Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рассмотрим а независимых испытаний с разными вероятностями успеха в раз. иых испытаниях. Обозначим р~ вероятность успеха, д~ = 1 — р~ — вероятность неуспеха в 1-и испытании. Обозначим распределение р — числа успехов при п испы. таииях — через Р(р=т)=Р„(т)=Р,(т; р1 * ° ° > рл) (б) ~Такую схему независимых испытаний с разными р~ называют схемой Пуассона. Схема Пуассона прн р~ ма р превращается в схему Бернулли, Вероятности Р(и=ля $ та теОРемА пуАссОнА в схеме Пуассона не записываются в комнактномвиде, аналогичном (1).
Например, Р Ь О) =ЧАВ ° ° ° Ч~» Р(и=1)=РФЕ ° ° ° Ч +Ч1ргуз ° ° ° Ч»+ ° ° ° +Ч1уз ° уч-~рн. Р(р=н)=Р1РВ" Р. Р(» = т) О при т < О и т > а. Обозначим П (т, а) = —, е (6) Р Ь ~ В) — Х П (, а)! < К Р',, (7) т еде а = р, + р, + .. + р„. Доказательство. Формула (6) задает вероят. ности П(т, а) более общего, чем мы рассматривали до сих пор, распределения Пуассона, имеющего положи тельные вероятности прн т = О, 1, 2, ... такие, что ~ П(т, а) 1. Докажем, что левая часть неравен т 0 ства (7) не превосходит 1'„, где У„= — ~ ! Р„(т; р„..., р„) — П(т, а)(. 1 ш О Разобьем все неотрицательные целые числа т на двв множества.
Положим т ~ В+, если Р„(т) =: П(т, а), н т ев В в остальных случаях. Обозначим (Р„(т) — П(т, а)), е~яа+ (Р„(т) — П(т, а)). Имеет место Теорема 2. В схеме Пуассона для любого натурального н, любых вероятностей рь рз, ..., Р„и любого сислового множества В имеет место неравенство еа ГЛ.
4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ Так как )'., Р„(т) =',)"„П (т„а) = 1, то И$ м О= )„, (Р„(т) — П(т, а)) = ~, + Я У„вЂ” ~~» ~ Р„(т) — П(т, а)~=~~» С другой стороны, для любого числового множества В имеем ~,')' (Р„(т) — П(т, а)) ~( ~(гпах1,», (Р„(т) — П(т, а)), ~ Я (Р„(т)— 1ееВЛВ+ $еюВДВ -П(т, а))~1~ Е'=К„, Итак, для доказательства (7) нам достаточно доказать, что р ~» '»' рз (8) Проведем доказательство по индукции. При а=1 и р1 = р имеем ! Р~ (О; р) П(О; р) ~= е Р+ р — 1, ! Р»(1' р) — П(1; р) != р — ре-Р, ~Р»(т; р) — П(т; рИ= г' е, т~~~~, откуда получаем СО У» — ~~» ) Р, (т; р) — П (т, р) ~ = 1 а О ПФ -т( — 1+Р+ '~р-р '+~~ ')= = р (1 — е Р) <~ р', (9) так как 0~1-е-"-.~,х при х,, О. 5 М.
1ЕОРЕМА ПУАССОНА далее воспользуемся тем, что по формуле полной вероятности Р„(т; р„*... Р.)=Р. (т р,, р. )Р (О; р„)+ +Р„,(т — 1; р,, р„,)Р(1; р„) = ~', Р„, (т — й) Р1 (Й; р„), (10) и при любых а1)0, ао)0 П(т, а, +аз) = ~' П(т — й, а,)П(й, ао). (11) Обозначим а„= Х ро, А„= ) ро. Предположим, что А-1 " О-1 1' л-1 ~~ Ал-1. (12) Применяя формулы (9) — (12), оценим 1Рл: — ~Р„(т) — П(т, а„)1= ~~~~ 1~ Р„, (т — й) — П (т — й, а„1) 1 Р1 (й; р„) + лр-О А-О +~~ ",1 ~~1'П(т — й, а„д)Р (й; р ) — П(й, р„))о: лр-О А-О А=.У +р <А 11ЕО ЕМа доКаэаНа. ледствне. В схеме Бернулли при либоох и и р ! Р1р В1 — ~ п1~, ~1~~рр' рпцз ~бе а=ар, то гл с пгвдсльные твоиамы а схеме вегнклли 0 2!.
Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа 1)пномпальное распрсделение (1) случайной вели« чины О имеет М)х=ар и О)х = пру (см. задачу 3 в гл.3). Обозначим о= ~/прд среднее квадратическое отклонние. Доказываемая ниже теорема даст асимптотнческую формулу для биномпальной вероятности (1) прн р, не близких к О или 1.
Т е о р е м а 3. (Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа.) Если в схеме Бернулли о=~/ирц оо, го для любого С' О равномерно ио всем !х) Саиди — ир х= где иг — целые неотрицательные числа, в Р~ а "и =х~= е 'а(1+6(1)). (13) Доказательство, Пусть т = ар+ хо.
Оценим логарифм вероятности Р ( п) Р 1 ридди м <и — пр 1 а! а ) т (и — т)! равный !од Р (р = т) = 1од п ! — 1оп т! — !ои (п — т)1 + + т 1од р + (и — т) 1о и д, Воспользуемся асимптотической при и-~со формулой Стирлинга 1опа! =и !ода+ 1ои у'2аа — и+ 0„, где 0„= О ~ — „). Обозначим й=-и — т =ад — хо. Из условия теоремы следует, что т =- ар (1+ — ~-+ ос, хд х й=ид ~1 — — "~-+ оо, поэтому можно применить фора ) мулу Стирлнига для оценки !ода!, 1од аН, 1оий!.
Имеем !од Р(и=т)=а!оип — т !опт — й !од й+ + т !оК р + й 1од ч + з 1ой — + ΄— 0„, — Оэ. (14) ФМ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРВМА 71 Так как !оа — =!оа — !од~1+ — ) — !од(1 — ) и 1 / хдч / хЛЪ тй "влч 1А а3 ~ а1 =2!од — +0( — ), -=ОЯ а а ' и а' ' Ах ( +ха) О ~аг), — =0( —,),!од(1+е)=0(е), е-~О, то на (14) получаем 1од Р(1А=1и) = = — гп! од — — й 1од — + 1од — + 0( — ), (1б) си й 1 /11 пр аа а З/2п ~а / Далее, из (15) следует 1он Р(р = 1и) = — (пр+ха)!оа (1+ — ~)— — (пв — ха) 1од(! — — )+!он + О~ — /1= хл~ 1 /1~ / ~ь 1 / хд х'д* = !оа — — (и р + ха) ~ — — — + 0 ~ — )1— а ь/Б ~.4- — ( д —. )~ — — — —,+о( —,))+о( — )— 1 х' /1~ =!оп — — — + О~ — ).
а З/Б 2 ~а)' что и доказывает асимпхотическу1о формулу (13). 5 22. Интегральная предельная теорема О Муавра — Лапласа Для приближенного вычисления вероятностс!! Р(п1~.."=- ~(1А Ях) можно ПРименЯть следУюшУю теоРемУ. Т е о р е и а 4. (Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа.) Прн а = 1/прд — са равномерно по — аа:6,а <Ь~~ж Ь х' Р (а( ' ~ .-:Ь~ — = ~ е з с~х-АО. (16) а Д о к а з а т е л ь с т в о.
Предположим сначала, что !в!~(С, !Ь1~(С, Пусть т, =1пр+а4прс~ ~, гпе— =!пр+Ь 1(пру 1 где )х! — такое наименьшее целое 72 гл. к пгвдвльныв твогвмы в схсмс вегнклли Справа в (18) стоит интегральная сумма, сходящаяся 1 Г з равномерно по а и Ь прн о — ~ со к интегралу=~ е Нх; ,Г2 —. ') отсюда получаем утверждение (16), когда (а( = С, ~Ь| ( С. Снимем теперь ограничение ~а( = С, ~Ь~ =. С. Обозначим $„= . Имеем равенство Р ( ~ ~„! ) С) = 1 — Р (! В ~ ( С). (18) Как известна из анализа, хР = ~е 'Нх=1, ! у~за поэтому с х' = ~е 'г(х=1 — — ~ е ' Нх. 1 ~/2п ~ 1/2л -с ~х1> с Из (19) и (20) получаем (20) и Р (~$„~) С) — — ~ е Нх 1 ь ~>с с х Р ( ~ $„~ ~ ~С) — = ~ е а и'х . -с (21) число, что х~() х(, а (х) — такое наибольшее целое число, что [х) ~!.;х.
Тогда Р(а» ~":"~'~~Ь~= ~~) Р(р=т), (17) и лВ~ Обозначим т=ир+х ь/прц, тогда Лх, = х„+~— — х = 1/а. По локальной предельной теореме запишем (17) в виде Р(а( н "Р (Ь|= Х 1 е 2 Лх (1+Ой) (18) х 23. ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ (23) Из неравенства Ь х Р($„ее[с, ЬИ вЂ” = ~ е ' Ых (Р(1$а~>С)+ а х' В х* += ~ е ' 0х РД ~[А,В1) — =~е ' дх г х ! 'я х з (— ~х~>с А получаем, в силу (22) — (24), что при и » ~па =-- = гпах(пь пх) а х' РДае=[а, Ь)) — = ~е ' ах - а ~/2п а равномерно по всем а ( Ь.
Теорема доказана. $ 23. Применения предельных теорем Предельные теоремы Пуассона и Муавра — Лапласа применяются для приближенного вычисления всроягностей Р(1х=т) н Р(т~(((х~~ах) в схеме Бернулли Пусть задано е > О. Тогда найдется такое С, что — е Нх< —. (22) Ч/2п .) 8 ~ ~>с Зафиксируем его. По только что доказанному найдется такое пн что для всех и ~~ п1 с Р (~ ~„! ~ С) — — [ е ' г(х < †. -с откуда, в силу (21) и (22), для тех же и ~ ~п~ имеем РЦР„!>С)~ — ',. Берем теперь любой интервал [с, Ь1 и обозначим [А, В1 = [а, Ь)Д [ — С, С1. Так как — С ~ Л ( В ~ С, то, как мы уже доказали, существует такое пн что для всех и ) пх имеет место неравенство в РД„ЕЕ[А, В1) —,— ~е '" г(х < —. (24) А 74 ГЛ.
Е ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ ВЕРНУЛЛП при больших и. Приближение, даваемое теоремой Пуассона, называется иуассоновсаим. Приближение, получаемое с помощью теорем Муавра — Лапласа, назылл 1 2 вается нормальнььн, так как функция =е есть ч/за плотность нормального распределения (см. $31). Для Л1 распределения Пуассона †„, е ' и интеграла л и' Фп(х)= = ) е Ии, ,е 1 называемого интеграла.ч Лапласа, имеются таблицы. Пусть, например, нам нужно вычислить вероятность Р(гп, < р ~ай) в схеме Бернулли с и независимыми испытаниями и с вероятностью успеха р.
Вычислим т, — пр т~ — ир Хлл = — э Х~л, н положим 'Ъ'пРЧ чГ"РЧ 1 Р (~п, »- р » (ль) = — ~ е с(х = Фп(хт,.) — Ф„(хт,), 1/2а (26) Прн атом мы допускаем некоторую погрешность. Можно оценить зту погрешность, но то4ная ее оценка очень сложна, а более простые оценки слишком грубы, Эту погрешность можно значнтсльно уменьшить, если в правой части приближенного равенства немного изменить пределы интегрировании, полагая Р (ш~ л Р ~ иел) Фп (хт +н2) ФВ (хлл 1и)~ (27) пь + 1/2 — пр т~ — !/2 — пр гдех,= —, х ч7пррч ' ' "' апре Из табл. 6 видно, что приближенная формула (27) дает значения вероятностей Р (т~ »»р » ~иь) с точностью до трех-четырех знаков после запятой даже прн и порядка нескольких сотен.
Обычно применяемаяформула (26) такой точности не дает. % га пРименения пРедельных теОРем 75 Таблица 6 ани я=!00; р 05 0,9648 0,9545 0,7287 0,6827 0,1832 0,1573 40 60 45 55 55 65 я = 300; р = 0,5 я 500; р 0,5 230 270 240 260 260 1 280 я 1000; р 0,5 470 530 0,9463 ! 0,9422 ! 0,9463 0,03095 1 0,02882 ~ 0,03097 л = 100; р = 0,25 я=300; р=0,25 а =500: р = 0 25 Значеннп веРоЯтностей Р (аи! ~ !а ~ иаг1 ~', С~~Р (! — Р)" ш юФ~ в схеме Бернулли.
135 140 160 15 20 30 60 70 80 105 115 135 165 160 180 35 30 40 70 80 90 145 135 155 Точное энаееиие 4 рму !г! 0,9267 0,7747 0,1361 0,9334 0,6523 0,1950 0,9852 0„7967 0,1492 0,9615 0,5366 0,2510 0,9659 0,7219 0,1621 Нормальное прнб. ижсаие по Оорэаулс <вй 0,9!67 0,7518 0,1238 0,9264 0,6289 6,18! 9 0,9791 0,75!8 О,! 238 0,9545 0,4950 0,2297 0,96!1 0,6983 0,1499 Утоинеаиое нормальное приблианенн по Формуле !гв 0,9о43 0,7287 0,1831 0,9265 0,7747 О,!361 0,9333 0,6523 0,1946 О о845 0,7960 0,1492 0,9612 0,5366 0,2545 0,9658 0,7218 0,1624 ГЛ. Ф ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ Задачи 1. В большом городе в год рождается 20 000 детей. Счнтая вер< к;ность рождения мальчика р = 0,51, найти такое чнсло й чтобы с егроитностью 0,99 можно было утверждать, что среди рожденных в течение года в атом городе детей чнсло мальчиков превышает чпс.яо девочек не менее чем на Е 2. Сколько пало произвести бросаний правильной монеты, чтобы с вероятностью 0,99 относительная частота выпадения герба отличала,ь от 1/2 не более чем на 0,01? Еь В таблице случайных чисел каждая цифра появляется нсзаее имо от других с вероятностью 1/1О.
Сколько надо набрать таких сл1 ~айнык чисел, чтобы с вероятностью 0,999 среди ннх появилось и з,снес 100 нулей? 4. В большом городе в среднем в течение одного дневного часа по -упает один вызов на скорую помощь. С какой вероятностью за 3 дневных часа поступит более !О вызовов? 5. Какова вероятность, что в группе, состоящей нз ЗО студентов.
шо, о не родился в январе месяце? Вычислить зту вероятность по то ной формуле н по пуассоновскому приближению, Глава 5, ЦЕПИ МАРКОВА й 24. Марковская зависимость испытаний Очень часто реальные случайные явления можно изучать с помощью следующей модели. Пусть состоянн е некоторой системы описывается точкой фазового пространства Е =(вьем ..., е„). В дальнейшем точки нз Е будем обозначать просто числами 1, 2, ..., г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
