Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

л.э л .> сл 11етрудпо видеть, что Л*= П Ц Л„„Л.=Ц П А„, поэтому А' и А, принадлежат лл, т. е. являются собь:- тпями. Если Л" = А, = А, то мы будем говори ~ь, что Л есть предел Л,„н будем писать А=!пи А,. Если ввести индикаторы 1д, то легко видеть, что 1д =1!ги ьнр1д ~=> Л" =11гп анр Ал, л-> лэ 1д, =!!гп!п1 1д ч=;-А.= Игп1п1Лэь л-> лэ 1д = !пп 1д ~=ь Л = Ига Лл, л-Э>о п> Монотонные последовательности Л всегда имеют предел.

Если Аг' — А2'== ..., то Ал'! Л„= Л'= Ц Л„, а если л 5 47. леммл вогвля — клнтвлли А, з А, и ..., то Л„), А* = А. = Д А„, В этих случаях из а аксиомы непрерывности легко получить Р(А„)! Р( Ц Л„) л н Р(А„) ! Р ( П А„). Поскольку для любо,'1 последовательности (Л„) В„= Ц Ам ( А* = 1пп ацр Л„и С„= П А,„!' Л, =- П3 )И в.+ ю т~и 1!и! !п( Лп~ то Р()ип зпр А„) =1!гп Р(В„), Р(11п! !п! А„) =-!пп Р (С„). при которых вероятность события Л„равна нулю или единице, дает ниже- Условия, А =!пи зпр а-> э с!!едующая Лемма 1. ',(Лемма Вореля — Кантелли.) Если ~ Р(А,) < со, то Р(А') = О. Если А!, Л!, ... независи,яы и Х Р(Л„) = (2) о=! то Р (А") = 1. Д о к а з а т с л ь с т в о.

Рассмотрим случаш!у!о вели. чану ь= Х )л„, в 1 поэтому из (1) следует Мз < оо, т. е. случайная величина с вероятностью 1 конечна, а так как Р (Л ) = =Р(К= со), то первая часть леммы доказана. Для равную числу тех номеров п, при которых происходит Л„(т. е. ~(в)= Й, если ровно для Й номеров а в! ~ Л„). 1!о теореме о монотонной сходимости Ув ГЛ.

12. УСИЛЕННЫБ ЗАКОН ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ доказательства второй части воспользуемся независи- мостью Ль Лг, ... в соотношении Р(А)=и Р(Б А ) ! — и Р(Н А„( и Ф =1 — Нт 11гп Р~ Д Л ~= 1 — 1нп 1нп Ц(1 — Р(А,„))= Л» Ф.»»и и и.» Й-»и и!=и =1 — 11т Ц (1 — Р(А ))=1, и+а»и л так ак ряд.(2),расходится. е~ ' След с т н„и ед Если Аь Ав ... независимы, то Р(Л') равнд О или 1 в зависимости от того, сходится или расходится ряд Х Р (А„). Это следствие является частным случаем более общего закона «О нлн 1» Л. Н. Колмогорова. Пусть на вероятностном пространстве (ьг, .4, Р) опре- » делена последовательность $И $м ...

независимых случайных величин. (Это означает, что любая конечная их совокупность |н ~„..., зн независима.) Ранее мы уже определяли о-алгебру Ф~,.„х, порожденную случайными величинами $Н ..., з„, как а-алгебру всех событий А, представимых в виде А =(еи Я,(а), ..., ~„(а))) ен В, где В ев Я" — борелевские множества из пространства Я"- Аналогично определяются я~е„с=.Ф~„~,+, '=... Объединение всех .Ме„, Фч ~„,, ...

есть алгебра событии; минимальную а-алгебру, порожденную этой алгеброй, обозначим ,Ф~„х , Последовательность А!е »х«, ,НС1„+,еи+, ..., ... есть послеДовательность невозРастающих о-алгебр. Назовем и-алгебру $' П М~ е и и+~ '" остаточной о-алгеброй последовательности ($,); события ,4 ~ и также будем называть остаточньти. Это название отражает тот факт, что любое А~ У не зависит от любого конечного числа случайных величин $И $м ..., 5„ и определяется лишь «бесконечно далекими» значениями последовательности $И $„... Примерами остаточных событий являются 1 ~ $, сходится1,( Х, ~„ расходится~. л > х л з еь глзличныв виды сходимости Теорема 1.

(Закон «О или 1а Колмогорова.) Если фь ~м, — независимые случайные величины, то всякое остаточное событие А е=Ъ'имеет вероятность Р(А), равную О или 1. Доказательство. Если А~У, то А~лс.-,. прн любом и. Так как за „. е, и .4~„е«„, .„независимы, то Р (ЛВ) = Р (А) Р (В) для любого В е= Фт, ... 1„при каждом и.

Следовательно, Л не зависит от любого В ен Ф , а так как У с='Ф , то Л пе зависит от самого себя, т. е. Р(АА) =Р(А) = Рз(А), откуда и следует утверждение. С л ел с т в и е, Если ~ь 'вм .. „независимы, то 'либо сходится с вероятностью 1, либо расходится с вероятностью 1; то же самое справедливо для ряда Л', С«. ф 48. Различные виды сходнмостн 3 случайных величин Сходнмость пбчти иав Мы будем говорить, что иоследоват ьность ь е„... сходится почти наверное п. и. ,'(и, и,) к случайной величине $, и писать $„— ~ $, если Р ( 11га $„= Д = 1, Фьв, вероятность события (ьи 11 из $. (ы) чь ~ (ы)) равна нулю.

«.и. Покажем, что сходимость $„— -» $ эквивалентна Ному что для каждого е ~ О $ 1нп Р (еи зпр! $ — 3! > е) = О, (3) л.» о м»в В'-самом деле, событие Д,-» Д можно записать так1 ОО ОО а.-о=П О П (~:--~~~-,') г га 1е>л !78 ГЛ. 1Я УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ а противоположное событие представимо в виде д.

д=Ц Ц Ц ~!~.— ~!>-'„~. г 1 и 1 ((()~л О Для того чтобы Р($„тг Д, необходимо и достаточно, чтобы при всех г Р ! П Ц (( 1„ — 1( > -' ) ) =- О. (() ~л.1т-а а так как () ~!г. 5!> ( ( зпр /я (П .Ри то пз (4) следует, что при гнобом г =". ! !Нп Р ! Зпр! 5 — $ ! > — ~ =О, И-(" ((!)(1 что равносильно (3). Сходимость по вероятности. Мы.

говорим, что $, схо- Р дится по вероятности к я (и обозначаем з„- ~ь), если для любого е > О Р(!$,— 5!>е)- О, и-+оо. Доказанный ранее закон больших чисел для сумм с„=ь(+... +Е„независимых одинаково распределенных случайных величин с Ч'-,",=а и Оя(=ое < оо дает пригв мер сходнмости по вероятности ="-+а, так как )те>0 (2 Р ~ ! =" — а ~ ) е ~ -+ О, и -+ оо. Поскольку (!„— я! > е) с:-( епр ! 5 — ~ !) е), то нз (Ь> и П. П Р условия (3) вытекает, что ~„-'-( в влечет за собой ~„— ь я. Мы будем говорить, что последовательность случайных величин $„ фундаА(ептальна по вероятпости„ сслп т.> О Р (! $„ — 6 ! > е) О, и, гп 179 % !а Рлзл!!ч![Ыв Вилы сходимости Те о р е м а 2.

Для того чтобы»„ », необходитяо и р достаточно, чтобьс последовательность»„была фдндал!ентальна ио вероятности. Доказательство. Если»„-;-, то из неравенства Ра».— ».~> ) ~Р (~ .— '~> Я+ Р (~».— и>Я вытекает фундаментальность ('„'„1. Для доказательства достаточности воспользуемся следующей леммой. Л е м и а 2.

Если иоследовителлность ~„фундаментальна ио вероятности, то из нее л!оасно выбрать иодиогледовагельность, сходящуюся п, н. Дока за тель!ство. Положим и! = 1 и по индукции определим иь как наименьшее Ф > иь !, для кото- рого Р~!$„— ~,!> — „~< —, ! 1 1 при всех г, з ) Л'. Тогда ~" Р~1~„„,— Рь„~> — '„~<,' — ', ( ь ь поэтому по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий ~ », ' —,'.-, ~ > — „. Поэтому ряд»!+ ~~> (».ь, — »„ь) сходится ь=-! с вероятностью 1. Полагая»=»!+ 2 ($ +, — 5ь,) для ь=! тех !ь, для которых ряд сходится, 'и иул!о в остальных точках, получаем $„— '"«», Лемма доказана.

"ь Докажем теперь достаточность в теореме 2. Если '„ фундаментальна по вероятности, то в силу леммы существует случайная величина $ и подпоследовательность $„, $„-'--' ». Но в этом случае 5„- $, так как "ь> "ь Р<~»„— Ы>.) <Р ~Рь — з.„~>Я+Р(~»„,— »1> —,"1 О. Докажем еще одно следствиесходимости по вероятности, 1ВО ГЛ.

12. УСИЛЕИНМИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ..Х.со реме 31 Если е„- е, то функция распределения а Р;л(х) слабо сходится к функции распределения Р2(х). Доказательство. Обозначим событие (1$л — ь~ ~ Б) = Л,. Так как при в е= Л„ э — е<$л<1+е, то при любом х мы имеем ('='л х) с= (е ~ ~х + е) 0 Л„, (Б-.=х — е) ~б.<х) 0Лл, откуда след1ст Р (, «<х — е) — Р(Л„) Р (~„~~х) -= Р (э ~~ х + е) + Р (Л„), Р (2: х — Б) < 111п Р (В„е-.. х) - '1!гп Р Д„«х):с (б) л Ллл ~ Р (е ~ (х + е).

Если х — точка непрерывности Р1 (х), то из (5) получаем 1пп Р2 (х) = Р2(х), что и требовалось доказать. лЛ« Если Р1 (х) слабо сходится к вырожденному распре. делению, то имеет место обратное утверждение. Т"со р е ма 4. Если Ре =; Р2 и Р1 вырозкдвно в точке с, а то лл, — с. Доказательство, Так как Р~„(с+е)-э1 и РЬл(с — е),О, то Р(с — е<$л 'с+е) — ~1, т. е. Р(1~э„— с1> е)-лО, что и требовалось доказать. Следуюший пример показывает, что сходимость п.н, сильнее сходимости по вероятности.

Пусть пространство элементарных событий — это отрезок ь) = 10,11, события — это борелевские множества на нем, вероятность —. мера Лебега, Для 2' ~~ и < 2Е м определим ~„(е1) = п — 2 в+! — 2 1, — 2<а< 2~ О в Остальных точках. $ ЕЬ УСИЛЕНИЫИ ЗЛКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 181 1 Гак как при любом 1>е>0 Р(1$„1> е)= — а, то ка ";в-в0, но Б то же время Рйл"— "'тв0) =1.

Сходимость в среднем. Мы будем говорить, что последователыюсть $н сходится в среднем порядка г> О, если М) ~„— ~!' 0, а %> Ь (б) Если г = 2, то сходимость (6) называется сходимостью в среднем квидритичесаом. Сходимость в среднем порядка г будем обозначать Бн-'. $. Из неравенства Чебышева Р(! 5„— $ ~> в» ( в Р вытекает, что сходпмость 5в — $ влечет $„— $, '=ф е~'=-ьг Рис. 13. Связь между равличнмми видами сходвмовти случайных величин, Таким образом, мы установили соотношении между разными видами сходнмости случайных величин (см. рис, 13), ф 49.

Усиленный закон больших чисел Исходя из неравенства Чебышева РК. — М~. ~>.) ==+, примененного к суммам Ь„= $~+' ... +$„независимых случайных величин $ь ..., $„мы доказали ранее закон больших чисел (теорема )1ебышева), который 18З ГЛ. БЬ УСИЛЕЬН!ЫИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ можно сформулировать так: если Бь $з..с. независимы и Озь ограничены, то ьл 1ч11п -О.

Характеристики

Список файлов книги