Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так же, как в одномерном случае, дока. зыпаетсн, что прн о — д-О рГ(х) -д р1+ч(х) = „ Р Я ен 1!(х, 1)) Мы будем исходить из следуюшсй формулы обраше. ния для преобразования Фурье, доказываемой в анализе, Пусть случайный вектор я = Д!... „$!,) имеет непрерывную плотность пе(х) и характеристическую функцию )е(1)е= Ь! (т. е. ~!1!(!) ~с(1 < ). Тогда а! р1(х) = — ~ е-! !! "!11(1) !11 1 (2я) аь з м пгьдвлы«ыв твоея»«ы 159 н точках непрерывности х предельной плотности.
П ?- этому из (6) получаем об«цу«о формулу обращен««я Р В ен Л (х, 1)) = а 11„п ~ е «П а«) (Г) Ц а«а а а е а=-«,««(У) па а-»а «а ,"а а=« справедливую для всех тех прямоугольников Л(х, й. для которых вероятность попадания а на границу равна нулю. Поскольку в (7) Л(х,1) можно выбирать так,что х„н 1„образуют всюду плотное множество, то мы получаем из нее следующу«о теорему единственности.
Теорема 1, »«о характеристической функции )»(1)' функция распределения восстинивливаетсн однозначно. й 45. Предельные теоремы для характеристических функций Пусть случайный вектор $« =(а„..., ьа) имеет функ- цшо распределения Р», .„»„(х«...., х») = Р (хь ., х««). По этой функции мы определяем одномерные функции распределения Р» (х). Обозначим»?а множество точек разрыва Р» (х). Как известно, »?, ие более чем счетно, а Множество 0 = »?«()... () 0» также не более чем счетно. Р(х„..., ха) непрерывна во всех точках х=(х,, ..., х»), если никакое ха Ф й, так как при Ь =(Ьь..., Ь,) с Ь„~ О О ~ Р (х + Ь) — Р (х) = Р Ц„~ ~ха + Ь„а = 1, „Ц— — Р ($, (х~, а = 1, ..., Ь) ~» « Х (Р»„(~ +Ь ) — Р»а(х )), и аналогичное неравенство можно написать при Ьа «- О. Ь-мерный прямоугольник х, «= $а ~ у„, «» = 1, ..., Ь, назовем пря»«оугольнико»«непрерь«вности„если никакое х„или у„не принадлежит .О.
Для прямоугольника не- прерывности вероятность Р(ха <~а~~уа> «» 1' '''' Ь) Ла« "'ь»Р(хр '''«х») Ьа уа ха~ непрерывна по всем своим аргументам ха, уа, 1ео Гл. н. МИОГомеРнын ХАРхкте!'Нстическис еу!1кции О п р еде л е и н е. Мы будем говорить, что последа вательность Г„(х) слабо сходится к Р(х), и писать Р„(х) =~ Р (х), если Г„(х) — 1. Р(х) в кгокдой точке непрерывности пре. дельной функции.
Если Р„(х) — функция распределения $ч, Р(х)-- функция распределения я, то при Р„(х)=~ Г(х) мы будем также говорить, что $, слабо сходится к с, и обозначать ~„ => я; иногда мы будем говорить, что ~ч сходится к $ по распрсделенгио. Из слабой сходимости еле. дует, в частности, что Р(5„ен Л) — ~Р (к ен А) для ля!- бого прямоугольника непрерывности Л по предельному распределению.
Если е„сходится к К по расаределени!о, то это значит, что распределения $„ и $ близки друг к другу. Требовать в (8) сходимости в каждой точке было бы неразумно, так как, например, при й .= 1, ь„.=. = 1/и, а = 0 РУ„(х) ь- Р1 (х), но Рт, (О) 7" РЕ (О), в то же время $„и $ близки друг к другу. Нетрудно доказать, что из Рч(х)=~с" (х) и непрерывности Р(х) во всех то 1- ках следует равномерная сходимость Г„(х) — э Р(х), Одно из самых важных свойств характсристических функций содержится в следующих предельных теорс.
мах. Пусть Р„(х), Р(х) — функции распределения, )„(!), ~(г) — соответствующие им характеристические функции. Теорема 2, (Прямая предельная теорема.) Если Р„(х)=:-Р(х), то ~„Я- )(!) в каясдой точке !' ен Я . Теорема 3. (Обратная предельная теорема.) Если ),Я сходится в каждой точке 1ен Гс" к некоторой функции ((1), непрерывно!й в нуле„то Р,(х)=)~ Р(х) и )(Г) есть характеристическая срункция Р(х). Доказательство этих теорем вытекает из следующей леммы и двух теорем Хелли. Лем ма. Если Гт — всюду плотное мнояссство й!" и Р„(х)-+. Р(х) для всех х из О, то Р„(х)=)1 Р(х). Доказательство. Будем писать х( у, х ~ д, если при всех а х ~дн или х„< д„соответственно. Пусть х — точка непрерывности Р(х), Тогда для любых ге! % 4а пгедельпыа тсогсмы х', х" ен О, х' < х ( х", имеем Р„( ') <Р„(х) «= Р„(х"), Р (х') = !ип Р„ (х') ~ !ип Р„(х) -= !ип Г„(х) »« л-~.о ";,—,.„" л-эю «~ !ип Р„(х")= Р (х").
Поскольку Р(х') ~ Р(х) ~ Р(х") ' и разность Г(х")— — Р(х') может быть сделана как утодно малой, имеем 1!пг Р„(х) =Р(х). п~ Теорема 4. (Первая теорема Хеллн.) Из всякой последовательности функций распределения (Р„) можно выбрать слабо сходни!угаси подпоследовательность. Доказательство. Пусть 11=,'х,) — всюду плотное в Ль счетное множество. Из ограниченной последовательности О:-.= Р„(хг)( 1 выбираем сходящуюся подпоследовательность Рь,(хг)-~ Р(хг) (так мы обозначаем предел).
Из ограниченной последовательности О ~ (Ргь(хг):-1 выбираем сходящуюся подпоследовательность Ргь(хг) — ьР(хг) и т. д, Далее выбираем диагональную подпоследоватсльность Р,„(х)„для которой Р„ь (хь) -~ Р (х, ) для любого хь ен гт. По лемме отсюда вытекает Р„,(х)=Ф Ф Р(х). 3 а меч анне 3. Г(х) может не быть функцией распределения.
Построить пример. Теорем а 5. (Вторая теорема Холли.) Если д(х)— непрерывная оераниченнал функция на Яь и Р„(х) р р~Р(х), то !ип ~ д(х) йГ,(х) = ~ д(х) йР(х). (9) аь л' Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л вЂ” прямоугольник непрерывности Р(х). Докажем сначала, что 1ип ~д(х)йРь(х)= ~д(х)йР(х). (10) "-'" л Ь Пусть !у(х) ~ (М. Выберем е > О. Разобьем Л на прямоугольппки непрерывности Ь с центрами х„и поло- 1ьа гл. и.
многомегныв хлглктсщзстические чтнкции жим д„.(х) = й(х ), если хев Л,. Выберем разбиение Л столь мелким, чтобы для любого х е= Л ! д (х) — д„(х)! < е ,'(зто можпо сделать из-за равномерной непрерывности и(х) на Л). Тогда ! 1а <*) аг„< ) — ! е ( ) шг ь) / ч / ! ь п„— ! а. ш~ / -4- + ~ ! д (х) — к,.(х) !с(Г„ + ~ ! к, (х) — д (х) !г(Г (х) ~ л л ~~ 2е+ М - 2' ! Р Д„~ Л„) — Р Д ~ Л„) 1, где И вЂ” число прямоугольников разбиения. При и — ~.ео последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, что и доказывает (!О). Для доказательства (9) выберем столь большой прямоугольник непрерывности Л, что Г(Л) =~ ! — е (через Г(А) мы иногда будем обозначать Р(ч ев А) для случайного вектора ~ с функцией распределения Г(х)).
Тогда существует такое пм что для всякого и -": п, Г„(Л) ~ 1 — 2е, слсдовательио, Г(Л) ~ е, Г„(Л) ( 2е. Далее, (9) вытекает из (10) и ! )аиг„— (даг(~)(ды„— (д~ ~!+ я' л ~~)ИШР ~+~1ГНР~(з.м+!1ЯшР— 1дше~ 1ь 1 ~л 1л Ь Д о к а з а т е л ь с т в о т с о р е м ы 2. По второй теореме Хслли из Г,(х)=~ Г(х) вытекает~„(!)= ~ е'П мг(Г„-+ я" -+~(()= ~с'и 'г(Г в каждой точке (ев)Р. г!е- ял трудно доказать, что сходямость равпомерпа па любом ограниченном множестве й Доказательство теоремы 3. По первойтеореме Хслли из Г„(х) можно выбрать подпослсдователь- 1В4 гл.
11, МПОГОмгРныс хлРлктеэистпческ!те Фу1!к!1!!и (теорема 3 5 30 о мажорируемой сходнмостн). Тогда при п~по —,а а ! ... ~~„(1)с(1 )~! — — ' и по нера. Г Г а венству(12) Р ~ (са,! —, и=1... „й~ ~~ 2 (! — ~) -~ — - ! = 1 — г, следовательно, В(В") = 1. Докажем теперь, что с„=э Р. Предположим, что В„ч~ В. Тогда существу!От две подпоследовательности В„=ь- Г и тч„=>- В'. По прямой предельной теореме „, — 1" и 1„„— ~1'*, по так как по условию теоремы )„-э), то 1"=1"=1 и по теореме ! Р'=В', Теорема доказана. В 4!1. Многомерное нормальное распределение н связаниыс с ним распределения Иы будем говорить, что случайный вектор с = =(с1, ..., $ь) имеет нормальное (или гауссовское) рас.
пределеиие, если его характеристическая функция имеет нид ! !1, а! -' -!Нт, !! Ы) =е где а =(а1, ..., аа) — вектор, а В =((Ьас)! — симмстрич. ная 11 Х 1мыатрт!ца пеотрицательно определенной квадратичной формы (В1, 1)= ~., Ьа,(а(„~0 '). Мы будем а,(1 1 также говорить, что случайный вектор с характеристи. ческой функцией (13) (а, В)-нормален. Из (13) следует, что каждая компонента с, имеет характеристическую функцию Ьаа ~! (1) =в т.
Е. НормаЛЬНО раСПрсдЕЛЕНа С М$а = Па~ 05а Ьаа. Далее нам удобно будет перейти к центрнрованному ') В случае В О распределение (!3) нырождастса в константу а. В атом нмрождснном случае распределение также удобно прн. Числять к нормальному, $4В МПОГОМЕРНОЯ НОРМАЛЫ1ОВ РЛСПРЗПГЛГНИВ 1ОВ вектору з = $ — а, для которого 71(!) =е Поскольку конечны все М$~„то конечны и смегианпые моменты МЦа, позтому их можно вычислять с помощью производных характеристической функции в 1=0. 11о- лучаем е(,(о) СОЧ (а„фз) = МЕДО —— — З вЂ” — Ьаа, а а таким образом, В =11Ь а11 — зто коеарииционная л1а1- рица (й1, ", йл) ° Далее мы будем $ обозначать просто з.
Одно из важных сн- йств нормального распределения состоит в том, что любое линейное преобразование 41 =Сл но,1- мально распределенного вектора з с Ма=О и 11 Сот(з„, ВВВ1 = =В приводит к нормально распределенному вектору ч с Мт)=О и 1Соч(Ча, 41„)!1=СВС'. Это следует из свойства 7) $ 43, по которому — <ВС'1, СМ> — — 1СЗСЬЬ 11 1 1 )ч (1) = ~т (С'1) = е ' ' = е Пусть С вЂ” такая ортогональная матрица, что о ... о О Н14...О о о...е„ СВС' = = Р, 4(аа -З О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
