Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 28
Текст из файла (страница 28)
уРОВень знхчимОсти и мощность кРитегия ят соответствующий размер также нормально распределен. ным, но уже с параметрамн (а, оч), где а чь ом Технический контроль, на который поступают изготовленные детали, исходит из того, что детали должны быть годными, и поэтому проверяет гипотезу Нм т. е. их годность, В этом случае Н — основная гипотеза, и на конт.
роле надо уловить тс детали, которые изготовлены в условиях конкурирующей гипотезы Нь 0 53. Уровень значимости и мощность критерия Рассмотрим две простые гипотезы: проверяемуго Н!! О = Ою, и конкурирующую Н!. 'О = О!. С каждым 5-критерием связаны ошибки двух родов. Ошибка иервоао рода — отвержение гипотезы Нм когда опа верна; принимая гипотезу Н, в случае, когда верна конкурирующая гипотеза Нь мы делаем ошибку второго рода. Обо. значим Р; (В) = ~ р (х; О!) с!'х, ! = О, ! . Тогда вероятность ошибки первого рода 5-критерия равна (2) а вероятность ошибки второго рода равна (!=Р,(5), (3) где 5 = Х",5.
Иногда мы кратко вероятности ошибок первого н второго родов будем называть просто ошиоками первого и второго рода. Задача построения 5-критерия для проверки про стой гипотезы НВ при конкурирующей гипотезе Н, ставится следующим образом. Вероятность ошибки первого рода я называется уровнем значимости 5-критерия, Функцией мощности Ч~ = ~У(5; О) 5-критерия называется следующая функция от О; Ф' (5; О) = $ р (х; О) о'х, (й) т, е. вероятность отвергнуть гипотезу Нм когда истинное значение параметра равно О, Как видно из (2), (О) гл. гь стхтгзсти~геск>гв кеггтвеин )ВВ а=%'(5; 0~„! — 0= йг (5; О).
Итак, сначала задается уровень значимости а и рассматривается множество У всех 5-критериев с уровнем значимости сг. Среди этих критериев выбираетсч критерий 5', для когорого мощность прн О = О, принимает наибольшее зпа генис, т, е. 1У>(5*; 0„).=и, 1У>(5'; О,)= пзах В'(5; Ог). (5) аи Критерий 5', удоглстворягощий условиям (5), называетсн о><тима,гьньии, и чи наиболее лгогг!ггг,гм, критерием.
Оптимальный крнтсрпй, удовлстворягощий (5), не всегда существует, поэтому нам удой>но будет оГ>обгцить понятие статистического критерия. Для этого опишем 5-критерий < помощью функции <)>(х), ог>реде>генной следующ>!и ооразом: 1, если «е— : 5, <р(«) = О, если х э' 5. (О) й(ы можем истолковывать <р (х) как вероятность отвергнуть гипотезу 11„, когда выборка приобретает значение .т.
Критерии, описываемые функцией вида (6), назьгваются нвроноохгоз,гроогггг>гьгг>гн. *спейси< понятие ронстолгизггрованного критерия (ог англ. гав<)огп — случа "гпый). Пусть задана функция Ч>(х), такая, что 0 -- ф(х) ~! для всех х. Мы предполагаем, что с каждым значением выборки х связывается некий случайный эксперимент (рондо,<гггзггг(ггя) с двумя исгходами 1 и О, причем вероятность 1 равна <р(х), а вероятность 0 равна 1 — <р(х).
Б зависимости от исхода этой рандомизацнп действует и >гав рандомп:шрованный критерий. Если выпала 1, то 11„отвергается; сели выпал О, то Н<> принимается. Функцию мощности этого критерия, который можно назвать с(-кригернвхг, обозначим 1Р(<)>, О). Она равна 1(г (<р, 0) = ~ <р (х) р (х; О) г)х = М„<р Я) где Мэ означает математическое ожидание по распределени>о р(х; О), а с — случайная величина, плотность и (4), вероятности ошибок первого и второго рода следующим образом выражаются через функцию мощности; $ ьь оптнмкльныя кентнч1и непмкпА — пиосО!ы 1зо которой равна р(х; О). Уровень значимости ~р-критерия равен а= — )Р'(р; О.) = Мо,р(К), а вероятность ошибки второго рода равна 6=1 — К(р; О!)=1 — МоР6). Рассмотрим множество у' всех гр-критериев с фиксированным уровнем значимости а. Мы будем называть ~р'-критерий оптимальныи, или наиболее мощным, если )Р'(~р';Оо)=а, )Р'(~р";0)= гпах ((т(р;О,).
(7) ~~'та Задача (7) всегда допускает решение. й 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона Обозначим ро(х) = р(х; Оо), р,(х) =р(х; 0,), Мачо= =~ <р(х) ро(х)дх, Мкр=~ <р(х) р,(х)дх. Оптимальный кри- терий (7) можно искать среди критериев, которые опре- деляются отношением правдоподобия Р~(х'тро(х) Т е о р е м а 1, (Теорема 1-1еймана — Пирсона.) 7(ля любого О ( со 1 суи(ествуют такие числа с ~ О и О ( а ( 1, что ф"-критерий с функцией 1, если р, (х) > ср„(х), ~р*(х) = е, если .р, (х) = ср„(х), О, если р,(х) < ср,(х), определяет оптимальный критерии с уравнен зна и- мости а, удовлетворяющий (7).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 11усть О ( и ( 1. Случаи и = О и а = 1 проверяются отдельно, н мы нс будем здесь этим заниматься. Рассмотрим функцию от с у (с) = Р (Р1 (з) > сро(ь)! тто) в предположении, что верна гипотеза Но. Функция 1 — д()=р( — "",, = (Н,~ есть функция расгределення случайной величины р~®/роЯ)г поэтому она непрерывна справа и й(оо)=, гл.
н. стлтистическив кг)(тв им =- О, д(0 — ) = 1. Определит) с„из условия' д'(с,) а < д (с„ — 0). Если й (с,) < д(са — О), то выбираем а — и (ра) е и('.— о) — а ( „) Если и(са) = п(с — 0), то полагаем е„= О. И случае, когда д(с) == а для целого отрезка с) ~ с ~ с:, принимаем за с„любую точку этого отрезка, например, саму(о левую.
Полагая с и е в (8) равными найденны)( с„и е„, строим функцию ф'. Дока)кем, что полученный (р'-критерий имеет уровень значимости а и обладае" свойством оптимальности (7). Дока)кем сначала, что уровень значимости (р"-критерия равен а. Имеем М,,ф* = ~ р,(х) (х+ р, (р)>р рр(р) р, (х)=саро(р) и (р„ — о) — к (с„) Пусть ф — любой другой критерий с Маф~а. Покажем, что тогда М(ф ~ М)ф. Рассмотрим интеграл ~ (ф" (х) — ф (х)) (р, (х) — с,р, (х)) а(х. (9) Разобьем его на два слагаемы' (ф' — ф)(о, — сарр) дх+ ~ (ф' — ф) (р) — саро) ((х.
(1О) ч" >ч т" ('р В первом слагаемом интегрирование производится по точкам х, для которых ф" (х) ) ф(х) ~ О, поэтому в этом интеграле р) (х) ~ с ро(х), т. е. подынтсгральная функция неотрицательна. Аналогично, во втором интеграле (10) ф (х) ( (р(х) ~~ 1, поэтом)' р)(х) ~~ сара(х), и подынтегральная функция также неотрицательпа. Отсюда заключаем, что интеграл (9) иеотрппателеп, т. с.
~ (ф — ф) р) ( с. ~(ф — ф)р (х, ф оо. Оптнмхлъные кРнтеени илн М,~р' — М,~р > с„(а — Мо<р) > 0 что и требовалось доказать. Замечание. Теорема справедлива и для дискретных распределений р,(х) и р| (х). В доказательстве в атом случае надо везде интегралы заменять суммами. 'м'.
ф 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез -,/ о параметрах нормального и биномнального распределений Пусть (1) есть независимая выборка из нормального распределения с параметрами (а, о). Пусть о известно, а относительно а нмеготся две гипотезы: гипотеза Н,: а=а„, гипотеза Н,: а=а, > а,. Построим оптимальный критерий Неймана — Пирсона.
В этом слу чае о — '~Г (х,-а,)~ р(х)=:, е ' ', 1=0, 1, (2л) л~ а" и — (,) = ехр ( ах(а1 — ао) — 2,„, (а', — а,') ~, (11) ло(х) где х — выборочное среднее. Из (1!) следует, что об. ласть значений х, для которых р,(х)/ро(х) > С, опреде» ляется неравенством х С, прп некотором Сь Как из- гестпо, среднее Х распределено нормально с парамег.
рами (а, =), Определим теперь ошибки первого и ч/и / второго рода: и' а Р(х,С, (Но) — — 11 е з г(и=1 — 6т( — '"' 1/а), о (1й) с,-о, о аг Р(х -С,(Н,) = — ~ е ' г(и=(Р( ' ' тl~) (13) ГЛ, и. СТЛТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ Обозначим ит то значение, для которого 1 — Ф (а ) = у. (14) и„ носит название деанталь нормального распределения. Тогда из (12) и (!3) и и, = — и! „ вытекает а! — ао ! С! — и! г— "о! !! — По о ''о! и и!! е (т С, =а„+ и„==а, — и = ~/и а й И !то(ко+ а,)Т 14о! — оо) (1б) Но. 'а — — О, о=о, Н!: а =-О, о=о, »ио. В этом случае отношение правдоподобия приводит к критическому множеству Е х',-.
Си о=! Поскольку слу шйпая величина л кл х ! ! имеет при гипотезе (О,о) т'-распределение с и степенями свободы с функцией распределения к К„(х) = ~ /г„(и) аи, х~О, о Равенство (15) дает тот объем выборки, который при оптимальном критерии обеспечивает ошибки первого и второго рода с! и О (еслн правая часть (15) — нецелая, то за а надо брать ближайшее большее целое число), Рассмотрим теперь следующие две гипотезы: 5 М.
ОПТ!!МАЛЬНЫВ КРИТЕРИИ 'Н ПЛОТНОСТЬЮ а х ха е '-', х>О, Уса(х) = то ошибки первого и второго рода определяются пз ра- венств а а,! ! —:~~ — ', ~с!С вЂ” ",' ~=Ха(~). Построим оптимальный критерий в схеме Бернулли. Пусть О -'ра р! 1. Рассмотрис! следующие две гипотезы: Н,: р„(х)=с,р,'(1 — р,)а ", х=о, 1,.", и, Н,: р,(х)=-Сар, (1 — р,), х=-О, 1, ...„ Оптимальный критерий для проверки гсспотезы И, против конкурирующей гипотезы Н, строится, исходя из неравенства — "У" "".-„-:ъс, ~ () ~г (! — ги)з (1 — ~!"= которое равносильно неравенству х с-" С, при некотором С!. Для вычисления саппбок перного и второго рода воспользуемся тем, что шсло полоькительпых успсхов х аспмптотичсскп нормально с параметрпмя (пр, ссспр(1 — р)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
