Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Такое вероятностное пространство всегда можно построить. Мы проделаем это построение в частном случае, когда вероятностные пространства (12) конечны. Итак, пусть (Ель Фь Рг) — конечное вероятностное пространство, Яг=(аг), Фч состоит из всех подмножеств Аль а вероятность Р~(А)= ~' р;(а,) задается »1 ~л с помощью вероятностей элементарных событий р,(аг), а~ ее Йн Построим прямое произведенне вероятностных пространств (12) (Й,.Я1, Р), полагая И=И,ХЙЗХ ...
... Х Й„, точки которого а е= Я есть векторы а = =(а,, а„..., а„) с компонентами а, ее Йь 1=1, ..., и, .гФ вЂ” алгебра всех подмножеств 11, р( )=р,(аг) ... р„(а„), Р(Л)= Х р(а). (1З) вял Построенная так вероятность Р называется прямым произведением вероятностей Рг и обозначается Р = = — Р~Х ... Х Р„. Аналогично в этом случае Ф = =-,Ф1 Х ... Х М„ есть прямое произведение алгебр.
13 построенном вероятностном пространстве выделим класс событий А, называемых прямоугольниками, определяемый следующим образом. Пусть А~ ~,ФВ = — 1, ..., и, Прямоугольник А=Аг ХАЗХ ° ° ° ХА» (14) состоит из тех и только тех а =(аьаг ° ., а,), для которых а~ ЕЕ Аь 1= 1, ..., и. Из определения вероятности (!3) следует, что вероятность прямоугольника (14) $ и. нвзАВисимые испытАныя равна Р(А)= Е р(е!)= Е р!("!) " Е рп(М= выл ю! ~н А! ел а = П Рл(Аь). (15) Обозначим .явь' подалгебру алгебры М, состоящую из всех тех прямоугольников (14), у которых А! =Ы! для й. Нетрудно видеть, что между событиями А! = Ф Х...
Х В ! Х А! Х й!+! Х ... Х Й~ ен Ф! Р („П, А ) = П Р (А',), т. е. алгебры М!,...,,яс'„независимы. Схема Бернулли. Частный случай независимых испытаний, с двумя исходами в каждом из испытаний, строится следующим образом. Пусть вероятностные прост- $!, анства в (12) таковы, что О! = (О, Ц, Ф; = (8, (О), (1), !), р (О) = р, р (1) = д, р+ д = 1. Тогда в прямом произведении (11, М, Р) имеем Я=(ы), «!=(!е! оЪ ° ° ° !е )> е!!=О, 1, р( )=Пра'у' "' ! Построенная схема независимых испытаний называется схемой Бернулли, Обычно она трактуется следующим образом. Пусть некоторый исход А, который мы будем называть успехом, может произойти при каждом испы.
,танин с одной и той же вероятностью р; противоположный исход А (неуспех) может произойти при каждом (16) .и А! ~ Ф! устанавливается естественный изоморфизм А', А„поэтому вместо событий А, из вероятностного 'пространства (Й„.яЕ„Р!) можно рассматривать изоморфные события А,' нз подалгебры Ф',. вероятностного пространства (11, .!Ф, Р), Из определения вероятности (!5) следует Р(А,'.)=Р!(А!). Так как Л=А, Х ... ХА„= = П А„' то из (15) получаем для любых Л'„~ Фа з-! 33 Гл. е условные Вегоятиости.
БезАВисимОсть испытании с дополнительной вероятностью г! = 1 — р. В элементарном событии ы =(ег1, ..., 1В») имеем егг = 1, если при 1-м испытании произошел успех, и ег1=0 в противоположном случае. Обозначим ВА — — (а: в1+ ... ... +Вг» = й) событие, состоящее в том, что прн а независимых испытаниях в схеме Бернулли произошло ровно й успехов.
Поскольку нз (16) следует, что прн а с:-' ВА р(ы)= р'д"-', то Р (ВА) = р"г!'-';гг, (число элементарных событий егин ВА). Итак имеем, Р(ВА)=С»рг1, В=О,1,...,и. (17) Вероятности (17) назынаются биномиальныхг распределением. Примерами, в которых появляется биномиальпое распределение, служат; выборка с возвращением (3 4, формула (15)), выпадение шестерки пг раз при и бросаниях игральной кости (вероятность этого события С„( — ) ( —.) ), рождение пг мальчиков при регистрации и рождений (если вероятность рождения мальчика р = 0,51, то вероятность рождения пг мальчиков прн регистрации и рождений равна С„(0, 51) ° (О, 49) обширный статистический материал, собранный в разное время и в разных странах, свидетельствует о том, что вероятность р» 1/2 и примерно равна 0,51 — 0,52). Полииомиальиая схема.
Более сложная схема и независимых испытаний получается, когда при каждом испытании возможно появление одного из г попарно несовместных исходов. Пусть г-е испытание связано с вероятностным пространством (г1ь Ф1, Рг) „где И1 = =(1, 2...,, г) состоит из номеров 1, 2, ..., г исходов. Пусть р1, ..., р,— вероятности этих исходов, р1+ ... ... +р,= 1, а Ф1 состоит из всех подмножеств Й;. В прямом произведении вероятностных пространств (»1, .Ф, Р) элементарное событие ьг ен 11 равно га = = (В11, ..., Вг,), где еп — номер исхода прн г-м испытании. Полагая р (ге) = р„р„...
р„„вычислим вероятность события В»,...»„ = (в и независимых испытаниях произошло ровно по пь Й-х исходов) п1+пг+ ... + п,=п. Зандт!и '1'ак юан Ялн любОГО га ен Вз г р (ю) =- П Ре', Е 1 а количество точек в В„, ...„равно полнномнальпому и! коэффициенту,, то а! и, + ...
+п,=п. (1В) Рнснеделение (18) называется полиномиильныж; они. спаивая схема независимых испытаний с г нсходамп тзкясе называется полинолигальнои. Прн г = 2 эта схема превращается в биномиальную схему Бернулли. Задачи 1. Из множества чисел 000, 001, ..., 999 равповсроягпо выбирается одио число. Какова вероятиость того, что это число ис содержит цифру 1, если все его ипфры рззличиы? 2. Из урны, содсржзшей М белых и Ж вЂ” зи зерпых шаров, случайао последовательно по схеме выборки без возврашспия извлекаются три шара. С помощью теоремы умиозкеиия иайти вероятность того, что появится последовательность шаров: бслый, черный, белый. 2 3. Показать, что любая коке шея ал~ебра со,бытий состоит из 2* событий, где й — иатуральвое число. Х 4.
Плоскость расчсрзсиа параллсльиыми пря. 'мыми, расстояния между соселиими прямыми.чередуясь, равны а и Ь. 1!а эту плоскость случзипо бросается игла длины ! ~ пзгп(, Ь). Пользуясь решеиием задачи Бюффона и формулой полной Ргзс. 8. аероитиости, аайти иероязиость того, что июш пересечет одиу из эгях прямых. 5. На бескоие шую пшхмвтаую доску с длппой стороны квадрата а случайно бросаешься колета радиуса г с а!2. Пайти вероятиость того, что мопета пересечет сторону како~зз.либо квадрата. 6. В последов;желчности а пезавпсимых псшгтаппй с вероятИастью р успеха в каждом пз испытаивй пропзои.ел ровно один усаех, Какова пероятпость то~о, что успех произошел при взором испытав гз и э 7.
В' схеме испытззппз задачи 0 произошчо ровно два успеха. Иайти вероятность того, что успехи прозззошлзз е госсдипх пспытаииях. 8. Иа паркет, составлсппый из прямоугольипьов со сторопами а Н Ь, а ( Ь, случайно бросается монета радиуса г, 2г " ппп(а, Ь). Найти вероятность того, чго мопсза задсисг меиыпую егорову 49 Гл. 2. условные ВеРОЯтнОсти. Иезлвисиьгость какого-нибудь прямоугольника, сели известно, что она какую-то сторону задела. 9.
Для перехода улицы пешеходу нужно три секунды, Каждую секунду с вероятностью р по улице проезжает автомобиль и с вероятностью д = 1 — р улица свободна. Будем считать время дис. крстным (по секундам), а наличие или отсутствие автомобиля на улице в разные моменты времени независимыми испытаниями, Пешеход начинает переходить улицу лишь в том случае, если в тЕченис трех секунд она будет свободна от автомобилей на переходе. Найти вероятность того, что певзеходу придется ждать перехода а) больше двух секунд; б) больше трех секунд. 10.
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала 1, если известно, что на второй кости выпало число очков больше, чем на первойр (Применить формулу Байеса.) 1!. Б единичный квадрат со вписанным в него кругом независимо с равномерным распределением случайно бросается 6 частиц, Найти вероятность того, что ни одна из пяти частей квадрата не будет свободна от частиц (см. рис. 8), Г л а в а 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (КОНЕЧНАЯ СХЕМА) й 12. Случайные величины. Индикаторы Рассмотрим конечное вероятностное пространство (ь1, Ф, Р). Числовую функцию от элементарного события $ = $(ы), в ы Й, назовем случайной величиной.Мы будем обычно обозначать случайные величины греческими буквами $, т1, ~, р, т, ... и т.
и. (в аигло-американской литературе и иногда у нас случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами Х, У, л и т.п.). П р и м е р 1. В схеме независимых испытаний Бернулли в $ 11 множество 11 состоит из элементарных событий а =(мьаь ..., а,), где пн =1, если при 1-м испытании произошел успех, и ев = 0 в случаенеуспеха. Случайная величина и =' р(а) = ь» + аз + ... + а„ равна числу успехов при и испы' ниах в схеме Бернулли. П р и м е р 2.
Рассмотри следующу урновую схему. Пусть в урне имеется А( шар, из них М белых, остальные — черные. По схеме вибо н без возвращения из урны извлекшотся а шаров (см. 4, пример 3). Пере- нумеруем все У шаров числами 1, 2, ..., М так, чтобы белые шары получили номера 1, 2, , М. Тогда множество й можно составить из элем тарных событий, состоящих нз подмножеств а =((ь ', ..., 1,), 11 ~ .~1з~ ...
(ь, мощности л множеств целых чисел (1,2, ..., У). Элементарное событие о — 1ь(ь ° ° ° Ц соответствует выборке, в которую вошли ры с номе- рамн (и (ь ..., („. Случайная величина $, р ная числу белых шаров в выборке, определяется как ф нкция от е следующим образом: $= $(а)= т, если в а ()ь ... , ь). 1 ~М (1 +1 при 1 ~т.с" кч $(а)=, если М ( (И В (а) = и, если 1, ~ М. 49 Гл. 3, слу~!А!тные Величины (конечная схемА! величия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
