Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Приведем здесь некоторые из этих неравенств. Неравенство Иенс е н а. Если числовая функг(ия Аг(х) выпукла, то для лгобой случайной величины Ц Мд($))д(М$). (1 1) ДОКаэатЕЛЬСтВО. ЕСЛИ Аг(Х)' ИМЕЕТ ПРОИЗВОДНЫЕ е", в", то из выпуклости о следует, что в любой точке х д" (х) ~ О. Поэтому при любом а д ($) )~ д' (а) + д' (а) (е — а). (12) Полагая в (12) а= Мчи беря математическое ожидание от обеих частей, получаем (11), В общем случае вместо (12) надо воспользоваться тем, что для любой выпук. лой функпин и(х) и л!обой точки а найдется такая константа С, что для всех х д(х)~~у(а)+ С(х — а). (13) Пусть у — выггуклая Функция н а ~(с, й), Возьмем любые хг, хг, удовлетворяюпггге неравенствам с «хг ( а хг аг, Покажем, что для ппк д (хг) — у (а) е (хг) — у (а) (15) хг — а хг — а Нетрудно проверить, что неравенство (15) раиносильно (14), если ха — а а — хг положить в ием О=, ! — О= —.
Из (15) вытекает хг — хг ' х,— хг сунгсствоваггпс такой константы С, что апр ~ к,С~ 1п1 хг — а х,>а хг — а а зто равносильно утверждению (13). Н е р а в е н с т в о Л я п у н о в а. Для любых положительных а ~ )) (м~ьг) ~~(м(и") '.
(16) Функция п(х), определенная на интервале (с, й), где †г- с ~ й к- ьо, называется еьтуклой (нлн вьпгухлой вниз), если для любык хг, хггн (с, й) н любого О ~ О ~ 1 выполняется неравенство у (Охг + (1 — О) х~) (~ О (хг) + (1 — О) д (хг). (14) з 1к МАтвмлтичвсков ожидлнив Для доказательства надо применить к выпуклой функции я'(х)=хат" и случайной величине ($~" неравенство Иенсена (11). Неравенство Коши — Буняковского. Для любых двух случайных величин $, т1 ~ М~!) ! ( ~,~М$а Мт)з. (17) Д о к а з а те л ь с т в о.
Для любых чисел х, у по свойству 4) математического ожидания М(х$ + уп) ' ~ О. Отсюда следует, что квадратичная формула х'М$'+ + 2хуМ$т) + у'Мт)' неотрицательно определена, а следовательно, ее днскриминаит неположителен: (М",!1)'— — МИ Мц'(О. Статистическое истолкование математического ожидания. Пусть в некоторой лотерее имеется один выигрыш, размер которого случаен и равен или х!, илн хм ..., или хм Если лотерея проводится й! раз, причем Ф; раз выпадает выигрыш хь Л! =й!!+Л!з+ ... +Л!„ то Ф!7Ж есть относительная частота выигрыша хь а 1 т-! х= — р х!У! — средний выигрыш на одну лотерею.
!=! Если $ — случайная величина, равная размеру выигрышз в одной лотерее, то из статистической устойчивости частот следует — = Р Я= х!), поэтому средний выиг. У'! рыш х колеблется около М$: 1 с-~ х == — р х,й!, = ~~ х,Р Д = х ) = Мь~. 'т' Л к=-! 1=! йг!еханическая интерпретация М3 и 0$. Интерпретируем наглядно закон распределения как расположение на прямой в точках х, ( х, < ...
< хл точечных масс А ч Р» Рм ° ° °, рм ~ Р! = 1, В этом случае М5 = ~ х,р; есть 1=! ! ь центр тяжести, 0$= 2 Р,(х! — Мз)т — момент инерции с-! масс р! относительно центра тяжести. Таким образо!л, М$ характеризует место, вокруг которого группируются во Гл. а случ»иные Величины !Хонечн»я схемА) массы рн а»»$ — степень разбросанности масс р, около М5. Вероятность суммы событий. Вычислим от обеих час. тей равенства (2) математическое ожидание и воспользуемся его аддитивностью. Получаем Л л Х и Р~ 0 А»~= Х Р(А») — Е Р(А»А»)+ »-1 »-1 1«», ~ »2-'.й + ~ Р(А»,А»,А»,) —...+( — 1)" Р(А,А,,А„).
1«»1 <»2<»3 «В (18) с ш * !!8) Р Ц А,) . ~»=1 Пример 3. Размещение частиц но ячейкам. Пусть имеется !)) ячеек, в которые независимо друг от друга размещаются и частиц. Каждая частица с вероятностью 1/Ф может попасть в любую фиксированную ячейку. Обозначим через ре число пустых ячеек после такого размещения. Вычислим вероятность Р ()»В = О). Введем случайные события Аь полагая, что А! произошло тогда и только тогда, когда 1-я ячейка пустая. Тогда()»с > 0) =- () А;, и мы можем применить (18). Поскольку 1=1 Р(А;) = ~1 — У), Р(А)А!) = ~1 — — ) и, вообще, (,. '.)=(-Й то нз (18) следует Р(, > О) = ~'„С";( — 1)'-'(1 — ф)" или Р()»В=О) =1 — Р(р, > 0) =~ Сй( — 1)»(1 — — ) . 8 14. Многомерные законы распределения Пусть на конечном вероятностном пространстве (ь», .яФ, Р) заданы случайные величины и = Е(а))„)1 = =т)(!В).
Пусть х), „., х» — все возможные значения$, з и. многомн ныа законы расприделкния "- б! у„„„У вЂ” все возможные значениЯ г1. Как мы Уже знаем„с помощью вероятностей Р(а=х») и Р(е1=у») определяются законы распределения случайных величии $ и»1: Р4(В) =Р(4ы В) = Е Р(1=х»), х» ее Р„(В) = Р (е) еи В) Е Р (»1 = у»), Р» же где  — любое числовое мнок»ество. Совместным распределением случайных величин $, »1, или законом их севместного распределения, мы будем называть верон»- ность Р(($, е))еи В), определенную для всех множеств Таблица 4 Двумерный вакса распредсл»ен»»я В точек плоскости (х,у) и обозначаемую Р „(В).
С»»- вместное распределение можно задать с помощью н;- бора вероятностей Рй=х», Ч=у»), 1=1, ..., й; 1=1, ...,~, полагая Р((й е1)е В)= Е Р(й=-х», ч=у»). Если Ррх)ав <4означить 𻻠— — Р(з=х», Ч=у»), то совместное распределение й, т1 можно задать с помощью табл, 4, в которой все р»»,:вО и 2 ~ р»» 1.Л»обаятаблнпатакого »»»» вида задает некоторый закон совместного распредел»- иия пары случайных величин, который мы иногда будсл» зя Гл а случАЙные Величины (конечнАВ схемА! называть двумерным законом распределения, или дву.
мернь!м распределением. Иногда двумерным законом распределения мы будем называть просто табл. 4. Законы распределения (19) отдельных случайных величин а и !1 будем называть одномерными. Пара случайных величин $, т1 порождает разбиение ае„, состояшее из событий А ц — — (ел $ (ы) = хо !1 (в) = уД, ! = 1, . ° ., Ц 1 = 1,..., и. Это разбиение, а также порожденную им алгебру Феч будем называть порожденными парой $, !1.
Любое собы- тие А ы Фе„представимо в виде А = (ы: ($(ы) !1(е!) ) ев ~В), где  — некоторое множество точек плоскости. 11, наоборот, любое событие етого вида принадлежит .Меч. Нетрудно видеть, что алгебры Фе и .Ф„, порож- денные случайными величинами $ и !1 сэответственно, есть подалгебры .Меч, причем алгебра .Фтч порождена объединением алгебр еФе и Ф„. Если (А!!) составляют разбиение сс~„ и Ан=,)'„А!г, Ач =,)' Ац, сто (А!.) образуют разбиение ае, а (А.Д вЂ” разбиение а„. Из двумерного закона распределения можно полу. чнть одномерные законы распределения для $ Р (~ = х!) = р,. = ), р, Ц и для $1 Р(ч=у)=р.,— Е р„ которые иногда называют маргинальными законами первоначального двумерного распределения.
Аналогично для и случайных величин $!, Ь...„$„ определяется п-мерный закон распределения Р~, ... 1„(В)= = Р (Я!,..., 5„) ~ В), где  — множество точек и-мерного пространства Л". Этот закон можно задать вероятностями Р($! ху ( 1 п~ р 1~4~~!» "й! (20) $!а нззАВисимость случАйных Величин ' 53 гер ~0, „Г,, р =1 и хи~хи~... , < хм — значения, которые принимает случайная величина 5Б.
Совокупность случайных величин 5Н ~„... „$„ порождает разбиение аБ,~,...Б„, состоящее из событий вида А =(ББ: 5,(а)=х,,(=1, ..., и), и алгебру ~Б,...Б, состоящую из событий вида (Яп..., Р„) с= В), где  — подмножество и-мерного пространства )е". Так жс, как в двумерном случае, по а-мерному закону (20) определяются маргинальные одномерные, двумерные и т. п. законы распределения, например, РВ1=хп)= Х Р($,=хн, $а=х.„)= Х Рьи Так же, как и в случае одной случайной величины, мы часто будем считать, что случайные величины Кь ~Б, , ~, заданы, если задан нх и-мерный закон распреде. ления (20). В этом случае всегда можно построить такое конечное вероятностное пространство (Б1,,4, Р), нз котором можно определить случайные величины $1, $Б..., ..., ~„так, чтобы их и-мерное распределение созна. дало с (20). Например, мы можем положить 12 = (ы), где Ба=(х»,, ..., х„~ ), 1 ~1,~~)Б, и р(в)=р.
Иногда п случайшях величин йп $Б, ..., К„мы будем трактовать как компоненты случайного вектора $ = = Й1 $Б, . $,). Распределением случайного вектора 5 будет п-мсрноераспрсделенисРД ен В) = 2, Р(~=х), хна где  — множество точек и-мерного пространства, х = =' (хь ..., х„) — возможные векторные значения случайного вектора К.
5 15, Независимость случайных величин В общем случае одномерные законы распределения ие определяют многомерного закона. Однако в важном случае независимых случайных величин по одномерным гл. а случАйные Величины (конечнАя схемА) законам распределения однозначно восстанавливаются многомерные распределения. Определение !. Случайные величины $г, $г„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
