Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда, ак как Ра((-Х)- Р(а-Х), можно выбрать па таким, что ри и - иа Г„( — Х) е/2 и 1 — Р,(Х)(е/2. Оценим % 39. теОРГил О пепРеРыВНОм сООтвгтствии 14З рззность ! 1 д ( ) Р. (,) — 1 д (.,) нг (,) ~ ~ Ю Х х ~ д (х) ((Р (х) — ~ й (х)((Р„ (х) + -Х вЂ” Х а(*)з~~Р(*)Н ) а(*) (*)~~ 1) х) >х 1)х)>х Х Х ~ )а( )а'(*) — )а(*) )Р.(.)~.)-)(«-м а. ())) — Х -Х На основании (31) заключаем, что правая часть (32) может быть сделана как угодно малой, что и доказывает теорему. Доказательство теорем ы 3. По теореме 6 из Р„(х)=РР(х) вытекает )„(()=~ е""((Р„-Р ~е""((Р= =)((). Можно доказать, что эта сходимость будет равномерной на каждом конечном интервале б Доказательство теоремы 4.
По теореме б из последовательности Р„(х) можно выбрать подпоследовательность Р„„(х)=РР*(х). Докажем, что Р'(х)— функция распределения, т. е. что Р*(оо) = 1, Р'( — со)=0. Для этого мы используем неравенство (33) где 1(1) — характеристическая функция ~, Х:> О, т~ О.
В частности, прн ТХ = 2 Р((()~х)Р2)ц, 1)ф)й — ). (Ы -Т 144 гл. в хлРАктнгистичяскив Функции Докаггсем (33). Имеем откуда и следует (33). По предположению /(г) непрерывна в нуле, поэтому существует такое тч ~ О, что при О к- т - тч — ~ / (Г) !1/. 1 — в/4. 1 Так как /,(Г)-~-/(Г) в каждой точке Г, то существует гаков пм что при п ) п4 ~~„(г),/г ~/(/)й! < — ',„' (теорема 3 $24 о мажорируемой сходимости). Тогда гРИ П~ПР— ~/ (1)Ж "1 — с/2, ! по неравенству (34) э П $л 1:-..
2/т) = = — Р„(%) — Г„( — 2/т) «2 (1 — е/2) — 1 = 1 — е, '. е. ГР (2/т) — Г„( — 2/т) 1 — е, следовательно, Г" (+со)= =1, /г'( — со)= О. Докажем теперь, что г„=>-Г. Пред!оложнм, что Р„=,ЬР. Тогда существу!от две подпос!едовательности Г„= Р и Рж=Р.Г*'. По примой ире;ельпой теореме /„,-Р/', /„.-+/", но так как /„-ь/, то "=/""=/'. Теорема доказана. 2 1 =~М вЂ” ' 1 + — М/ц4! > — 1 Магм г(Г = — М 1 сиг !// = (/с!г !~хг+/мг! > х!)~ «М/г!ггФгхг+ хг=~ ць|~«х)+ — ',. (1 — Рцв~~х)), злдлчы Задачи 1. Найти характеристическую функцию распределении, задаваемого плотностью — е ! 1. 2. Г!лотпость распределения случайной величины й задана формулами с — 1 х — л 2Г (а) — е, х-:О, рз (х) = 11 )~-1 21' (й) — ех х<О, с положительными сс и й.
Найти характеристическую функцию (1(!). 3. Пусть (,(1) н !з(!) — характеристические функции, О ~ р !. Доказать, что !(!) р)1(!)+(! — р))з(!) тоже будет характеристи,ческой 4>уикцисй. 4. Если !(Г) — характеристическая функция, то (хе!"(!) также будет характеристической функпяей. Доказать, б. Пользуясь простейшими сзойстгамп характеристических функ- 1 ций, показать, что функции, а) ып й б) з!и !+ 1 в) —, г) (соз !! 1+Р не могут быть характеристическими. й. Показать, что характеристическая функция Гй (!) случайной величины й вггцественна при асех ! тогда н ~олько тогда, когда распределение с симметрично (т.е.
й и — г, имеют одюгакоаые рас- Рределеии я), Г л а в а 1О. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА % 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых Ранее мы доказали, что распределение числа успе. мов и в схеме Бернулли при и -+-оо н постоянном О ~ ( р ~ 1 обладает следующим предельным свойством; 1ппР1 — "" (х1= — ' ~ е ' ди. (1) и-~ » ~ т/0и ) ч/2и Функцию нормального распределения будем обозначать Ф (х) = — 1 е "'и авиа Функция нормального распреч/2к деления Ф(х) выражается через интеграл Лапласа х Фь(х)== !е-"ч2аи,') введенный в гл, 4, следующим ° ~/2л 3 О образом: ~ Ф(х) = —, + Ф„(х). Этот результат является " 1" 2 очень частным случаем' "так называемой центральной предельной теоремы.
Пусть $!, $м ..., С„, ... — последовательность независимых случайных величин. Мы будем говорить, что для атой последовательности выполнена центральная предельная теорема, если при любом х справедливо следующее предельное соотношение для сумм ~,= а1+ 4+ ... + с„; 1пп Р( " "~ х~=Ф(х). (2) .-+- ~ 4Тл Так как в схеме Бернулли число успехов можно представить в виде суммы и = р~ + р! + ... + р, независимых случайных величин с Р(р; = 1) = р, 143 , гл. !О. ивнтгйльнйя пявдельнйя твоявмй где ~»! (!)~ <, -',, ~ — я + гй(г)~ е= ~ Ьй (о) (это доказывается так же, как свойство 6) из $37). В силу независимости $й, характеристическая функция Н 1 — сй равна произведению В„ Логарифмируя, получаем 1оя 1*, (!) = ~~' 1оК !'й ( ~, ) ° (6) Из разложения 1од(1+ х) = ~~ следует, что 1оя(1+ х) = х+ а(х), где прп ~х(<~ 1/2 ) а (х) 1= ~ .=; — ~! ! х ~" » ~! х (й.
й-й й-а (7) (8) А. = ~: а„В";, = Х Ьй, С'. = Х сй. й-.! ' й .! й' ! .Г ео ем а 2..!(Теорема Ляпунова.) Если $!, $й, !!й незаеисил!ы, о„, Ьй, сй конечны ц С„/„— «О, то 1пп Р( ' ''' " " -,х~=!4!(х). (3) й-т ~ и а . Положим сй = Ь вЂ” аь Ь (т) (Ф Так как М$ =О, М$'„.= 62, М1Ь!3=ей( соуто й Гй(1)=1 — —, Ьй+ йй, (4) зм, твоеемА ляпуноел Из условия теоремы вытекает (9) („мы здесь воспользовались неравенством (М~5~') ' ~ м (М) е ~"')м"'!").
Таким образом, 14В",! -+0 прин-~ ее равномерно по 1 )е~~а. Пусть Т>0 и ~1!!~;',Т. Сот» ласке (4) и (5) )ь ( — ) =1+ее ( — ), где, в силу (9), е! — = — —, + гь — ~~ — ' + ° (10) Выберем по таким, что ~ее ( — ) ~ —,.
при п ~ пе, и применим в правой части (6) представление (7) с оцен. кой (8). Получаем а !! 1И, (1)= — — ', +,'"„,( —,')+~„8;-;-,(',—,' ), (11) е-! Ф-! где 18х! "1. Используя в (11) оценки (5) и (10),имеем при (1)( Т: ~1оИ~„(1)+Я ~~" ~ —,' ) ~+ а ! + и!ах ~еь( — ) ~~~~! ~еь ( — ) ~( —. ~ — ") + А=! !пах Ье !! T4 1~!." и Ьь и 11пт ~~ (1) = е !!-; а! !! Кто равносильно утверждению (3), шо Гл. гО.
НентРАльнАя НРпдельнАя теоРемА 5 42. Применения центральной предельной теоремы Доказанные выше предельные теоремы имеют боль. шое теоретическое и прикладнос значение. Основным в условиях этих теорем является то, что в сумме ~„= яг+ яя+ ... + $, каждое слагаемое вА дает малый в общую величину суммы ~„случайный вклад. В частности, это выражается тем, что 0$„/Ос„-РО при п-~- со равномерно по 1 ~ л ..= и.
В прнлогкениях часто ис пользуют предположение о том, что встречающиеся прн расчетах случайные величины имеют приближенно нормальное распределение. 1-1а предположении нормальности построена так называемая теория ошибок измерения, в которой изучаются методы учета случайных ошибок прп измерениях тех или иных параметров в экспериментах.
В антропологии, например, обработка результатов измерения параметров человеческого тела также ведется на основе предпологкения нормальности распределения этих параметров, Основанием для предположения нормальности в этих случаях служит больнгой статистический материал, накопленный при изме. рсниях. Бентральная предельная теорема дает гипотезе нормальности некоторое теоретическое обоснование,так как часто па величину какого-либо параметра в реальном явлении влияет много случайных независимых факторов, причем влияяие каждого из пих невелико, а суммарно они дагот некоторый ощутимый эффект. Известно ироническое высказывание одного статистика на этот счет.
«Каждый уверен в справедливости нормального закона распределения, экспериментаторы — потому, что они думают, что это математическая теорема, математики — потому, что они думают, что это экспериментальный факт». Это изречение лнп|ний раз нам напоминает, что математические теории строятся не на самих реальных явлениях, а лишь на их математических моделях. Поэтому в применениях теории вероятностей, как и вообще математики, надо никогда не забывать о здравом смысле и всегда заботиться о том, чтобы рассматрнвалась подходящая модель, правильно отражающая соответствующее явление, $4Е пРимененИД Рассмотрим несколько примеров на применение цен. гральной предельной теоремы.
При этом мы будем придерживаться следующей терминологии. Если последовательность случайных величин ~, такова, что прн некоторых А„и В„ 1!т Р ( "" " ( х~ = Ф(х), (12) то мы будем говорить, что случайная величина ~„асили1- тотически нормальна с парамстрамн (А„, В,) нли просто (А„, В„)-асилентотически нормальна, а равенство (12) будем использовать в допредельпой форме для приближенной оценки вероятности, полагая Р ~ х) ер(х) П р им с р 1. Ошибки измерения. При измерении некоторой величины а мы получаем приближенное значе.
нне $. Сделанная ошибка б = $ — а может быть представлена в виде суммы двух ошибок 6 = Ц вЂ” Мв) + (М$ — а), первая из которь1х $ — М$ называется случайной ошибкой, а вторая Ь$ — а — системитической ошибкой. Хоро1пие методы измерения пе должны иметь систематнчской ошибки, поэтому мы будем далее полагать М~ = а.
Случайная ошибка б нмсст пулевое математическое ожидание М6= 0. Пусть 06= о'-'. Для уменьшения этой Ошибки производят и независимых измерений Ь1, $,,..., $„ и принимают за оценку измеряемой величины а среднее 1 арифметическое а= — ($1+ ... +5„). Какая при этом допускается погрешность? По центральной предельной теореме сумма ~, + ... + Е„одинаково распределенных независимых случайных величин с М";;=а, 0"„=о'> 0 (ан, о ~/н)-асимптотически нормальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
