Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рнс. б. одной из параллельных прямых, По формуле (16) иско. мая вероятность равна асз соз х асх 2 )А) о 2! ) й) а!2 ° я!2 ап ' Задачи !. События Л и В несовместны. Доказать, что В = А тогда н только тогда, когда А + В Рк 2, Известно, что А О В = Я к А П В = О, Доказать, что в это,с случае В=А.
3. Доказать, что события АВ О А и В ', А равносильны. 4, Доказать, что А ', (А ", В) = АВ. б. Доказать, что: а) АВ = В тогда и только тогда, когда В с= А; б) Л О В = В тогда и только тогда, когда А ': — В. б. На карточке спортлото из 49 клеток отмечено шесть. Какова вероятность того, что ровно трн нз отмеченных клеток выпадут в очередном тирахсеР (В тираже производится случайная выборка шести элементов без возвращения из множества 49 клеток карточки спортлото.) 7. Трехзначное число случайно и равновероятно выбирается нз всего множества трехзначных чисел. Найти вероятность того, что опо делится: а) на 3; б) на б. 8. Деталь с вероятностью 0,01 имеет дефект А, с вероятностью 0,02 имеет дефект В и с вероятностью 0,005 имеет оба дефекта.
Найти вероятность того, что деталь имеет хотя бы один дефект, ЭАДАЧИ 9. При жеребьевке У человек тянут билеты с номерамн 1, 2, ..., Ж. Первые три человека вытянули номера х», хг, х». Какова вероятность того, что пи'и (хь хз) < хз < шах(хи хз)? 1О. Из кармана, в котором находится 10 монет достоинством 20 коп.
и 1О монет достоинством 3 коп,, вынимается пригоршня нз 10 случайно взятых монет. Какова вероятность того, что в кармане осталась сумма денег, не меяыпая той, что выаута? 11. Из ! О' чисел 0000„0001, 0002, ..., 9999 случайно и рав- а иовероят~»о выбирается число.
Какова вероятность того, что в выбранном числе: а) все цифры разные; б) имеются только за 3 разные цифры; в) имеются только 2 разные цифры; г) все цифры одинаковые? 12. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу мовета радиуса г, 2г < а. Найти вероятность р» того, что монета Рис. 7. будет иметь общие точки с А квадратами, Ф = 1,2,3,4. 13.
На паркет, изображенный иа рис. 7, случайно падает монета радиуса г„2г < а. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри маленького квадрата. 14. На квадрат случайно с равномерным распределением бросается частица. Йайти вероятность того, что она удалена от вершин квадрата на расстояние, ие меньшее половины длины стороны квад. Г л а в а 2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
НЕЗАВНСНМОСТЬ й б. Условные вероятности Пусзь при йг испытаниях события А, В и АВ произошли с частотами Ж(А), У(В) и Ф(ЛВ). Назовем отношение Л'(ЛВ) /Ф(В) условной относительной частотой события Л при условии, что произошло событие В, Если имеет место устойчивость частот Р(А), Р(В), Р(АВ) и Р(В) > О, то отпосителшгая частота Лг(АВ)/йг(В) тоже устойчива: У (АИ й (АП)~Н Р (АП) (!) л (в) л !в)/ь Р (и) Соотношение (1) приводит к следующему естественному оиределен.по.
Определение 1. Г!усть Р(В))0. Условной вероятность.о Р(А )В) события Л при условии, что произошло событие В (илн просто: при условии В), назовем ог1тои|сад ° В Для условной вероятности Р(А ,'В) приз еннстся также обозизч иие Ре(А). Если В фиксировано, а Л ен 4 из.некоторого вероягьостного пространства'(О, .яС, Р), тр условная вероягиосгь Рл(А), рассматриваехгая как функция Рв ог события Л ен,яс, определяет новое вероятностное пространство (Рь 5Ф, Рв) Для того чтоои зго установить, надо прочергпь, что Рв удоилегвопязз аксиомам 1" — 4'.
Это легко делается, так как в силу (2): — о = Р(~")— Р„(Л) — — - — —,: —.' ~~0; Р„(О) = -=-1; % а услОВные ВЫРОятнОсти если А,А>= Я, то (А,В)()(А,В)=Я и Р(Л В+Л и) Р(Льй) + Р(Л'Л) = р (н) Р бв) р (и) = Рв(А1)+ 1 в(Лт) и, наконец, нз Л„4 Д следует ВА„4 (с), поэтому Р (н:(и) Рв ( Лл) Переписывая (2) в форме Р(ЛВ) = Р(В) Ра(А), (3] мы получаем равенство, которое называют теоремой длнозсенил.
Если исходить из определения (2), то содержательность теоремы умножения (3) представляегся весьма невысокой. Однако в прпменениях мы часто условную вероятность Рв(Л) будем вычислять, исходя пе пз формулы (2), а из какнх-либо других соображений. В этом случае формула (3) уже определяет Р(АВ) с помощью Р(В) и Р(В(А), а не наоборот. Пример 1. В урне находится М белых и Л( — М черных шаров, По схеме выборки без возвращения по. следовательно выбираются два шара. Найдем всроят ность того, что оба шара будут белыми. Эту вероятность можно найти с помощью теоремы умножения (3). Обозначим события А = (первый вынутый шар — бе. лый), В =(второй вынутый шар — белый).
Тогда вы. М Л( — 1 чнсленне вероятностей Р (А) = — и Рл (В) = ., сводится к более простым задачам о вынимании белого шара из урны, содержащей М белых и Лг — М черных шаров (соответственно во втором случае М вЂ” 1 белых и М вЂ” М чарных шаров). Имеем окончательно Р(АВ) = ! ('1) ! л (В) = л (~ С помощью (3) по индукции легко доказывается бо. лее общая Теорема 1. (Теорема умножения.) Пусть события Аь ..., А„таковы, что Р (А, ... А„1) > О. Тогда Р(А~ ° ° . А„) =- = Р (А~) Рл, (Ла) Рл,л, (Лз) ° ° .
Рл, ... л„, (Ла) (4) яз тл, 2, условныв ВБРОятнОсти. незАВисимОсть Доказательство. Из условия теоремьа'вытекает, что существу|от все условные вероятности в (4). Для доказатсльства (4) по индукции обозначим В=А2 ... ... А„ь Л = А„и применим (3) н индукционное предположение о справедливости (4), когда и заменяется на и — 1. Справедливость (4) при и ,= 2 также следует из (3). Формулы типа (3) и (4) показывают, что на одном и том же пространстве элементарных событий ьг с о-алгеброй,яг удобно рассматривать, наряду с вероятностью Р, условные вероятности РВ. $ 7. Формула полной вероятности Определение 2. Систему событий Аь А2, ..., А, будем называть конечным разбиением (в дальнейшем— просто разбиением), если они попарно несовместны п А!+А2+ ''' +'1и (5) Теорема 2.
(Формула полной вероятности,) Если Аь ..., Ли — разбиение и все Р(АА) > О, то дая любого события В имеет место формула п Р(В)= ) Р(АА)Р(В)А,),, (6) называемая формулой полной вероятности. До к а з а тел ь ст в о. Из (5) следует разложение В на сумму ,Ц= ВЦУ ВА, + ВА2+ ... + ВАВ попарно несовместных событий, поэтому Р(В) = Е Р (ВА,), Применяя к слагаемым Р (ВАА) теорему умножения, получаем (6). П р н м е р 2. Вычислим в урповой схеме примера 1 вероятность события В = (Второй выяутый шар — бе. лый). Из классического определения вероятности имеем М вЂ” и — м Р(А)= —, Р(А) = —, 2Ч ' У Р (В) = —, Р-(В) =-- М вЂ” ! М Л 2Ч вЂ” 1' л й' — 1' $ а ФОРмулы вАпссА По формуле полной вероятности Р (В) = Р (Л) Р„(В) + Р (А) Р- (В) = М М вЂ” ! М вЂ” М М М л> у — ! >у л — ! >у ' т.
с. Р(Л) =- Р (В). Лпалогнчно можно установить, что вынимая последовательно без возвращения шары, ьпя получаем одну и ту же вероятность вынуть белыи шар на любом месте. Таким образом, прп правильно организованной жеребьевке шансы всех участников одинаковы, независимо от того, в какой очередности они тя. пут жребий. Эту >ке задачу можно интерпретировать как вычисление вероятности вытащить белый шар из урны, нз которой был случайно утерян один или несколько шаров.
й 8. Формулы Вайеса Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2 и Р(В) > О, то и>веют >кесто форяулы Р(АА !В) = Р(Л,) Р(В ~ А„) ~Х Р(А,.)Р(В!А,.) называемые форлрлаии Байеса. Доказательство. По теореме умножения Р (ЛАВ) =- Р (АА) Р (В 1 ЛА) = Р (В) Р (АА ~ В), откуда имеем Р(АА)Р(в!АА) Р(АА 1В) — Р(п) Применяя к знаменателю Р(В) формулу полной вероятности (6), получаем (7).
Формулы Байеса можно интерпретировать следующим образом. Назовем события АА гипотезами. Пусть событие  — результат некоторого эксперимента. Ве. роятности Р(АА) — это априорные вероятности гипотез, вычисляемые до произведения опыта, а условные вероятности Р (ЛА !В) — это апостериорные вероятностн гипотез, вычисляемые после того, как стал известен ВВ ГЛ. 2.
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ исход эксперимента В. Формулы Байеса возволин2т по априорным вероятностям гипотез и по условным ве- роятностям события В при гипотезах Л2 вычислять апостернорные вероятности Р(ЛЬ! В). П р и м е р 3. Пусть имеются две урны, в каждой из которых по ЛГ шаров, причем в первой урне Мг белых шаров, а во второй урне М2 белых шаров. Проводимый эксперимент состоит в том, что ьгы сначала с вероят- ностью 1/2 выбираем первую нли вторую урну, а затем пз выбранной урны случайно вынимаем (с возвраще- нием) п шаров.
Пусть событие В состоит в том, что все вынутые шары — белые. В этом случае имеем две гипо- тезы: Л1 — выбор первой урны н А2 — выбор второй урны. По условиям задачи анрноряые вероятности равны друг другу: Р(Л,)=Р(А2)=1/2. Далее, легко вычис- ляются условные вероятности Р(В~А2) — ( ") Фор. 2 — ( — „). мулы Байсса дают пан априорные вероятности: — ~...—,„., „, ! 2 Если М2 <М„то прн и-+ОС Р(Л,!В)= „- 1, 1 '+( — ";)" таким образом, знание исхода В эксперимента в этом случае дает нам возможность существенным образом изменить паши априорные сведения о гипотезах А, и Агь 5 9. Иезависнмость событий Понятие независимости Относится к одному нз основных в теории вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
