Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(21) Так как плотность р„(х) непрерывно зависит от а и, как мы увидим в 339,из р„(х)- р,(х) следует ~, (1)-~~„((), формула (2!) справедлива для всех со О, Заметим, 1то при дробных и из многозначной функции (21) выделяется однозначная ветвь, для которой )о(0) = 1. й 38, Формулы обращения для характеристических функций В 3 37 мы установили, что каждой функции распределения Го(х) соотпетствует характеристкческая функция )е(1). Пусть существует непрерывная плотность ро(х).
Тогда характеристическая функция вычисляется З ж Фогмулы ОБРлмн1ия (23) хи-а х(-а т,а*.|-,.М- —,, ~ ( тьи — ) там*1- 1 х~-ь х1-Ь х, р ( — а)-г ( — ь), х, откуда и следует утверждение. по формуле )ь(()= ~ е р((х)ах, (22) т. е. ~ь(() есть преобразовайие' Фурье функции рДх); В анализе доказывается, что прн ~~(1)~ 1.ь т. е. при конечности интеграла ~ ( (ь(() (а(, имеет место формула обращения для преобразования Фурье (22): рь(х) = —,', ~ е-и'(((()д(. Исходя из этой формулы, мы докажем формулу обращения в общем случае.
Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений. ('л Д)ад ~ „« . х 1 Функцию распределения Е(х), а т) равномерно распределена на отрезке (а, о), то существует плотность р~+„(х), которая выражается Формулой Е (х — а) — Р (х — ь) рь+ч (») ь а Л о к а з а т е л ь'с т в е, По формуле композипии ~ь+ч(х) ~ рь(х у) рч(у) иу ь — ~ ~(» у)ау ОО а х-а — Р (г) (ЕЙ.
(24) х-ь Исходя из '(24)', мы можем для любых х~ ~ ха записать Гл. 9. хАРАктегистическ!!е Функции (зв 3 а м е ч а н и е. Если !! равномерно распределена на ! — 1,с), то Г" (х+ Π— Р (х — !) р!+„,(х) = 21 Л ем м а 3. Пусть ь и Ч независимы, $ имеет ограни. ченную плотность ре(х) = р(х) и з! имеет плотность р„(х). Обозначим рь(х) плотность суммы ь, + От(, где 0 — параметр, Тогда в точках непрерывности р(х) имеет место равенство ! 'пп рь (х) = р (х).
9-Ф 9 Д о к а з а т с л ь с т в о. По формуле композпннп пмссм Рь(х) = 1 Р(х — и) Р ( 0) 0 ° откуда Рь(х) — Р(х)= ~ (Р(х — у) — Р(*)(Р„(,03-0- и (ра(А) р(х)!~~ ~ )Р(х у) Р(х)(рч(0) 0 + !!н сь + 1 (Р(. — у) — Р(х) !Рч(0/-) 0!' . (25) ! ь,)ь Пусть х — точка непрерывности р(х). Зафиксируем любое е О. Тогда можно выбрать такое б:» О, что прн (у!! ~ б вьпюлнястся неравенство )р(х — у) — Р(х) !'- г/2. Так как плотность р(х) ограничена, то существует такая константа С ( со, что р(х) ~ С. '!'огда нз (25) следует ! Ра (х) Р (х) ! С ~ ~ рч ~ — ) — + СР ( ! г! !» — ~ !9(кь Выберем 09> О так, чтобы Р~!т(!~ )— ~ < —,. Тогда 6 ! е ) при всех !О! ( 09 имеет место неравенство )ре(х) — р(х) ! ( г, ч За Фогмулы ОБРлщення )ЗВ формулу обращения в общем случае дает Т е о е м а 1, Пусть (а(1) — характеристическая функция и е х — соответствующая функция распределения. Тогда, если точки х+1 и х — 1 нвлкчотся точласяи непрерывности функции Гт(х), то СО Оч' ) г -сх~ мп ы Гт(к+1) — Г;.
(х — 1)= Итп — ~ е )1(1) — ' — е ' д(. Оч,о Л (26) .Лд.кл.за-т-е-л-ь-еч-в-е. Пусть случайные вслнчины к, т), с независимы, е имеет функцию распределения Ге(х), т) имеет равномерное распределение на интервале ( — 1,1), ь имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1). Тогда по лемме 2 $+ 1Ч имеет плотность Р~ (х+ !) — Е~ (х — ~) р(х) = а $+ (т)+ в" имеет характеристическую функцию а'и )'), (1) — 'е поэтому ее плотность рь(х) выражается по формуле обращения (23): ьч' р, (х) = — ~ е х')) (1) — ',", е ' д1. (27) По лемме 3 Г (х+ ~) — Р (х — )) 1пп р„(х) =, ° (28) ч.+О 21 если х+1 и х — 1 — точки непрерывности Гь(х)', Переходя к пределу в (27) и пользуясь равенством (28), пол уч 6) .
т хх,~2.,х,вб;,«~ ° жуи ц ~е(1 соответствует только одна функция распределения Гь(х ао к а з а т е л ь с т в од В формуле (26) разность Гь(х2) — Ге(х,) для 'точек хх=х+1 и х1 =х — 1 непрерывности Га(х) однозначно определяется по )~(О. Полагая в разности Гь(х~) — Гт(х1) х1-~- — ьо по точкам непрерывности хь мы однозначно определяем Гь(хх) 140 Гл.
9. ХАРАктвнистичнскис Функции в точках непрерывности хм а так как в любой точке Р1(х) =1ип Р(х,,), лайк где предел берется по точкам непрерывности х,, то Р1(х) однозначно определяется 11(~). Теорема доказана, $39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения В 3 38 мы установили, что между множеством функций распределения (Р1(х)) и множеством их характеристических функций ()ь(1)) имеется взаимно олнознач. ное соответствие.
Покажем, что зто соответствие ис тол ька взаимно- ' ачное, но н взаимно непрерывно ь д(К,О п е е л е и и е 2. Мы будем говорить, что последовательность функции распределения Р„(х) слабо сходится к Р(х), н писать Рл (х),=ю- Р (х), если Р„(х)-~ Р(х) в каждой точке непрерывности предельной функции. Если Р„(х) — функция распределения $„, Р(х)-- функция распределения $, то мы будем также иногда говорить, что В„ слабо сходится к $, и обозначать $„ Ф $; иногда мы будем говорить, что Ц„, сходится.м ~, ао-распределению. Из слабой сходнмости 5„ =)~ $ следует, что Р(х~<~.:.„(~хз)-+Р(х~(5- хз), и-+со„ если только Р(';=х )=Р (с = х2)=0.
Пример Р ~$„= — „~~ =1, РД=-О) =1 показывает, что нз $„=ч-", не вытекает сходимость Ре (х) — ~Р (х) в каждой точке, так как Р» (05=0 и Р (0)=1. Одно из самых важных свойств характеристических функций содержится в следующих двух теоремах. Пусты Р,(х), Р(х) — функции распределения, 1,(1), )(1) — соотвстетиутцщие нм характеристические функции.
с. Таарем а 3. 1(Прямая предельная теорема.1 Если 'Г„(х)=~ Р(х), 'то ~„,(1) — ~1"Я в каждой точке 1, % ьа теОРемА О непРеРывнОМ соответствии 141 г Т е ой е и а,а ' (Обратная предельная теорема.) Если 1„(1) сход))те)1 в каждой точке 1 к некоторой функции (()), непрерьтной в нуле, то Рл(х)Р Р(х) и ((1) есть характеристическая функция распределения Г(х), Доказательство этих теорем будет следовать из лем.
мы н двух теорем Хелли. Л е и м а 4. Если Р„(х) — с- Р(х) на всюду плотноси на прял)ой множестве О,' то Р„(х) =)~ Р(х), Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х — точка непрерывности Р(х), х', х" ~ 0 и х' . х х". Имеем Р„(х')» Р„(х) < Р„(х"), (30) и Р(х')= 1ип Р„(х') .=: Игн Р„(х) » л"+сс л ~СО » Игп Г„(х)» Игпр„(х")=Р(х"). (29) л.+„" л-~со Так как Р(х')» Р(х)»Р(х") и разность Р(х") — Р(х') может быть сделана как угодно малой, то нз (29) следует Игп Р„(х)=Г(х), что и требовалось доказать.
Теорема 5. (Первая теорема Хеллн.) ггз всякой последовательности функций распределения (Р„) А)оясно вь)брать слабо сходящуюся подлое,гедоватсльность. Доказательство, Пусть 0 = (хь) — всюду плотное на прямой счетное множество. Из ограниченной последовательности О» Р,(х)) =" 1 выбираем сходящуюся подпоследовательность Р),(х)), предел которой обозначим Р(х)). Из ограниченной последовательности О ~: » Р)„(хе)» 1 выбираем сходящуюся )юдпоследовательпость Ра„(хт)-~Р(х,) н т. д. Далее выбираем диагональную подпоследовательность Р„„(х), для которой Рлл(хь) — ~-Р(хь) для любой точки хь ен (). По лемме 4 отсюда вытекает Р,„(х) =:- Р(х).
3 а м е ч а н и е. Р(х) может не быть функцией распределения. Напрг)мер, если Р„(х) = О )гри х» и и Р,(х) = ) прнх~ и, то Р„(х)=ь-Р(х) — = О. Теорема 6. (Вторая теорема Холли,) Если д(х)— непрерывная ограни«енная функция на прямой и Г„(х)=ь. Р( ), Р( ) — Р( — )=1, Ип) ~ я(х)дРл(х)= ~ у(х)а)Р(х). лыс Гл. 9. хАРАктсгист)и(Гские Функции !42 Доказательство. Пусть а ~ Ь вЂ” точки непре. рывности Р(х). Докажем сначала, что 11т ~ д (х) И„(х) = ~ д(х) г)Р (х). (31) Пусть е ~ О.
Разделим (а, Ь1 точками непрерывности о = хо, хь ..., хл (, хк = Ь функпии Р(х) на такие отрезки [хь ьхь), что ~д(х) — 11(хь) ~ (е для точек хен ен(хь (,хь). это сделать можно, так как д(х) равномерно непрерывна на (а, Ь'1, а точки непрерывности Р(х) расположень! всюду плотно. Определим ступенчатую функцию )г, (х) = д (хх) нп х ен (х!) ).
хь!, для которой )да(х) — а(х) ) ~ ~е, на хе=(а, Ь1. Тогда Ь ь (х()аа.(*) — (х(*) ах(*)!~ а а == Ь(х) — д'.(х) ~ (Р. (х)+ Ь Ь Ь + ~ 1,,. (Р„- 1 й,. (Р + 1~а(х) — й-а(х) 1 )Р(х) < а а аа..).м(~ (Г„о„) — х( ) — (г,( -) — ~(а-)))! Е Ь вЂ”. ( де )Ь1 = — зпр! д(х) ~. При и-)- ао последнее слагаемое х ожет быть сделано как угодно малым, откуда и слсует (31). Для доказательства (ЗО) выберем Х О таим, чтобы Р( — Х) ( е/4 и 1 — Р(Х) а-' е/4 и чтоб)А очки .ьХ были точками нспрерывности Г(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
