 (о,,...
о> гп„„,, =1" » '''", и=а!+ ... +аа~~г, (3) !"' а да! да» ' '! " !Ф з сэ. ОпРпдельч!ив и и!1остеи!пне сзоиствл 15т Г а, аа )(!)= ! !" ~ — ''-'' " »!а .„аз+Я (~) (4) а,! ... ас! а=а а + ... -са =-а с еде К,(1)= о((!!") при )1(=)1!(+ .. +(1а~ — ~0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (3) доказывается так же, как в одномерном случае. Для доказатель- ства (4) опять введем событие А = () аа! ~ Х, сс = 1, ... ..., й) н в правой части неравенства >а!с!=./а("' — К с".;с')/» а 0 а-О воспользуемся неравенством е!а — ~ — «< — при ча (ир)а 3 ф('+ Л сз 1 (г+!)! а о 1=с и 1а г — 1.
Получаем !(й й) Г+! м)(), ц!'т; (с+ !)! л+ с! Хс+! ! ~с+! ) ! !с (, + ')! + ' —,! йй(М ~+ " +! Ч)'Х Для каждого з ) 0 выбираем сначала Х так, чтобы второй член был (з) с) '/2. Тогда прн (1( с 1, =- = е (г+ 1)!/(2Х'+!) получаем ) )тс(!) ~ ( в) г('. П р и м е р ы. 1, Если Р($ = с) = 1, то ~з(~) =в!!' с!, 2. ПУсть ф!, ...ц (зь ..., зз) =Мз,' ..., зсь — много- мерная производящая функния случайного вектора й= =-($!...,, йа), Тогда ~з(1„..., 1„)=ср! (еи!, ..., еиз), В частности, для полиномнального распределения <И (з! ° ° ° за) =(Рьз! + ° ° ° + Раза) 1!(1„...! 1д!)=(Р,е '+ ...
+ Рве з У; 158 гл. и. многомвнныв хлглктае!!стическив функции 3. Пусть $!...,, $ь — нормально распределенные независимые случа!н!Ые Величины с Мад =н, и 0$д = Ьд. Тогда Е „г„=.,'Х „4 (1) е д-! а-! О 44. Формула обращения (5) Основываясь на (5), докажем формулу обращения в общем слУчае. ПУсть г1 =(О!, ..., т)д) имеет независимые компоненты, причем !)„имеет равномерное в ( — -1„, 1д) распределение, а О = (Оь ..., Оь) — случай. пын вектор с независимыми нормально распределенными компонентами с МО,=О, 08„=1. Образуем век. тор ь = 5+ г(+ и О.
Его характернстнческая функция, если $, т), О независимы, равна ! д~ '~' 2 (1) г (1) П з!з а д, а=! !д!д д ! Позтому по формуле (5) рс (х) = —, ~ е ! !! "'Ы) !11. (б) (2я)' „"й Обозначим Л(х, 1) прямоугольник с вершинами хднф !„, м == 1, ..., я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
