Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 34
Текст из файла (страница 34)
и. доввпитпльпыс иптггвллы 240 г) Доверительный интервал для о при неизвестнома. В этом случае за основную статистику 4! возьмем эмпивг (и — !) рическую дисперсию. По теореме 1, имеет у'-распределение с (и — 1) -й степенью свободы, 3 ! о приводит к доверительному интервалу, аналога!чпому (11): л †! / п — 1 о<а и с доверительной вероятностью 1 — (сг!+ аа). ф 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли Той же самой процедуры построения довернтслыц,х интервалов можно придерживаться н в том случае, коглз осповпос распределение дискретно. 11родемонстрпру и это на схеме Ьерпуллн, Пусть и — число успехов прн и испытаниях в схеме Ьсрнулли, Функция распределен!ш и Р(ш; р) = Р (р ~ гл) = ~, С',,р" (1 — р)' ', рассматриваемая в целых точках пт = — О, 1, 2...,, и, )бывает с ростом р, тзк как г! — р(пг; р) = пл С,", 1~р (1 — р) — ~ С;,(ч — /г) р'(! — р) е 0 х-о =- — пб,",' !р (1 — р) ' ' < О.
Обозначпм тт(р) такое нанмсншпее целое число, для которого 1 — Г (т (р); р) ~ 1 — т. Тогда тт(р) — 1 есть такое наибольшее число, что Г (т„(р) — 1; р) < у. Пусть сг! + гх2 = и. Тогда с вероятностью '=- 1 — м т! „(р)~~р и, (р). 24! $ б5. схема БеРнулли Обозначим решение уравнения » = т (р) отпосптсльпо р через >и '(у). Тогда неравенства р= т,,>(!х)(р <а>, '„(р) = — р, (12) задающие доверительный интервал, выполняются с вероятностью )! — а. Число 1 — а называется в этом случае коэффициентом доверил. Для нахождения границ доверительных интервалов (12) можно пользоват>,- ся таблицами бнномнального распределения, но так,ш таблицы громоздки и пе очень распространены.
П- этому часто используют предельну>о теорему Муавра— Лапласа об асимптотической нормальности для построения приближенных доверительных интервалов. Неравенство !г!) ~ и >г при больших и выполняется с вероятностью .= 1 — я. Это дает — — и ~ н , > л (! — т - н > Р !! — »! «р' +ныл~ (13) однако неравенства (!3) не задают доверительного пптсрвала, так как в ннх имеется справа и слева зависни масть от р.
Посколькч —. р, то пз(И) получают доверительный интервал > и н > — — иьгл>' — '! 1 — — ! «р« — +ио>з 1 —— Другой подход к построению приближенного довернчельного интер>шла для р основан на следующей теореме. Т ео р е м а 3. Пусть >гослсдовательность ~„такова, Чта й>!.",ь = — а, В'-'„= В,-', — РО и раСПрЕдЕЛЕНиЕ К„аеиэгататически нормально с паралгетра.ни (а, о„). Предпол>- л-иж, что функпив р(х) ограничена, ) в(х) ) ~ К и илгесг вепре>гь>вн»>е прог>вводные р'(х), >>" (х) в окрестное>'и >»'иги х = а, д'(а) ч>= О. Тоед>г глучайнал величина т1„== =-.>>(с„) асах>п>огически нор>вальки с пара>негра>пи (г> (а), ( д'(а ) ! в„) .
Гл !б. догсгитпльныв !!ытгввхлы Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть при ) х — а) «" е имеет место разложение Тейлора к (х) = Д (а) + а' (а)(х — а) + г (х)(х — а)', ( 14) где ~ г(х) ~ КК, при некотором К, < оо. Обозначим А„= = — (ьп! ) В,(ы) — а~ < о!;"). Для а .э аз таких, что а <е', мы можем, пользуясь разложением (14), написать ть,=а(~„)1, +а(;„)1; = =-1л (д(а)+ д'(а)(ча — а)+ г($„)($, — а)')+ 1 — д~ф„). Тогда т)„= !),', + 6„, где з1,', = д (а) + д' (а) (е„— а), Ь„= — а( ) 1..-, — а'(а) (з„— а) 1Х + +1л г($„)(ʄ— а)'+д(Ц„)1;,.
(16) Так как правая часть равенства / 1 ть,. — !1(а) д (и! Ʉ— а ! я' (а); вн (!!' (а) ( и„ тзмест в пределе нормальное распр деление с параметрами (О, 1), то з)'„асн!!птотичсск!! нормалы|о с пара/ Ь~ метрамп (д(а), ~ 4! (а) ~о„). Докажем, что — — О. Для етого об!ратях!ся к (15) и докажем соответству!ощую сходимосгь по вероятности к ну,по для каждого слагаемого.
По нерагепству Чебышева (32) из $17 Р(А„) ( " =и'„"'. По неравенству Чебышева (31) из $17 для любого е Р ~! а (а) ~!л > во ):=: < ~/о„— !.О. Аналогично доказывается Р (~ д ($) ~ 1 — „> ео ~-+О. Далее по неравенству Чебышева ! я'(а) (М ~ $ — а) )1 Р 11 д' (а) ! . ~ ~„— а ~ 1у > еп„'( < 9 65. схемА зеенуллн и,по неравенству Коши — Буняковского 1»1 ~ ",„— а ~ /х - М (е„— а)» ЬИ;т - о„. о';,", « « поэтому !л ОО!«,и Р(!«'(а)(-~ʄ— а)/л >со(( ' -" — — ° О « «)~ « И, наконец, Р (~/л г(» )Я вЂ” а)»! > ео„) ( "' — ' — — = — '" — » О. « «~~ ач„ 6«Р Итак., мы доказали, что " — О.
Так как в су»сме ч« спрапа т!« — я (и) ч„— я (а) )я'(«) ! ««)а'(«) )1!«)а'(«) )ь„ распределенно первого слагаемого схо:и:тся к нормальному с 51зраметрами (О, 1), а второе ссо вероятности стремится к ну!с!о, то распредслсн!Ре ч, сходитс55 к нормальному с параметрамп (О, 1).
1»соре;:1 доказа)пи Применяя эту теорему к случайной вели и;)с 5)„= — 2агсэ!и у' —, 'Ч ° получаем асизсптотическую иормальноссь т)„с пара— /1 ' метрамн (2агсз!и Ч) р, (ч/ — ), так как случайная пс.лн« чипа )1«/гс аснмптотя~ссскп нормальна с параметратсн ( ~' / сы! — Р) / ° р, ~/ ' ), а функция 2 агсзш ",, х удовлетворяет й услоп:1ям теоремы 3 н ;! 1 (2агсаш Ч)х / = —, Ч«(! — «) Выоирая квантнль нормального распределения ссч»п мы моти м построить доиерптельиьй интервал дли р, исходи из того, что неравенство 2агсаш «(с — — 2агсаш Ч/р ~=-= « -Ч. 244 гл.
16, лоВеРитилы!ые интеРВАлы выполняется при больших п приблизительно с вероят. постыл 1 — сс. Отсюда получаем неравенства ьа/т 2агсз!п у — — — ~2агсз!п ~р ~( 'Ч ° р ната ~«2агсз(п я г — += '7 л т/и и приближенный доверительный интервал паз 1 В(п загса!п у — — =) ~~ 'чрт л 2 тгга ! ~~р<В(п ~агсз(п у — + — А!. з ° . р па/2 Ч 2 lд) Зааачи 1. По незавнснмтам выборкам х1, ..., х„и у1...„у,„из двух а1 нормальнык распределений с параметрами (аь о~) и (ат.
оа) соот. вгтствепно построить доверительный интервал с доверательной ве. рсптпогтыо 1 — и для разности аг — пм если о1 и от известны. 2. Г!встроить доверительный интервал для той же разности а, — аа, что н в тззаче 1, если о~ оа = о, где и неизвестно. 3. С помоиагио теоремы 3 для параметра а пуассоновсиого закона построять приближенный доверительный интервал с доверительной вероятностью ! — и по независимой выборке хь хг..., х ° 4. По независимой выборке хь ..., х. нз равномерного распределения Ь(0.0) построить доверительный кнтервал для параметра 0 с донсри1апьг1ой вероятностью 1 — ст.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ Глава 1 р,=О, Глава 2 1. 0,7. 2, 3! (/з' — Л!] (34 — !) 4! 4. Л! (Ф вЂ” !) (У вЂ” 2) ' (а+ /з) и ' 6. 1/п. 7. 2/и. 8, аДа+ Ь вЂ” 2г). 9. а) 1 — ЗОз+2да б) 1 4дз+Заз 1О 1/3 11. Озз (1 — и/4) 4 ° 4 з = 0,000039, 4г 4гз 5.
— — —. а а'', Глава 3 1. РЯ /з)=!/28 при а О, 1, 11, 12, Р(3 =и! 2/28 при а=2, 3, 9,!О; Р (3 /г) =3/28 при /г =4, 5, 7, 8; Р (5 б) 4/28. 2. Р (з! = 01 Р (з) = ~ з/3/21 = 1/3. 3, в) (о(З ар, (3,' арО; Сос„ з з 6. — =0,017650,... 7. а) 1/3! 6) 1/5. 8, 0,025. С за = — +,о =* 0,67185. С!о 2 2Сзо !О ° 9 ° 8 ° 7 С~~-10 ° 9 ° 8 11. а), 0,504; б) „, 0,432; СзС!о+ 4 ' 10 '9 1О в) = — 0,063; г) — = 0,001. (а — 2г)з 4г вгз 4гз 12. рз рз з ° а аа аз' и 2 Рз =,з ! 13. — (1 — 2г/а)'. 14.
1 — в/4. 8 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
