Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 33
Текст из файла (страница 33)
чески нормальна с параметрами (О, 1), что и доказы. вает теорему. Задачи 1. Случайная величина р подчиняется биномнальпому закону распределения Р (и = й) = С'„р (1 — р) . Найти песмещенные з е и — з оценки й и а' матсматического ожидания а = лр и дисперсии аз = лрд этого распределения, считая параметр р неизвестным. 2. Случаяпая вслнчипа 3 имеет геометрическое распределение Р(э= й1= ре", д=! — р, 2 =О, 1,2, ... Найти выраженные через $ несмещенные оценки й и д' тех же величин а =ар н а'=яре, что и в задаче 1.
3. Случайная величала з нмсет распределение Пуассона Р (й=й) = аа = П (а; й) = — е а. Найти несмещенную оценку фж (1) вероятЗ1 ности П (та; О) = е е'а в законе Пуассона со значением параметра гла, где я=2,3 ... 4. Пусть хь х,, ..., х,— независимая выборка из семейства распределений У, Найти достаточные статистики в случае, когда У -а есть: а) семейство пуассоновских распределений р„= — е Ы л = О, 1, 2, ...; б) семейство показательных распределений с плот.
пастью Хе ", х ~ О; в) семейство равномерных распределений с плотностью — если О~хе 'с, 1 р (х) = с ' О в остальных случаях. ЗАЛ АЧИ 5. По незаписимой выборке хь ..., х» нз нормального распределения с параметрами (а, 1) построена несмещенная оценка й = хо и 1 ч-~ Найти яесмешеинуго оценку д йй(х~ (й), гдех * — р хг — доста- Л. точная статистика. 6. Пусть хн ..., х — независимая выборка иэ равномерпшо в (О, О) распределения, Найти оценку О наибольшего правдоподобия йараметра О. Г л а в а 16. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ 0 03.
Определение доверительнык интервалов Пусть хо ..., хь — выборка (далее мы всегда будем предполагать, что она независнмая) из некоторого распределения с плотностью р(х; О) = р(хь ..., х,.„0), завнсящей от параметра О, который может нзменяться в интервале О, » «О» Оь Пусть у(хь ..., х„) — некоторая статистика (т. е. функция от выборки) и г" (х; О)=-Р(п«х)— функция распрсделепня случайной вели щны и ==- =у(хь ..., х„), когда выборка (1) имеет распрсдел.- пне с плотностью р(хь ..., х,,; 0). Предположим, ч: г"(х; О) есть убывающая функция от параметра О. Обозначнм х (О) кзаптиль распределения г'(х; О), т.
е. ко. рень уравнения В этом случае квантнль х (О) есть возрастающая функция от О. Эададимся малым чнслом а О, например, а = 0,05 нлн а = 0,01. Пусть я = сс~+ аь Прн каждом 0 неравенства (2) х~ „,(0) «» т1 - х„,(0) выполняются с вероятностью 1 — а„блнзкой к единице. Обозначим функцию, обратную к х,(0), т. е, решение уравнения у =х (0), через О= х-'(у). Тогда неравенства (2) можно записать иначе: х„-,'(ц)»0»х;.,(0) а Ф опггдплтнпп /тоаггитгльнык пнтггвллов пав Таким образом, неравенства (3) прн любом 0 выпо,знаются с вероятностью 1 — а. Обозначим х„'(т!)=0(т(), х, ', (т)) = 0(т!) и запишсм (3) в следу!ощсм виде: Ре(6(т!)»9»6(т()) =1 — о.
(4) Интервал 0(т)) =.О» О (т)) называется доеерительным интервалом для параметра О, и вероятность 1 — с.— доерительной вероятностью. Следует различать смысл н!- равенств (2) и (3). В неравенстве (2) прн л!обом О случайная величина т! попадает в указаппый интервал с вероятностью 1 — а. В неравенстве (3) параметр 0 неслучайный, а кои ы интервала случайны, поэтому правильнее будет говорить, что при любом 0 доверителный интервал (со случайными концами) покрывает параметр 0 с доверительной вероятностью 1 — а.
Доверительный интервал ((), кроме доверительной вероятности 1 — а, имеет сщс одну характеристику — - среди!око длину М [О (и) — 0(т!)1. Мы должны стараться среди всех доверительнык иптервзлоп с доверительной вероят. пастью 1 — а выбрать тот, который имеет паимсньшу!о длину, Если статистика т( =- у(х!, ..., х„) уже выбрана, то мы можем варьировать разложение а па сумму а! + аг. В дальнейшем мы встретимся со следу!о!низ!и двумя случаями. Сл у ! а й 1. трункцня распределения Г(х; 6) имеет вид Р(х — О). В этом случае г" (х — 0) убывает с ростом О.
Легко вид~ т!ь что при этом х (0)=9+ х (0) и х '(у)=у — х (О), поэтому доверительный интервал (3) имеет вид т) х„(0)»0»~т( — х, „(0) (5) Случай 2. Параметр О положителен, и Г(х; 6) = =Г®, Р(0)=0. В этом случае !" Я при х>0 убывает с ростом О, и х (6) = — Ок (1), х,'(у) = — ' э 'т ' 'т ' хт(!) ' Довсритсльпый интервал (3) в этом случао имеет вид т! т1 х„(!) ~» х,,(!) ' 2ЗЕ ГЛ. 1Е ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ $64.
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Пусть независимая выборка (1) взята из нормаль- ного распределения с параметрами (а, о). а) Доверительный интервал для а при известном о. Возьмем за статистику т! 'среднее арифметическое х.Это разумно, так как х есть достаточная статистика отно- сительно а и является эффективной оценкой а. Как из- вестно, х имеет нормальное распределение с парамето рами 1а, =~. Обозначим, как и раньше, через. и„ з/и квантиль нормального распределения, т. е. 1 — Ф(и„) = у.
Пусть я = а1 + аь Тзк как и~ „— — — и,, то нераеенствз а — и„,= Е Х~»а+иа —, (6) а„ / оа выполняются с вероятностью 1 — а. Разрешая неравен- ства (6) относительно а, имеем доверительный интер- вал для а О о х — и = = а»» а» »а = х + и —, (7) "' .~а а~ а являю1цийся частным случаем (5). Доверительная веро- ятность (7) равна 1 — о> а его длина (и„+и„)=, 'т л Этз длина будет наименьшей, если взять а,=о,=а72. Пусть, например, аа > ан тогда иа, > и„,. Пусть о > 0 таКОВО, ЧтО а, — Л > а~+ Ь; тОГДа и„, > иа,+А > иа, А > > иа,.
Из неравенств а=1 — Ф(и„) — (1 — Ф(иа, „))= "аг-в е а~ а,— Ь 1 1 = е Вдх~~ — е ' (и — и ), ,/2и З „/2„- а -Ь а. "а, а1=1 — Ф(и, д) — (1 — Ф(и,)) = "а1 а Х' "а,+А = е ' 0х > —,е ' (иа — иа+д) т'2п 1/2л Рай+ а 1м. ногмлльное глспгеделснис имеем 9 а ~и~-Л "а,+Л иа, д — иа,а Л.1/2л е ' <Л ~/2а е а ~~иа,— ии,.гд или иа,-д + па~+а ( иа, + иа„ т.
е. при сс! -ь из доверительный интервал пе имеет паи. меньшей длины. б) Доверительный интервал длв а при неизвестном о. Прежде всего докажем важное свойство выборочного среднего и 1 х= — ~ х. и ~.а ! ! и дисперсии и 1 в'= — р (х! — х)' а — ! 2 !=! для выборки (1) из нормального распредслення. Теорема 1. Статистики х и зз для вьгборки (1) из нормального распределения независичы. Случа!!ноя величина з!(и — 1)/оа имеет т'-распределение с (и — 1) й степенью свободы.
Случайные величины х', = х! — и = — независимы н имеют нормальное распределеа нне с параметрами (О, 1). Обозначим х'= — ~~ х'„з' = 1=! = — ~ (х',, — х')е. Тогда х = а + ох', зт = отз' . Дока! ! жем, что х' и з' независимы и что з' (п — 1) имеет т,'-распределение с (п — 1)-й степенью свободы. Случайный вектор (х',, ..., х'„) имеет сферическое норлгальное распределение с плотностью (8) 238 гл.
м, довгееитсльпыв и!!тех вал!! Пусть р = Сх' — ортогоиальпос иое соотпогисииями / гг! = гоп х ==+ з/г2 преобразование, задаи- Р !'к += —, з,гг! (9) Р д„, =- ~ с„гхк Всегда могкио подоорать козффиггггеиты сь! так, птобы равенства (9) задавали ортогональное преобразование. Тогда уг, рь ..., у„тактке будут иметь сфер!о!сонг е иоргзалыюе распределение с плотностью (8). Так как гг к 1г! = ~!~!! х и ~т„хг = т, Р; (из-за оРтогоиальпостп ;=! ' 1.! ' прсоб:гззоваиия С), то (а — 1) з' = К (х', — х')г= ~ х," — ахз= г. ! г=! л гг =- т И" ,— р';= Х уг,'ь г-! г=г поэтому (а — 1)з' имеет распределение )л с (а — 1)-й стсосггкго свободы.
Теорема доказана. Следствием тол! ко что доказанной теоремы является Т е о р с и а 2. !!реть (1) — еыбоако из колгиплькоео расг:оеде,ге!и!к. Стогистггхп (т — а) и'7г г= 5 (1О) кпзывпегпся отко спеки с ли Сть!с де к та, пгпеет расаределекпс Сто!оде!па с (гг — ! )-й стеггекьго свод!од!.. х — е Д оказ атель ство. — „га имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1), а згп ие завясит от х и равно ~/у, гг(гг — 1), где Х,', ! из:ест уе-распределение с (и — 1)-й степень:о свободы. Позгому отиогпеипе (10) имеет рзспрсдслеппз Сть;одепта с (а — !)-й степенью свободы.
Теорема тгокггзггиа. Для постросииг! догсрителыюго интервала для а прп исизвес!'пом о воспользуемся отпев!с!!из!'! С!'гкодеиз ! (10). Пусть 5„(1) — ьг!уикция распределения Стьюдепга !! 6!. г!ОРмлл! !!ОВ Рлспггдглшпге 2ат с и степенями свободы. Обозпачпм гт(и) кпзптпль распределения 5„(1), т. е.корснь уравнения 5„(1) = 1 — у. Так как распределение Ст!пеленга симметрично, то !! „(и)= — гт(и) и при по трое!ши довернтслыюго интервала надо брать оп == а, = и/2. Неравенство — — Г„и(!т — 1)х-.х — а "— 'з Г и(и — 1) выполняется с вероятностью 1 — и.
Это дает нам дове- рнтслызый интервал х — — ' 1,! (и — 1) ( а ~ х + — Г;,и (и — 1). ч/й ч! !! в) Доверительный интервал для о при инвест!!ом а. Статистика г-! является достаточной для параметра о п имеет 1!з-распределение с и степепямп свободы. Обозначим через К„(х) функиию распределения !!!!оз и через )!,,(и) кзантиль К„(х), т. с. корень уравнения К„(х) =! — у. Пусть ю — я! + я2. ! огда нсравснстьа .(!! (и) «: — !, (/г, (и) выполняются с вероятпостшо ! — а.
'-!то дает допернтсльньш интервал ч ! „,(-) =- ~ ~ а, „", (н) (11) Можно доказать, что зтог интервал будет иметь наименьшую длину среди всех доверительных интервалов этого вида с доверительной вероятностью 1 — !х, если и! и аз выбраны так, что плотность А„(х) =К„(х) удовлетворяет равенству й. (" .,( )Э =1. (~.,( )) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
