Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В. СЛУЧАНИЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1ОБЩИИ СЛУЧАИ) где сВ О и А:- Π— параметры, Г(а) — гамма-функция, называется гамма-распределением. Плотность р»(х) с а = ! называется плотностью показа)ельного распределения. $28, Многомерные распределения Часто приходится рассматривать на одном и том иге вероятностном пространстве (Я, Ф, Р) несколько случайных величин $1, $2, ..., $ . Так как множества (9» « ~ х») ~лФ, т. е. являются событиями, то и их пересел ченнс П Й»» х») ен Ф. Поэтому существует вероят- »-1 ность этого события, которая называется многомерной функцией распределения Р(»л)- х), ..., $~~«л)=Р»1... 2„(«1, ..., хл).
Многомерную функцию, распределения мы будем иногда ЗаПИСЫВатЬ ПрОСтО Р(Х), ..., Хл), НЕ уКаЗЫВая ИидЕКСаМИ $1, ..., 5л. Обозначим Л», .»„Р(«1, ..., Х„) разность и-го порядка по аргументам х), ..., х„с приращениями й), ... ..., и,. Последовательно этн разности можно определить следующим образом: Л»,Р(«1, ..., хл)= = Р (х, + й „х„..., х„) — Р (хи х„..., х„) „ Л»>»>Р(«1» хл ..., х„) =Л».(Л»,Р(х), -. > «л)) = ~Р(«1+»11» «2+»12, х,, ...° х ) — Р(«1+Ь1» «2» ° °, хл)— Р (х! ° х2 + >»2» хз, .
° хл) + Р (х1» х2» °, хл)» и т.д. В об)цем случае имеет место равенство Л», ...»„Р(х), ..., х,)= 1 Х ( — !)"+"+'"+'"Р(«1+ВА... х,+В Ь,). О,... В,-О где суммирование ведется по всем 01 = О и !. С помощью РВ, ...1„(х), ..., х ) можно вычислить вероятность попадания в любой прямоугольник вида з м, многомвгныа глспгвдвлвния аз 'хр» Ь«»х~+йь (= 1, ..., и:- Р(х; <5- х,+йь 1=1, ..., п)=йь, ...ь,Р(хь .. „г„). (121 Доказательство формулы (12) можно провести последовательно: Р (х~ < ~~ «» х~ + йь се» х...,, $„«» х„) = =РД~«»х~+йь 6зб хь ' . 5а» х~) — Р(~ » -, ..., ~.» .) =й, Р, Р(х~ < ~~ «»х~+йь х, < $2«»х~+й„~,«» т„~ »х )= = Р (х~ < $[»«х~ + й, > 5з«»х, + йе, ~з» х...,, $» х )— Р (х! < $~ «»х! + йь ьз»«хм ° т $л»«ха) =- = Ьь, (йь,Рт, ...
е, (хь хь ..., х )) = =Ьл,ь,ре, ...; (хь х, ..., х„); и т.д. Из формулы (12) и из определения многомернон функции распределения Р(хь ... х„) вытекают следую- щие свойства (которые доказываются аналогично одно- мерному случаю): 1) Р(хихь ..., х„) по каждому аргументу не убы- вает и непрерывна справа; 2) Р( — оо, х„..., х„)=Р(хь — оо хэ ° хл)= = Р (хо ..., х„ь — оо) = О; 3) Р(+ оо, '+ оо, ..., + оо) = 1; 4) при любых й, =-.ю О, ..., й„~» О й», „.
ь Р (хо ..., х„) ~~ О. Здесь, как и ранее, Р( — о, х„..., х„) = 1пп Р(хь х„..., х„), Х~ -У сю Р (+ оо, х„..., х„) = 1пп Р (хь х„..., х„). Х~.++:ю Любая функция Р (х„..., х„), удовлетворяющая свой- ствам 1) — 4), есть многомерная функция распределения некоторых $„..., $„. Пример функции О прн х~+хз<1, 1 при х,+х, ~1, ва гл. е случАиные ввлнчины говщии случАи) (13) для которой выполнены свойства 1) — 3) н пе выполнено свойство 4) (так как ЬггР(0, 0) = Р(1, 1) — Р(1. 0)— — Р(0, 1)+ г" (О, О) = — 1), показывает, что свойство 4) не вытекает из первых трех.
Из формулы (12) н свойства счетной аддитивности вероятности следует, что Г.,;- „(хг... „х )=Р„, „, г (хг, ..., х,„, +Со, ..., + во). Назовем о-алгебру множеств и-мерного пространства Гс", порожденную всевозможными и-мерными прямоугольниками вида а, ~ х; . Ьг, г = 1, ..., и, боре- левской и будем ее обозначать Я". Множества из Я" также будем называть борелевсгсими.
Как это было и в одномерном случае, многомерная фуггкцня распределения Гг,, „, г (хг, ..., х„) позволяет нам при помощи формулы (12) вычислять вероятности событий вида вен В, где 5=(Ег, ..., 5„),  — прямоугольники и конечные пх суммьг. Лналогично тому, как мы это делали в 5 27, доказывается, по с помощью таких вероятностей одиозна гно определяется вероятность события Ч ~ В дня всех Вен Я". События (нк ~(оэ)ен В), где ВенЯ", образуют в-подалгебру Ф;., „,г о-алгебры лг. Мы буден называть Фг, „, г, в-алгеброй, ггорожденной случайными величинами сг, ..., я„.
Функция Рг(В)=Р(~ь= си В), определенная для всех В внЯ", называстсп и-мерньгм распределеноея вероятностей случайного век. тора $ =(ььь ..., Е„). Дггскретное многомерное распределение задается ко. нс:ным илн счетным набором значений х = (хг, ..., хл) п неотрицательных р(х) с ~ р(х) = 1. Вероятно'ть Рр (В) = Р 5 г= В) определяются в атом случае как ~„р (х). Другой частный случай дают распределения с плотносгью. Мноеомерной плотностью распределения ра(х), х =-. (х,, х,) называется такая функция, что Рг (В) — Р ($ ен В) — ~ рг (х) г(х, где справа стоит и-мерный интеграл по области В. Интегралу справа можно придать смысл при любом Вен Э 2В. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ неЯл, поэтому формула (13), вообще говоря, действует при всех В ее Я".
Из определения плотности р(х) следуют ее свойства: Р(х)~О, ~р(х)1(х=~ ... ~Р(х)Их=1. (14) Фупкпия р(х)', удовлетворяющая (! 4), может быть плотностью некоторого распределения. Из определения плотности вытекают следующие ее связи с функпией распределения: Г1, ... 1„(хь ..., х,)= х хл рл,,„, 1„(и1, ..., ил)йи~ ... 1(ал, длР(хь ° ° ., хл) Р(хн ° * ° > х„) дх дх В точках непрерывности х = (хь ..., х„) плотности Р(хо хе. ° . °, х,) имеет место равенство )а(х1 < Ь < х, + йхо = Р(х„..., х„) Ьх, ... Лхл+ о(йх1 ... Ьхл), п1ах Лх1-л О. Примером многомерной плотности служит плотность р(х) равномерного распределения на области 5л:-Ял конечного п-мерного объема 15(, задаваемая равен. ствамн 1 р(х) = 151 — при хя5, О при х Ф5. Вероятность РД~В) в этом случае определяется от.
ношением объемов В(15 н 5: ,Ц~В) 1ь'1 По этой формуле вычисляются так называемые геомет. рические вероятности (см, $ 5). эв тл. а случлиные Величины (Овщии случАЙ) 9 29. Независимость случайных величин Случайные величины ~ь См ...„В, называются независилыжи, если независимы порожденные ими о-алгебры тз' ' ' '' сл' Это определение эквивалентно тому, что для любых В; е= Я л РД,ЕЕВИЧ $ ел В ) =П РДсепВД (15) с-а «!астным случаем (15) является равенство РЕ, .
„6„(хь ..., хл) = РЕ, (х1) ... Р6„(х„), (16) справедливое при всех хь Из (16) нетрудно установить, что прп всех х; и 6~ ~ 0 лл, .„А.рс, „, 6„(хь °, хл) = Ц плат'е~(хю), (17) ~го эквивалентно (15) для В;=(хьх~+6~1. Как уже отмечалось выше, значения вероятности на всех интер. валах однозначно определяют ее на борелевских мио ° жествах, поэтому из справедливости (17) вытекаетспранедлпвость (15) для любых В,а= Я. Таким образом, равенства (16) или (17) можно взять за определение независимости случайных величин $ь ..., Сл, Если случайные величины дискретны, то из (17) еле. дует, что за определение независимости в этом случае можно принять равенство Р Д; = хь 1= 1, ..., Л) = Ц Р (4~ = х6), (18) справедливые при всех возможных хь Для распределений с плотностью ра, „.6 (хп ..., х„) за определение независимости можно взять равенство Р6, „,6„(хь ..„хл)=Р6,(х~) ...
Ре„(хл), (19) так как из (19)„в силу (13), вытекает (15), а из (17) следует (19). Ь ЗЗ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 97 Если $1...,, сл независимы и д1(х) — борелевские фуНКцИИ, тО СЛуЧайНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ д1 Я1), ..., длЯ„) также независимы, так как ФЗ1 (ЬВ '— = ФЬ1. Аналогично можно определить независимость векторов 51=($„, ..., $1,) как независимость порожденных ими о-алгебр Ь1' '''' ~Л' где,Фч,.=Ф~„...,Т,.„. Иначе это определение можно записать в виде равенства л Р Д1 еи В„1 =!, ..., и) = Д Р Д~ ~ В1), 1 1 справедливого для любых борелевскнх В; ЕЕ Я'1.
АиалоГИЧНО, ЕСЛИ $1,, $л НЕЗаВИСНМЫ, у1(Х) — бОрЕЛЕВСКИЕ функции, отображающие Я1 в )г'1, то векторы д1Д1), Ь1($1),, дл(Чл) таКжЕ НЕЗаВИСИМЫ. Формула композиции. Пусть 5 и т) — независимые случайные величины, ре, р„— нх плотности. Плотность совместного их РаспРеделениЯ Равна Р1ч (х, У) = = рл(х) р„(у). Функция распределения суммы 5+ц равна следукнцему интегралу: Г1+ч(г) = Р ($+ 11 с'.. х) = ~ ре(х) р„(у) г(хну. (20) л+у Сл Интеграл в (20) можно вычислять как повторный (для непрерывных плотностей — зто факт из анализа, в общем случае — следствие теоремы Фубини, доказываемой в теории интеграла Лебега), поэтому ОО л-к 00 "Е1ч(х)= ~ Р~(х) г(х ~ Рч(У)ЙУ= ~ Рч(х — х)РЕ(х)дх — л> — Ю -л ОО л л сл ~ рг(х) ~ р„(у — х)1(удх= ~ 1(у ~ р (х) р„(у — х)йх.
Формулы ре+„(г)= ~ Рч(г — х) р (х)йх 98 ГЛ. б. СЛУЧАИНМЕ ВЕЛИЧИНЫ (ОВШИИ СлтттАИ1 Р(+ч(з)== $ Рй(»)ро(в»)'™ ФФ носят название формул тсомлозиции или свертки. С по. мощью их мы выражаем плотность рк+я(х) и функцию распределения Рй+„(г) суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения ела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
