Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 30
Текст из файла (страница 30)
..., >г. Онп независимы, так как «!...., «„независимы. п равномерно распргделепы в (О, 1), так как события !Чэ - у) п Дь  — '(у)) равносильны и ирп любом 0~ у.--1 Р(Чэ=. у) =-- Р й =.=.-В-'(уй ==У(В '(у)) =у Г>бозпа !Иэ> более подробно ээи!ирпчсскпе функиии распределения для выборок эб>, ..., с„ 11 1 х В.(х; ~,, э„) = — „~~(.,„.-,.1 й ! И Ч>~ ° ° °, Ч4 4 1 Х"4 г (У: Ч ° ° ° Ч ) = „~„~(чь-са) 11оложнм у =-= В(х), х си В. Тогда из равносильности событий («4 ~ х) н (!1! -- у) следует В„(!/;Чо ..., Ч„)=В„(х; $1, ..., 1„). (20) Верхи>ою грань в (2й) можно брать ио хе= В, поэтому, в силу (25), с вероятностью 1 О,, = — -:,.01В„(х; «1, ..., $„) — В(х) != х -в зиР ! В„(У; Чо ..., Ч„) — У), г>~э! что иам и гребовалось доказать.
Д. Н. Колмогоров доказал, что при а †со для лк ° б>ой непрерывной В(х) имеет место следу!сигая предель- задачи 2И пая теорема: кв )пп РЬУ'гт йь«х(г=К(х)= Х ( — 1)'е- ах х>0. (20,' На основе предельного соотпонгення (26) строится нпарамстрнчсскнй критерий Колмогорова. Пусть /гч — иквантиль предельного распределения (26) 1 — К Ни) == гх. Тогда гипотсза о том, что выборка (17) взята из распределения с функцией К(х), принимается, если агут Ои« «~/ги, н отвергается, сслн ~'гт 0„) й„.
Уровень значимости этого критерия равен приближенно а. С той жс самой посдсльной фуикщгсй К(х) связан крсстсдии Смирнова. Оп состоит в слсдуинием. Пусть хп ..., х, и (Уо ..., Ри — две независнмыс выбоРки, первия имеет функция распределения Г(х), вторая— 6 (х). Обоз1гачгты Х>аьи„=-- ьпр (Ки,(х; хо ..., хи,) — Кь,(х; «ь ..., 1(и,) (. к .тк 'гт. Рп Смирнов доказал, что сслп Г (х) = ст (х) и гг ! непрерывны, то при а,, и, — со, — — т, 0 < т < оо, слугга гг~ги чайная ислп иьча т г ХЗь,,ь в пределе пмсст тот ич 1 па же закон риса(шдслспия К (х), определенный рядом (26). Эта предельная теорема позволяет нам строить критерий по проверке ~ ппотсзьг о том, что выборки хь ..., хги н туь ..., гб, иаятш нз одного и того жс распр деления.
Заявив 1. 11игт~гь и агши пита выборка кь ..., х,... Ро гипогсас У(а всс х, равиоисрио рассрстслсша в 1О. 2), со ~ ~гиотсас псе П, равиомерно расирсдслсиы а 11, 3) 1(оггргиы» к1игтсрг1й с иаиыспьп1сй всшшииоа шат(и, 61, ~ас сг и (1-- в"ро,пиости ошибок 1-го и 2-го р.„а. 2. Пусть хь ..., х„исзавп:пипа выборга из расирспслпшя с илотиостьи зг ", х .О.
11ос~рои1ь оитииальиыи к~ и;сриа при варки ~ ииотг гы гг'„г К =- 1а при ьоиьури ~утогггси1, апстсаг ГК: Л = Х1 ( Л; г урагвгы аиаииыости си Вьиигслить ы иигас~ь ((т итого критс1гиа а. По гшум ь:чаи шнзым выбориаи: хг..... х„и иормаиьиого расирспслспиа (аь п11 и аь ..., уи, пз иориааьио:о расггрсдслсиии Гл. ы статистические кР!!теРии 212 цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 90 105 1!2 97 108 101 93 87 103 104 частота С помопгыо З!з-критерия Парсона проверить гипотезу о том, что все цифры встреча!отся в таблице случайных чисел равновероятно.
За уровень значимости прпнить а 0,05. !лз, гг ) построить с уровнем значимости !х оптимальный критерий проверни типом чы 77!! а~ = а. прн конкурируюгисй гипотезе Н!. а! ( аз, Параметры о, и оз сипеть нзвестпычн. 4. В таОлнце случайных чисел па 1000 знаков цифры О, 1, ..., 9 встрстплнсь слелуюгиее число раз: Г л а в а 15. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 5 58.
Статистические оценки и их свойства Мы будем иметь дело с независимой выборкой хь хэ, ..., хд (1) из распределения Р(х), принадлежащего некоторому семейству распределений У . Пусть Π— параметр, однозначно опредсляемый по каждому распределению Р из семейства У. Например, О= ~ хг(Р(х) или 0= = ~ х'ПР(х)и т. ». Таким образом,О = 0(Р) — это функционал распределения Р еи 9 .
Очень часто мы будем предполагать, что само семейство У определяется одним или несколькими такими параметрами. Тогда любая Р ен У; есть функция распределения Р(х; 0) илп Р(х; Оь "., О,), зависящая от одного нли нескольких параметров. Такое семейство распределений называется параметрическим. В любом из этих случаев задача оценки (или, как еще говорят, оцепиваиия) параметра 0 состоит в нахождении такой функции 0= 0(хп ..., х„) (2) от выборки (1), которая в каком-либо смысле близка к параметру О, если выборка взята нз распределения Р с 0(Р) = О. При этом предполагается, что функция (2) не зависит от значения оцениваемого параметра 0 и дру. гих неизвестных параметров, от которых может зависеть Р. Вообще, любая икция вида 2 от выбо ки носит название статистики аким образом, Π— это ста.
а . . держательность это определение приоб. нетает только тогда, когда мы налагаем иа этч стати. 2!4 Гл. 18 Оценки пАРАметРОВ стику дополнительные условия, обеспечивающие ее близость к параметру О. Оценка 0 = О (х„..., х„) называется неезген4енной, если при любом возможном 9 МО=О, (Э) т. с. среднее значение 0 равно О. Значение свойства (3) можно пояснить на примере большого числа У независимых выборок объема и нз одного и того жс распределения.
Обозначим 0; значение оценки (2) для г-й выборки. Если опенка несмещенная, то гт!01 —— О, 0„..., Он, независимы и одинаково распределены. Тогда по усн. ленному закону больших чисел о+ ... +ен ..„. — О. М Если конечна дисперсия ВО! = а', то по центральной предельной теореме разность О! 4..., + о, М ' — 0 будет (О, аг ~гЮ)-асимптотически нормальна, т. е. при больших Лг неравенство Г"'."- ! — '--; выполнястся приближснно с вероятностью ! — сг (здесь п„гг — кнантнль нормального распредслення, определенная формулой ()4) из $55). Приведем примеры песмещеппых оценок, Если вы борка (!) взята из семейства с конечным г-м момеитохг и,= ~ х" г(г'(х), то выборочный г-й момент а 1 Ч~ г Пг,= — гг Хг 1 будет несмещенной оценкой т„так как Мнг,=- ~ Мхг=ш,.
Л 1=.1 $ М. СТЛТИСТИЧЕСК«!Е ОЦЕНКИ И ИХ СВОГ1СТВЬ Я«З В частности, выборочное среднее х есть несмещенная оценка математического ожидания а = ~ хг«Г(х). Выборочная дисперсия з'= — „~ (ха — х)- не является несмещенной оценкой дисперсии о' = = ~ (х — а)тс(а' (х), так как аз можно представить в виде аа '-=-,', Х(; — )т-(--а)-. а -! Отсюда о аа — ! 2 Мз- = о" — — =- — о-, н аа (5) а поскольку М(хг — а)« = о', М(х — а)е= —. Равенство (5) дает пам возможность построить несмещенную оценку дисперсии а ! (6) а.« 0„- О, Заметим, что из несисщснностн оцс««кп з'-," для ог нс следует иссмсщсипость оценки з, для о, Поэтому при боль. шом числе а«а' выборок (!) для оценки о предпочтительнее пользоваться оценкой . г — ~ зг., а пе †, р з ., где Ла ~ 11' ЬЛ '1' а=1 з;, — значение выборочной несмещенной дисперсии (6) для г'-й выборки.
Заметим, что обычно вместо з:,' в (6) пользуются обозначением зг. Очень часто нас интересуют асимптотичсские свойства оценок 0„=- 0„(ха..., „х ) для выборок (1) обьема аг- са». Оценка 0„(всрнсс, по- СЛЕданатСЛЬНОСтЬ ОцСПОК 0„) ПаЗЫГаетея Саагтааятв.,!апай, ЕСЛИ ПРИ а — » со Оиа ЕХОДПтСЯ ПО ВСРОЯтНОСтн К ПаРаметру 0 гл.
и. опенки плглмвтгов мв Примером состоятельной оценки может служить выборочный «-й момент пг, в (4), так как при конечности т, и. н. по усиленному закону больш их чисел пг, — ~ лгс прн е а-с ссс, а следовательно, и и, — т,. Для установления состоятельности оценки О„ полезна следующа я Теорем а 1, Если М΄— >О и В΄— «О при и-+ асс, то оце ΄— Д о к а з а те л ь с т во. По неравенству Чебышева при любом е > О Р (( ΄— МО„! > з):~~ —,,'* — ь О.
00„ (7) О 59. Условные законы распределения Рассмотрим сначала случай„когда вектор $ = Дг,,, ..., 5,) имеет дискретное распределение Р ( = х) = р;(х) = р(х) = р(хь ..., х„), тле х = (хс, ..., х„) пробегает кон шое или счетное множество возможных значений Я, р(х) ) О, )', р(х) = 1. х Пусть имеется функция г(х)= г(хг, ..., х„). Условным распределением $ при условии г(С) = г назовем совокупность условных вероятностей при фиксированном Й р (х ! г) = Р (з = х (( ($) = г) = Р(й=х, с(1) с) Р (с (1) = с) л (х) К р(х) ' (О) ".с ох С=с Не более чем счетное число вероятяостей (8) отличны от нуля„1 мы выбираем такими, чтобы знаменатель Из (7) и неравенства (΄— О(~(Ох — МО„(+( М΄— О( следует, что прн и-+ м вероятность события / ΄— О ! > з стремится к нулю, что и требовалось доказать.
Г помощью теоремы 1 во многих случаях легко доказывается состоятельность оценок О„. $ ЗК УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРСДЕЛЕППЯ 217 в (8) пе был равен нулю, Если д(х) — числовая функ- ПИЯ ат ВЕКТОРНОГО аРГУМЕНта Х =(Х), ..., Хх), та = й(~) будет случайной величиной. Ее математическое ожидание равно М)) = Мй ф) = ~ д(х) р (х). Условное математическое ожидание М (д(Д() ($) =х) определим с пах)опгыо уславпога распределения (8): М(ай) )16) =1) = П (х) Р (х) д (х) р (х ( г) = '"' '" ° (9) х. ) ~х)=-) )) (х) х: ))х) 1 Как видно из (9), условное математическое ожидание М(й'(е) ((6)=() есть функция от б Обозначим ее п)(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
