Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 17
Текст из файла (страница 17)
цич п(хн ..., х ) отображает К" в тг'. Пусть случайный вектор $ =Дн ..., $ ) имеет функцию распредения Г (х„..., х ) и плотность р (х,, ..., х ) (если она существует). Тогда имеют место следующие формулы для вычисления математических ожиданий: мй(~„..., и„)= ~ й'(хн .., х ) др,, (хн ..., х„), 00 Майн " Ь.)= ... ~ д(хн ..., х ) р (х„..., х )г(х, ... с(х Доказательство аналогично тому, которое проводится в случае формул (19), (22), (24).
3 а м е ч а н и е 2. Прн вычислении математических ожиданий М5, Мд($) очень часто используются приемы, позволяющие обходить формулы (16), (17), (19), (22) — (24), тем более, что нередки случаи, когда закон распределения либо очень сложен, либо вообще не вы. писывается в явном виде. Один из таких приемов состоит в том, что случайная величина й, математическое ожидание которой мы собираемся вычислять, представляется в виде суммы более простых случайных величин ,(например, индикаторов): $ = 81+ йр+„...,+ 8„и да- Равенства (21) н (22) имеют место, когда интегралы сходятся абсолютно. Для дискретных случайных величин (21) и( 22) переходят в ряды М~= ~ хьР(~=хД, В-1 Мд ($) = ~ й (х~) Р 5 ха), (24) 1!4 ГЛ.
Ь МАтЕМАтИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ лее используется аддитивное свойство М;= Мй, + М!и+ + ° ° ° + МО, . Другой прием чвычислеиия математиче. ских ожиданий связан с использованием производящих и характеристических функций (см, гл. 8 и 9). В 3 13 мы изучали некоторые свойства математн.
ческих ожиданий в конечной схеме. В этой главе мы установили, что математическое ожидание М$ в общем случае обладает теми же самыми свойствами, если толь. ко предполагать в соответствующих местах существование или конечность М$, Так же, как в гл. 3, в общем случае определяются моменты Й-го порядка, центральные, абсолютные и абсолютные центральные моменты, в частности дисперсия, ковариацня, коэффициент корреляции. Доказательства неравенств Иенсена, Коши — Буняковского, Ляпунова, Чебышева, данные в гл.
3, легко переносятся и на общий случай. Аналогично доказательстно теоремы Чебышева (закон больших чисел) в $18 дано в такой форме, которая годится и для общего случая. Мы будем в дальнейшем пользоваться этими результатами, нс проводя здесь еще раз доказтельств, которые были даны в гл. 3 в конечной схема Вычислим Мт! и 0т! случайной величины т), распределенной нормально с параметрами (О, 1): ОО х 3 ! Мт! = = ) хе ' е(х = — О, ,~Ы 2 О х! хз 1 Г 2 — 2 хе 0Ч = МЧ'= — 1 х'е ' е1х =— 1/2я Ч! 2п ОР ! += ) е ' ах=1.
~/г; При вычислении О!! мы воспользовались методом ин! тегрирования по частям, полагая и = х, и = — =е 2в Ф а!и = е(х, Ыи = = е ~/2в Если т! распределена нормально с параметрами (О, 1), то з = о4)+ а имеет нормальное распределение с пара- ЗАДАЧИ Ма — ~ хгзх= —, Г и+Ь Ь вЂ” а 3 2 ь Г Ьв пв Мйз — ~ хег(х Ь-и ~ и Ь'+ пЬ+ и' (М т Ь'+ пЬ+ и' (а+ Ь)' (а — Ь)' а а 12 Вычислим М$ н 0$ гамма-распределения. Мй = ~ — ~е лггтх = — ~ и"е пс(11 Лала Г Г(а+ Н Г(а7 ЛГ (а) 3 ЛГ (а) Л ' ыы о о Лп„в+! ! Мй' = ~ — е '"ггт —, хаме-лг(х Г (а) ' Л*Г (а),) О о Г (а + 2) а (а + 1) 33 23й МГ (а) Лз 0~-М~ — (М~) -~~' — $= "-,.
Задачи 1, Случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, и). Найти ео моменты М$п. 2. Найти Ме Ь для случайной величины в в задаче !. 3. Вычислить М"-" при натуральном и, если а имеет нормальное распределение с пьраметоами (и. а). 4. Случайные величины $., 1 1,..., и, независимы, Ызг пь Рв! а!'. Найти дисперсию РЧ„, где Пп* $1$з... ~„. 6. Неотрицательные случайные величины вь ..., и, независимы и одинаково распределены, Найти математическое ожидание Мт) и метрамн (а,а) н Ма=а, 0й= а'. Таким образам, параметры нормального, распределения а н а равны математическому ожиданию н среднему квадратическому отклонению. Вычислим Мь н 0в равномерного на (а,(з] распре.деления.
Имеем ПО Гл. т. мАтемАтическОе ОжипАНИЕ случайной величины ад+ а ЧА= Ф ') $г+ па г ! где а Π— константа. 6. Случайная величина й имеет Г-распределение с плоткостьго -а — — е, х~О. Найти Мй . При каких )) это математическое Р (а) ожйдаиие конечно? 7. Случайные величины ($, Ч) — это координаты равномерно распределенной точки в круге ха+ у' ~ )са. Найти их математические ожидания и дисперсии. Г л а в а 8, ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ $32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции Дискретную случайную величину й, принимающую только целые неотрицательные значения, будем называть целочисленной случайной величиной. Закон распределения целочисленной случайной величины определяется вероятностями р, РД н), и=0,1,2,..., (1) для которых (2) Закон распределения (1) удобно изучать с помощью производящей функции, которая определяешься как слс.
дующее математическое ожидание: Ф1(з) = Мзт. Через закон распределения (1) производящая функция выражается суммой ряда 03 Ф, (з) = Х.. р.з" (3) который абсолютно сходится при ~ г ~ ( 1. Поскольку р„= —, ф~">(О), а = О, 1, 2, ..., 1 (4) то между законами распределения (рД и производящими функциями равенства (3) н (4) устанавливают взаимно однозначное соответствие, Определенная рядом (3) производящая функция называется иногда вероятностной производящей функцией, Производящей функцией гл а пгоизводяшие еь нации ыв любой числовой последовательности амаьам, называется сумма ряда аь + а,в + азв' + ..., если оп имеет ненулевой радиус сходимости. Из (2) следует, что вероятностная производящая функция ~ре(в) в точке в = 1 равна 1.
Вычислим производящие функции распределенийнекоторых целочисленных случайных величин. 1) Биноииальное распределение. Рй=т)=с'пр'йд'Ф ь', т=О, 1, 2, ...„и, р+Ч=1, Ч (в) = Х С"Р с1" ~" = (Р~ + Ч)" и О 2) Пуассоновсное распределение. ,ь РВ-п)= — -', п=б, 1, 2, п! 3) Геол~етричесное распределение. Р Д = и) = д"р, и = О, 1; 2, ..., р + д = 1, %(з) =,г' Ч Рз и 0 % ЗЗ. Факториальные моменты Вместо моментов Мз" в случае целочисленных случайных величин удобнее иметь дело с 4анториальными .иолентами МД"', где $~п = $(з — 1) ... 5 — г + 1), $~м = 1.
Через факторнальные моменты МР1 можно выразить моменты Мг' н наоборот. Например, первый факторнальный момент есть просто математическое ожидание, а Мз'= Мя"'+ М$ и, следовательно, 05= = М~'"+ М3 — (М~)-' Факториальные моменты легко вычисляются через производные производящих функций в точке з = 1. %33. ФАктою)Альный моменты Имеет место равенство МУ =Ф~)(1), (6) В противном случае мы определяем Ф~ (!) либо как 1!и) Ф(" (3), либо как левую производную в з = 1, 33( определяемую предельным переходом Ф(А) (1) =- Ф (О Ф (1 а) — !)щ последовательно при й АЕО )( = 1, ..., г, (Р'") (г) = (Р (3). В обоих случаях получаем (6).
Поскольку Мх! ) — К п).)р„, (7) то (6) н (7) доказывают (5). Заметим, что в равенстве (5) обе части могут быть бесконечными. Таким образом, М$ и ОВ можно следующим образом выразить через производные Ф1(3): М$ = Ф1(1), 06='Р~ (1)+Фг(1) (Ф~(1Ц ° (8) (й) Вычислим с помощью (8) н (9) Мй и Ойбиномиального, пуассоновского н геометрического распределений. 1) Баномиальное распределение. Ф' (3) = пр (рв + ())", (Р" (в) = и (и — !) р3 (ре+ (1)" Ц~ — пр, ОР .= и (и — 1) рз + пр пзрз = пр() 2) 17 уассоновское распределение.
(Р (в) аеа(з-П (Р (3) азаа(г-1) Ма=а, Щ=а3+а — аз=а, справедливое при любом целом неотрицательном г. Если ряд (3), определяющий (Р1(е), сходится в какой-либо точке е «1, то его можно дифференцировать почленпо в 3 = 1, н мы получаем Ф")(1) = Е п)')р„ 1 гл. з, пноизводящив отнкции 5 34. Мультнпликативное свойство Теорема 1. Если $ь $2, ..., й„— независимые це'лочисленныеслучайныевеличина, гр (з), й = 1, ..., н,— их производящие функции, то р,,,...„(з)=П р,„(з). (10) 3) Геометрическое распределение. Ц',(~)= 1, „1, ° ф; ()= — „„1 ° М$= —, 05= —,+ — — —,= —,. а 2дг ч дг е Р Рг Р Р Р Многомерные производящие функции.
Аналогичным образом можно определить многомерные производящие функции. Пусть $ =($ь ..., $,) — случайный вектор с целочисленными неотрицательными компонентами $г. Обозначим Р,=Р Я=а), где а=(аь ..., а,) — возможные значения вектора $. Многомерной производящей функцией называется гр (зо ..., з,) = Мз,'з,' ... з,' = ~~ р,з,' ... з„'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
