Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 13
Текст из файла (страница 13)
О п р е д е л е н и е 2. Функцию определенную при всех хан 1г', назовем функцией распределения случайной величины ~. С помощью распрсделения (2) можно выразить вероятности попадания 5 в различные интервалы вида х1~ х'~ хм х~ <х<хз, х~ <х~ хз, х~<х <хе. (3) Пусть х, < х,. Тогда из разложения события К ~~хе) на сумму несовместных событий (з <хД+ (х~ < ~<хД следует Р 5 =. х~) = Р (з » «х~) + Р (х~ < ь < хз) и Р(х1 < 5 ~<ха) =Р(хз) — Р(х~). (4) 5 и.
случлиные Величины и их РАспРеделе!!Ня ав Событие Д < х) можно представить как счетную сумму несовместных событий ) х — — „! <$~<х — — „~, откуда с помощью (4) получаем: Р($ <х)=~ Р ~х — — „', <~~=к — — „~=Р(х — 1)+ » ! н + " Х (Р( - — ') -Р('- —.-' ))- » 2 11п! Р (х — — ) = Р(х — 0). (5) ! н'«» А> Здесь н далее мы будем пользоваться обозначениями Р(х — 0) = 11гп Р (у), Р(х+ О) =!Ип Р (у), «т» «!к Р(+ ао) = 11п! Р(у), Р( — оо) = 1пп Р(у). С помощью (3), (4) и (5) нетрудно уже получить ос ' тальные случаи: Р(~=х) =Р(х) — Р(х — 0), Р(Х ~~$(Х«)=Р(Х«) — Р(Х! — 0), Р (х, $ < х,) = Р (х, — О) — Р (х,)> (6) Р (х, в" $ < х,) = Р (х, — 0) — Р (х, — 0).
Теорема 1. Функция распределения Р(х) обладает следующими свойствали: 1) Р(х) не убьсвает, 2) Р(х) непрерывна справа, 3) ~(+ )-'1, 4) Р( — ев)=О, Доказательство. Свойство 1) следует из (4). Свойство 2) следует из аксиомы непрерывности 4'. Так как события В„= ( х < ь «-'х+ — „~ 4 Я, то Р(В„) = ! =Р(х+ — „) — Р(х) — э О, т. е.
Р(х+0) =Р(х). Свойства аа гл. а слгчлиныв ввличины гонцпи слхчлп> 3) и 4) вытека|от нз аксиомы счетной аддитивности, Так как ь)= ~, Л„, где А„=(ьм и — 1 <Ц(в)(п), то 1=Р(ь))= ~'., Р(А„)= !пп Х Р(Л„)=— = 1йп (Р'(У) — В( — й!Н и,, следовательно, г'(са) = !нп Р(У) =1, Г( — оо) = = 1пп Р( — Ж) =О. Теорема доказана. О п.рддел ецдд 3. о-алгебра Я числовых множеств, порожденная всевозможными интервалами вида х1 ~ ~ х ~ хь называется борелеагкой; множества В, входящие в Я, также называются борелевскими.
о-алгебра борелевских множеств Я содержит всевозможные интервалы вида (3) с конечными и бесконечными концами, нх конечные и счетные суммы, асе отВрытые и замкнутые множества. Таким образом, о-алгебра множеств Я достаточно богата н содержит все числовые множества, которые нам будут необходимы, Назовем полным прообразом при отображении числового множества В множество тех и, для которых 5(а)ен В. Обозначая полный прообраз В через ~~-'(В), имеем К-'(В)=(ак $(со)~ В).
Из свойств полных проо!1разов (Я)=Я, $ ф)=й (Й вЂ” прямая), Г' ( П В.) = П Г'(В.), Г' (0 В.) = Ц Г'(В.), Г (В1 '~ Вх) Г1 (В1) Г~ (В2) следует, что совокупность $-'(В) для всех борелсвскнх множеств В ~ Я является а-алгеброй событий Фх с= Ж Мы будем называть я~а о-алгеброй, порождснмой случайной величиной С. Можно установить, что Ах парож. дается множествами вида (ни$(я)~х) и состоит из событий Л вида Л =ь ~(В) =(ви $(е) енВ), % и.
случлиныя авличииы и их РлспРвдслаиия зт где В ен Я. Ниже мы покажем, что для каждого В ~ Я определена вероятность Р($ыВ), которую мы будем обозначать Ра(В). Ц и р е л е л е н и е 4. Функция Ра (В)„определенная для всех ВН-=Я, называется распреде.гевиелт нералхиастей случайной величины $. С помощью (4) — (6) можно выразить вероятность события Дев В) для борелевских множеств В, предста.
внмых в внде-конечной суммы интервалов вида (3), В теории меры доказывается следующая Теорема Каратеодори. Если на алгебре Фа подмножеств аг определена вероятность Р, удовлетворлюи(ая аксиомалт 1', 2, 3' (причем аксиома счетной аддитивности 3' формулируется так: если попарно несовместные Аае=- Фа и А= ~., А„ен чса, то Р(А) =- и ! = х„Р(А„)), то зту вероятность можно однозначно прои=! должить на все мноьсестеа нз и-алгебры Ф, порожденной ЗРО ')- Нетрудно видеть, что числовые множества, составлеииь1е нз конечных сумм полуннтервалор (хь ха1, образуют алгебру Яа.
Эта алгебра порождает и-алгебру бо. релевских множеств Я. Если задана,,'функция распределения Рт(х), то оиа удовлетворяет условиям (7). С помощью формулы (4) и аксиомы аддитивности мы мо. жем по этой функции распределения определить зиа. чения вероятностей Ра(В) = Р($ е= В) для всех В ~ Яи. Можно доказать, что распределение вероятностей Ра(В) и-адднтнвно иа алгебре множеств Яа.
Отсюда и из теоремы Каратеодори следует, что с помощью функции распределения (2) мы можем получить вероятность события (а ен В) для любого борелевского множества В ~ Я. Итак, распределение вероятностей Ра случайной величины $ одиозна шо определяется функцией распределения- рт. Таким образом, каждая случайная величина й дает такое отображение 5=с(ы) множества И в числовую прямую )с, которое порождает новое вероятностное про. странство ()х, Я, Рт) ') См., например, Х и « ма ш П., теории меры — Мс ИЛ, 1953.
ва гл. к слтч»инь<а величины <овщ«и слхч»н] Из равенства Р(5=х) =г (х) — г (х — 0) следует, что в точках разрыва функции г'(х) имеет место Р 5 = х)>0. Так как при каждом целом н может быть не более н точек х с Р$=х)= 1<а, то у функции г(х) имеется не более счетного числа точек разрыва. Обозначим хь хь ... все точки разрыва Ре(х)'. Если вероятности Р (а = х,) = р» таковы, что ~ р» = 1, то »=1 мы говорим, что с»)<учайная величина С имеет дискретное распределение, Примерами дискретных распределений служат: 1) бина»чиальное РД=Ц=С„'р"(1 — р)™, й=0, 1, ..., п; 0 <р<!; 2) пуассоновское РД=Й)= —,, е ~, й=О, 1, 2, ...; 0<а; 3) ееожегричесное Р ($ = Ц = р (1 — р)», А = О, 1, 2, ..., 0 < р < 1, Мы будем говорить, что функция р(х)= р»(х) есть плотность распределения случайной величины $, если для любых х«х» Р(х, <5 <х»)= ~ р»(х)ах.
Х1 Из определения (8) следует: 1. Р'(х)=р (х) в точках непрерывности р (х); » 2. Р1(х)= $ р1(и)ди; 3. Р»(х,) — ре(х<) = $ р»(и) ди для любых х, < хз. <ч Если распределение имеет плотность р1(х), то мы будем говорить, что случайная величина к имеет абсолютно непрерь<вное распределение. Через плотность р»(х) можно выразить любую вероятность Р(В еа В), з яс слтчлнные величины и их елспееделяния ав если мы умеем вычислять интеграл по области В в сле- дующей формуле: Р (В ~ В) = ~ р! (х) Ых.
(9) в Для множеств В, равных сумме интервалов, интеграл (9) вычисляется обычным способом. Для того чтобы равен- ство (9) имело смысл при любом борелевском множе- стве В, нам нужно обобщить понятие интеграла, пе- рейдя от интеграла Римана к интегралу Лебега (сл. гл. 7). Отметим, что существуют непрерывные функции рас- пределения Р(х), не имеющие плотностей. Примером такой функции служит канторова функция Р(х), кото- рую можно определить равенствами Р(х)=0 при х < е О, Р(х)=1 при х) 1 и ( "', 'ь 5'! — Р (Зх) при 0 «~х--- —, 2 ! при з~"~ з' 1 2 !' ~ 2 + 2 Р(Зх — 2) прн з ~(х«с-1 ° Непрерывные функции распределения, не имеющие плотностей, называются сингулярными. В общем случае любая функция распределения Р(х) представима ввиде ' Р (х) = а, Р, (х) + а, Р, (х) + а,Р, (х)г где а;)О, а1+аз+'аз —— 1, Р~(х)' — дискретная функ- ция распределения, Рз(х) — функция распределения, имеющая плотность (такие функции называются абсо- лютно ненрерывныжи), Рз(х) — сингулярная функцчя распределения.
Плотность распределения р(х) обладает следующими двумя свойствами: р(х))0, ~ р(х)г(х=1, (10) которые легко устанавливаются из определения (8). Функции от случайных величин. Пусть й'(х) отобра жает действительную прямую Я в себя, Для любого 99 ГЛ. 6. СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ !ОБП)ии С'!У')АЙ) В с=В полный прообраз у-)(В) определяется как множество тех точек хй)т„для которых д(х)еиВ. О и р е де л е н н е 5. Ч)упкцню д(х) назовем борелсв. с, .с и для лю ого борелевского множества Вен Я полный прообраз у-)(В)~Я, т.
е. тоже борелевски1). К множеству борелевских функций принадлежат, В частности, непрерывные н кусочно непрерывные функции. Теорем а 2. Если $ — случайнаявеличина,а д(х)— борелевская функция, то т) = д($) есть едуча!1ная величина. Доказательство.
Рассмотрим т)=т)(В)) как сложную функцию т) =д(й(В))). Пусть Вен Я. Так как Ат(Х) — барЕЛЕВСКая фуихцня, тО д-)(В) =В)ЕИЯ. ТаК как т1-'(В) = $-)(В!)еп ла, то т1 — случайная величина. Рассмотрим"два примера вычисления функции распределения Р„(х) и плотности р„(х) случайной величины т) = у($) по функции распределения Рт(х) и плотности р„(х). Пример 1 П)стьфункция т) у($) монотонновоч 'растает, и-)(х) — обратная функции, Тогда Р„(х) = Р ()1 «» х) = Р (у й)»«х) = = — РД»д '(х))==Рт(у '(х)). (11) Дифференцируя (11) по х, имеем (если д(х) дифференцируема и имеется плотность рт(х)) Р;, (х) = Р; (а ' ( )) ~ „„ откуда получаем соотношение между плотностями: 1 Р,1*)г=-т-- <;-~!а~и '1~)) В частности, при д(х)= — хт имеем Р (х) Р1Их) При мер 2.
Пусть д(х)= х', Рт(х) — непрерывная функция распределения с плотностью рт(х), При х ~ О из равенств Р„( )=('(ц»х)=р(99» )= = Р 1 — '1)х «» 9» ~!х ) = Ре(ч) х ) — Р1( ч! А ) а о, сличлинык величины и их елспаадвлкния я! р„(х) = — (рт ( 1/х ) + р! ( — !Гх )). Рассмотрим несколько примеров абсолютно непрерывных распределений. 1, Нормальное (или еауссовпос) распределение. Мы говорим, что случайная величина $ имеет нор. мальное распределение с параметрами (а, о), — ео.С а «- оо, о > О, если она имеет плотность (х м' ! рт (х) — = е .~2ч а Нормальное распределение с параметрами (О, 1) с плот.
ностью ! р(х) == е у2п называется стандартным. Плотность р(х)' удовлетворяет условию [~ р (х) дх = — ~ е ' дх = 1. 2. Равномерное распределение. Мы говорим, что случайная велпчипа $ имеет равно- мерное распределение на отрезке [а, Ь), если ее плот» ность имеет вид ! С при а» 'х~(Ь, р! (х) = ~ ~О при х<а или х>Ь. »» ь Из условия ~ р(х)дх=С)ах=С(Ь вЂ” а)=1 следует »» » ! С=— ь-в ' Э. Гамма-распределение. Распределение с плотностью [о, хСО, рт(х) = 1 тчхч г, ) е-~", х~о 92 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
