Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 15
Текст из файла (страница 15)
гаеыых. П р н и е р 3. Пусть $ и т) независимы, Рй («); — функ. ция распределения $, а т) имеет плотность 1 р() ь— для а!» Ь, 0 в остальных случаях. Применяя формулу композиции, имеем СО ь Рй+ч(х)= ~ Р((х — «)рч(»)гг»= ~ Рй(а — »)г(», 1 откуда получаем, делая в интеграле замену з-« *а1 я о Рй+о(а) = Ь- Отсюда следует существование плотности Р (я — о) — Рс(я — Ь) Р~+ч( ) Ь вЂ” а Задачи 1. На прямоугольнике 0 < х е~ я, 0 а- р и, Ь с равкомерпым распределением случайпо бернса точка (х, у).
Найти фуакцкю распределения и плотность площади $ прямоугольника с верши. нами (О, 0), (О. у), (х, 0), (х, р). 2. На отрезке (О,!) независимо друг от друга берутся азе слу чайные точки с равномерным распределевием. Найти фуикпвю рас. пределепия )г(х) в плотность р(х) расстояния между иимв, 3. Пусть случайвые величины Ь с фуякцияма распределения Р~(х) иезавпсимы, Найти фувкцяи распределения а) щах(йь ..., $ ); б) ппп($» ..., $,) 4. Пусть случайиые величииы йт, .
„С независимы и оликакозо аспрелелеаы с функцией распределения Р(х) и плотностью р(х), 'порядочив их по возрастакию, образуем «варвациоииый» ркд злдлиы ф<о < ь > ~... -" $ьо. Найти п,ютность распределенпя $ы> и дву. мерную плотность распределения ~~ю и $пь й ~ й 5, На прямоугольнике О ~ х ( а, О ~ д -" Ь случайно с равно. мерным распределением беретси точка. Доказать, что се коорди. наты (з, т)) независимы. 6. На круге ха+у' ( )гз с равномерным распределением слу.
чайно берется точка. Показать, что ее координаты (й, г)) зависимы. 7. Найти плотность распределения суммы юг+ аз независимык -Л х случайных вслишп, селя ик пчотпостп р, (х) й,е г, хи), "| рй (х)=О, х<О. $. Найти плотность распределения р„(х] суммы $г+ . + йл независимых случайных величин, каждая из которых имеет плотность .Ае ь', х «О.
9. Случайные величины $ь йз независимы и имеют олотиость а-*„ х ~ О, Найти функцию распределения з) Ь $~+Ь ' Г л а в а 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ $ 30. Определение математического ожидания Математическое ожидание Мй случайной величины $ = $(ь!), заданной на вероятностном пространстве (й, Ф, Р), определяется последовательно сначала для простых случайных величин, затем для неотрицательных случайных величин и, наконец, в общем случае. 1. Мы будем называть случайную величину $ простой, если она представима в виде в=~()=Х;(. ( ). ! где события А!, Аь ..., А составляют разбиение, т. е.
т А!Аз= З' при !Ф! и ~ А!=й. Для простой случайной ! ! величины (1) М3 определяется равенством т МВ= ~„х!Р(А!). ! 11. Для неотрицательной случайной величины й математическое ожидание определяется как предел М$=!пп М3„ (2) (конечный или бесконечный), где В„(в)1 5(в) для каждого ы ев И, $„— последовательность простых случайных величин. 111. В общем случае любая случайная величина однозначно представима в виде $=$~ — Г, где 5+=0!гр:о1, Г=1~!У!е~з». Полагаем М1= М5+ — МГ, ф аь Опгеделение мьтемАтического ОжидАния 1о1 если правая часть равенства (3) имеет смысл, т.
е. если М$+ и Мз не равны ОО одновременно. Если М3+= = М$ со, то мы говорим, что М5 не существует. Если М$+= Оь, МЬ < со, то полагаем М$= Оо. Если М$ =со, М$+(Оо, то полагаем М$= — во. Определенное выше математическое ожидание М$ обладает следующими свойствами. 1'. Свойство линейности. Пусть Мз, Мт) и М$+ Мч) суи)ествуют и с — константа.
2'огда М ($+ ч)) = М$+ Мть М (с$) = сМ$. 2, Свойство положительности. Если $ЪО, то и М" ~~ О. Если М$ и Мп суи)ествуюг и $ => и, то М$ ~ Мт1. 3'. Свойство конечности. Если Мз конечно, то и М1 5! конечно. Если ~51~~т) и МЧ конечно, то М$ конечно. Если М$ и Мт) конечны, то М(з+ц) конечно.
Эти свойства мы докажем ниже параллельно с доказательством корректности определенна математического ожидания. Здесь лишь заметим, что М$ всегда существует и конечно, когда ~ — простая, н М$ существует для всех неотрицательных С. И, наконец, заметим, что свойство 3' вытекает нз определения Мс=М$+ — М$-, М1$1= = М$++ МГ и из свойств 1' н 2'. Корректность определения Мс. Для того чтобыданное выше определение М$ было настоящим определением, нам надо убедиться в его корректности, т.
е. Не. зависимости М$ от представления (1) простой случайной величины $ и независимости предела (2) от выбора последовательности простых случайных величин 1. Простые случайные величиньь Пусть имеется два представления одной и той же случайной величины $ = Х х~1л = 2. уь1вм (4) г ь-~ л где (А~) и (Вь) — разбиения.
Поскольку А~ — — ~ А~ВА А-! прн каждом !' и ВА= )' А~ВА при каждом й и для У ! 1ба Гл. е ИАтзмАтичясков ОжидАние е ы Аг Д ВА $ (гз) = хг — Ум то !!! Р! М$ М1 = Х хгР (Аг) = Х Х хгР (АгВА) = г-! Г ! А — ~ 'Я уР(А,В„)= Еуу(В,), йгг! * 1 Доказательство свойств.
1 . Пусть случайные величины $ и !) представимы в виде (4), Так как (АгВА), Г =1, ..., вг; й= = 1, ..., п, — разбиение н для а! еи АгВА я(га) +т)(га) = =хг+уА, то 5+ч= Х Х,(хг+гг,) Г...,, откуда следует М Я + !)) = ~' ~~ (хг + УА) Р (А!ВА) = Е хг Х Р (АгВА) + и и! !П Ф + )„уА Х Р(АгВА)= ~, х,Р(Аг)+ Х,уАР(ВА)=МК+М!1. Если $ представимо в виде (1), то с$= л схг1л! и ! ! М (с$) = с М$. 2. Если $)~0, то в (1) все хг~~О, поэтому М$~)О.
Если $~тЬ то ~=!1+% — !1) и М$=-Ми+ М5 — т1)~ ) Мт), так как из я — т1~~0 следует М(я — !1))~0. П, Неотрицательные случайные величины. Если $ ~ О, то всегда сугцествует последователь. ность неотрицательных простых ~„таких, что $,(гл) 1 $(е!) прн любом в~ Й. За такую последоаателыюсть можно взять, например, „зв (б) Нетрудно видеть, что О:-= $„~~ $„+! $ и при $(га)(п Б(") <Б (гз)+— следовательно, 5,(о)ф 5(а) для любого а еи Й.
4 зО. ОпРеделения ИАтемАтическогО ОжидАния $ов Покажем теперь, что для любых двух последова- тельностей О~Я,1$, О: «1„1$ простых случайных ве- личин Игп Май= Игп Мчи. (б) Докажем сначала лемму. Лемма 1. Пусть «) и ń— простые неотрицатель- ные случайнь«е величины и $, !' $ ~ «1, Тогда !Ип Мй„«Мт!. й.+ и До к а з а т е л ь с т и о.
Пусть е > О. Обозначим Ай = =(аи $„(«и)~«1(«е) — е). Тогда А„$ (с! при и оо, сле- довательно, Р(АЕ) ~ О. Далее, нз очевидных неравенств ~„З.-5„ТА Р:(Ч вЂ” з) ТА =Ч вЂ” ЕТА — ЧТЛ й "й п й и свойства 2' математического ожидания М$„~ Мт! — ЕР (Ай) — с Р (Ай), тде число с выбрано так, чтобы «1(«е)( с прн любом «юенР, Имеем Ме„'= М«! — е — сР(Ай), а так как Р(АР) е О, то 1ип М$и~~М«! — з и-+ сй прн Люб~И е: О. Поскольку е произвольно, то отсюда получаем доказываемое неравенство. Используем теперь это неравенство для доказатель- ства (6). Пусть й„гй, т!й')~ — две последовательности простых случайных величин. Зафиксируем п«и применим к й„~5~~«Ьй лемму.
Получаем Игп Мйй~М«1йй откуда следует Игп М$й~~!пп Мни. Меняя местами ей и «1„, й+ш й-йй .приходим к равенству (б), Доказательство свойств. 1' Пусть Е~Вй ~е, Ой~«1„! «1. Тогда е««+ т)й('е+ «1 и по определению Мй+т))= Игп М($й+т1„)= Игп МЕ„+!Нп М«1,= й.йй> й-й и й +оо Мь+ М«1 104 гл, т. млтвмлтичвсков ожидлннв Если $.» 0 и с ~ О, то из $„~ в следует с$„1' св н М (с$) = )ип М (са„) = с Вт М$, = с М$.
о-т ю о.+во 2'. Из 0~$„("5 следует 0(М$„~ М5, Если 5=ать то из Ц=т)+Й вЂ” т!) вытекает Мз=Мт!+М5 — т!)» )Мт). 3'. При к» О имеем ! 51= $ и М ! 51= М$. Если 0~~(т! и Мт!<оо, то из М5 Мт) следует М$<оо. П1. Оби(ий случай. Так как разложение 5 = $+ — $- единственно, то математическое ожидание М~ = М$+ — М$ определяется однозначно, если оно существует.
Доказательство свойств. 1 . Из 5 = $+ — $- следует с5 = с$+ — со- для с > 0 и с$ =!с( ~- — !с~ ~+ для с с. О. Отсюда М (с$) =сМ$. Докажем тепсрь свойство аддитивности М ($+ ч) = Ме+ + Мт!. Заметим прежде всего,что нз равенства $ = $,— — Ь, где 5~ -=: О, ст) О, следует ~~ = ~~+ б, ~, = й-+ +б, где б ==: О. В самом деле, из равенства й= ~+— — — вытекает, что $~ — ~+ = $т — $- т 0; обозначая ~~ — 2+ = б, получаем ел =- $-+б.
Далее, из — нетрудно получить Мь = М~~ — М$т, если М$ь М5т конечны. Поскольку 5+т! =(б++т(") — Я-+ +т1-)„то из только что доказанного равенства имеем М (з + т!) = М (,'+ + т!" ) — М Я + т1 ), откуда уже легко следует М($+ ч) =Ма+ Мт). Этот вывод справедлив, когда Мв н Мт! конечны. Случай бесконечных Мй или Мч легко анализируется отдельно. 2 . Докажем, что из $» т) и существования М$ и Мт! слсдуст М~ » Мт!. Случай Мт! = — оо тривиален. Предположим, что Мт! — оо. Тогда в разложении = т)+ (о — т!) можно воспользоваться аддитивиостью математического ожидания М$ = Мт)+ М($ — т)) и неравенством МЯ вЂ” т!):-: О, Получаем М~ ~ Мт!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
