Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, поход заболевания гриппом случаен: Казалось бы, что там, где мы имеем дело со случайными Рис. 1. событиямн, науке, в частности С. математике, делать нечего. Ведь наука открывает научные законы, которые помогают предсказывать течение того или иного пропесса илн явления, а случайное явление в это как раз такое явление, предсказать исход которого шевозможно. Однако п случайные события подчиняются некоторым закопомерлостям, которые мы назовем аероягностяымн закономерностями. Прежде всего условимся, что мы будем иметь дело не со всякими случайнымп событнямп, а с тяоссовыми слу гайными событиямп, т.
е. мы будем предполагать, что в прннпнпе вознояспо создать много раз одпп п те зке условия, пря ксокдом нз которых мо- п1>онзойти плп нет некоторое случайное событие, Пс,-щ„д';,щ.,л.; »Нд'~.~~.найм р~..~. ~- .знсйоссобытпе Л осушеств).яется .".(Я раз. т1йрсто Ф(А) называется,рюоьой события А, а отношение Л~(Л)/Л1— ст осиг ' ой частотой собгвтня Л. Оказывается, прн больших Ж относите.
° 'ая частота И(Л)/И для случаиных массовых событий обладает ~зк называемым снопе~вон устойчньогтн, которое состоит в том, что в нескольких сернах из достаточно больших Ун №, ..., № $ ь пгвдмвт теОРии ВеРоятностви наблюдений события А в одних и тех же условиях мц обычно имеем приближенные равенства Ф~ (А) Л~ (А) Л, (А) Ф~ Ур ''' 7~~д Таким образом, относительная частота события А ко. леблется около одного н того же числа, которое харак. теризует данное случайное событие А. Это число Р(А) в соответствующей математической модели мы будем называть вероятностью события А, Например, мы можем много раз подбрасывать одну и ту же монету, Пусть случайное событие А — это выпадение герба пря одном бросании.
В случае бросания «правильной» (симметричной, однородной) монеты Р (А) = 1/2. Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек, причем паблюдаемаядоля рождений мальчиков ранна 0,51 — 0,52 (в разные перно. ды, в разных странах могут быть колебания). Медицин. ская статистика свидетельствует о том, что смертность от гриппа имеет малую, но ненулевую вероятность (поэтому в условиях массовой эпидемии число смертных случаев от гриппа становится заметным). Устойчивость частот — это объективное свойство массовых случайных явлений реального мира. Отсутствие устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся испытания, претерпевают значительные изменения.
Теория ве. роятностей — это математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений. Есин говорить более подробно, то теория вероятностей устанавливает такие связи между вероятностями случайных событий в математических моделях, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по вероятностям более простых событий, В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики„ математического анализа, алгебры, логики и т. и.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеоо. разием, поскольку она очень тесно связана с различнымн приложениями, причем приложения эти не столь НРнвычны, как, например, приложения дифференциал~ ° ных уравнений. Поэтому овладеть теорией вероятностей 12 Гл. г.
ВеРОятностнОе ПРОстРАнстВО ьюжет лишь тот, кто решает много задач (эти задачи часто имеют нематематическуго постановку, и надо уметь построить соответствующую математическую мо. дель) и приобретает, таким образом, теоретико-верояг. ностнуго интуицию, 4 2. События Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие или, как мы будем чаще го. ворить, просто событие. В реальном мире случайное событие — это исход (какого-лнбо испытания, наблюдения, эксперимента), который может произойти (насту.
ПИТЬ, ОСУЩЕСтВИтЬСЯ) ИЛИ НЕ ПРОИЗОйтИ (НЕ ПаетУПнтгм не осуществиться). Пример 1. При бросании игральной кости ') может выпасть число очков, равное какому-либо числу из множества чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событиями в этом случае будут, например, А = (выпадает четное число очков), й=-(выпадает число очков, не большее трех). В ьштематической модели можно принять понятие события как первоначальное, которому не дается определен:ш и которое характеризуется лишь своими свойствамн.
Исходя из реалызого смысла понятия события, мы можем определить следующие частные случаи понятия события и следующие операции над событиями. В тех случаях, когда мы одновременно рассматриваем несколько событий, мы всегда будем предполагать, что этн события могут произойти нлн не произойти при одном и том же испытании (т.
е. при осуществлении од. ннх н тех же условий). Досгоаерноглг событием будем называть событие, которое всегда происходит, н будем его обозначать ьз. Огаозлгожыоглг событием назовем событие, которое никогда не происходит. Обозначать невозможное событие буде.,г 8. Событие Л назовем событием, противогголожныи,1, ') Игральной костью называется кубик, слелзггпый нз однорол. ного материала, грани которо~о занумерованы цифрами 1, 2, 3, 4„ 5, 6. Число очков, вынззцгее яри бросании игральной кости,— зто цифра на верхней грани кубака. а к совытия если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А.
Суммой или объединением событий А и В назовем событие, обозначаемое Л Ц В или А+ В, которое происходит тогда и только тогда, когда происхо» дят или А, или В (или оба вместе). Произведением или пересечением событий А и В назовем событие, обозначаемое А П В или АВ, которое про. л' исходит тогда и только тогда, когда проис. ходят и Л и В вместе. Разностью А'~В собы. тий А и В назовем со.бытие, которое происходит тогда и только тогда, когда происхо- ,ф т у дит А и не происходнг "л л а В.
События А и В назовем несовместными, если АВ = Я. Мы будем писать А с: — В и лад а говорить, что событи~ р, с. и т умма, пропаведеппе, разность соаытий А и и; сопытие Л протзаобытие В, если из на- поапжпо А. ступления события А следует наступление события В. Если А с=. В и В с=А. то мы будем говорить, что события А и В равносильны, н писать А = В.
В примере ! с бросанием игральной кости имеем следующие события: А И В = (выпадает число очков, отличное от пяти), А П В=(выпадает число очков, равное дзум), А!В=(выпадает число очков, равное 4 или 6), А = (выпадает нечетное число очков), Пример 2. На квадрат случайно бросается частица (см. рис. 2); событие А=(частица попадает в круг А», событие В = (частица попадает в треугольник В). ГЛ. Ь ВВРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО События А ЦВ, А ЯВ, А'«,В и А в этом случае — это попадание частицы в области, получаемые объединением, пересечением, разностью областей А и В и доно-тнением А в квадрате (на рис. 2 соответствующие области заштрихованы).
В настояшее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие опрсд«ляется через неопределяемое понятие элементарного события. Иаиболее употребительная теоретико-вероятностная модель в простых случаях †э уриовая модель. Пусть имеется урна с и одпнаковымн шарами. Испытание состоит в том, что мы случайно выбираем нз урны один шар. Обозначим й = (В»ь В»в ° ° * а»»з» множество шаров в урне, Еглн нз урны при испытании мы выш»маем шар ы, св Л, где А — некоторое подмно. >кестно множества шаров й, то мы будем говорить, что пропзоп»ло событие А; если же»л»фЛ, то мы будем говорпгь, что событие Л не произошло. В данном случае событие А отождествляется с подмножеством Л множества всех возможных исходов плн, как мы будем далее говорить, элементарных событий.
В обьцсм случае мы будем в каждой теоретико-всроятг»осзной модели рассматривать некоторое основное множество й = г»В»), Вудем называ|ь его элементы»В алел»ситириами «обьмии»»и, само множество й — лро- ~ »~»~ '» . » «»« * ' »"«Р», " .Лйй 'Р»г подмножества--Л..к;: й — соитиями, Операции над событнямн — этб оп«рацйи йад "подмножествами. Прн этом в теории вероятностей употребляется своя терминология, сгязь которой с теоретико-множественной термино. логнсй отражена в таблице 1. Операшш суммы и произведения событий можно распространить на л:обое конечное нлп бесконечное множество событий Ц А„, Я А„. Обычные свойства опе»» »» раций пад мпожествамн переносятся на операции над событиями, например, Ц Ла — — П1 АР» Ц АВ =- Д АВ, »4=А» »» Е »» А=й~,Л, З=й й=0» й з. совытия А ~ В = А х АВ = АВ, А з (А зз В) = Л В, А с:-ВФВ~ Л Таблица ! Обезна- ченне Тернянелегня в теория нереягнестеа терминология н теарнн маожеетн пространство (основное множество) пространство элементарных событнй, достоверное событие злементарное событие оз злемент пространства ьз А,А~Я событие Л множество А АОВ, А+В сумма событий А и и сумма или объединение множеств Л в В АЯВ,АВ произведение событий ЛиВ пересечение множеств Лнд А'~,В ~ разность множеств А н В ~ разность событий А и В невозможное событие пустое множество противоположное Л собы- тие дополнительное множест.
во Л АВ м Я А и В нс пересекаются ~ А и В несовместны А г= В ~ Л есть подмножество В ~ А влечет событие В А и В равносильны А В АиВ равны и т. д. Иногда придерживаются следующего соглашения: если Ао Аз, ..., А, попарно несовместны, то вместое Аз=А,ЦАзЦ ... ЦЛ„пишут ~„А, = А,+ +Аз+ ... +А„. В общем случае бесконечного пространства Я мы рассматриваем ие все подмножества ьз, а лишь пекотсм рые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и о-алгебрами множеств. Гл.
!. ВеРОятнОстеюе пРОстРАнстВО Определение 1, Назовем класс Ф подмножеств пространства Й алгеброй А!нозсеств, если ! ) Я'ев'.4, ьг еа -Ф; 2) из Ас Ф следует Аул!; 3) из А, В ен.~Ф следует А (1В гн Ф, А Д В ен Ф. Определение 2. Алгебру множеств Ф назовем о-алгеброй, если из А„е=.М, п = 1, 2, ..., следует () А„е=.4, П А„е-:.я~. ь ь ! ф 3. Вероятностное пространство О п р е д е л е н н е 3. Тройку (Р...4, Р), где ьг — пространство элементарных событи!!, М вЂ” о-алгебра под. множеств й, называемых событи!!А!и, Р— числовая функпи!я, определенная на сабытчях и называемая вгроктностью, будем тгазыватн вероятностным простра;~- ством, если выполнены следующие аксиомы: 1'.
Р(А)~~0 для всех А е=-Ф (неогрицательность Р): 2'. Р(ьг) 1 (норггированиость Р); 3'. Р(А+В)= Р(А)+ Р(В), если АВ= 8 (аддитигность Р); - ч'. Если А„.) Я, т. е. А, =~А,=~... и 11 А„==',.', ь 1 то !!Га Р(А„)=0 (непрерывность Р). и-~ Из этих аксиом вытекают следующие свойства героятпостя. 1) Если А ~ В, то Р (В '~ А) = Р (В) — Р (А). Так как В = А + (В ~, А) и А ()(В ', А) = й, то по аксиоме 3' Р (В) =- Р(А)+ Р(В ',А) 2) Если А ы В, то Р (А) !~ Р (В). Следует из (1). 3) Для любого А ее Ф 0 ~~ Р(А) ~1. Следуе! из 2), так как З с= А с=И. $3. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРЛНСТВО 4) Р(А) = 1 — Р(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
