Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 7
Текст из файла (страница 7)
С каждым событием А енл!Г можно связать случайну!о величину ~ 1, если !В~ Л, У =-У (!В)= ~ О, если !В~ФА, называемую инд11кпгороз! события А. Индикаторы удовлетворяют следующим легко проверяемым свойствам: тл =-!!!), 1!1 — 11 1АВ =тАга, 1А = 1 — тА. (1) Если собьпня А1, ..., А„попарно несовместны, то нетрудно установить, что й (АА' 1' ,А Выведем формулу для пнднкатора объединения () АА Ь-1 л1обых событий.
Так как () АА — — Д Ам то учитывая свойства (1), мы имеем — У вЂ” =1 — 1 К В 11 А и А А= 1 И 1 1„=1 !.! Аь ь=! =-1 — Ц1А =1 — Ц (1 — ~А ), ь-! В-! откуда следует с! ь-! + ) ~ ~ЛАА!А!В ' ' + ( 1) (А!А!'" АВ (2) !<А<1<в<В Пусть д(х1, ..., х,) — числовая функция от числовых аргументов х1, ..., х„а $» ..., $,— случайные величины. Тогда сложная функция т) = т1(н) = д($!(В1), е1(!В), ..., е,(!В) ) также будет случайной величиной.
В частности, так определяются случайные величины. Г Г равные сумме ~ 4 н произведени!о Ц5А случайных А 1 А ! 5 !2. СЛУЧ!АПНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ИНДИКАТОРЫ 43 Обозначим х! ( хе ~ ... ( х» всевозможные значения, которые принимает случайная величина ~. С каждой случайной величиной й можно связагь разбиение се»., состоящее из событий А! = (вн $(о!)= х,;). В самом деле, так как х!-ьху, то А;А! =!с для е-ь); сумм: ! А!+А»+ ... +А» есть достоверное событие Р, так как х!, хь ..., х» — есе значения случайной величины 1. Разбиение аь порождает алгебру событий Фм которая состоит из событий, представимых в виде Д ее В) = (кч й (со) ее В), где  — любое числовое множество.
Разбиение сее и алгебру Фй мы будем называть порожденными слу !айной величиной $. Любое событие Д ~ В) представимо ввиде суммы ~', Ао где суммирование ведется по тем е, для которых х; ее В. Случайную величину $ можно выразить с помощью индикаторов разбиения А!+ ... +А» — — ьа через сумму ь ь (ее) Х х!) А! (о') (3) так как левая и правая части (3) принимают одно и то же значение х! при ео ы А!. Законом распределения случайной величины й мы будем называть вероятность Р Д еи В), рассматриваемую как функцию числового множества В. Закон распределения $ определяется значениями х!, ха, ...,х»,которые принимает $, и вероятностями Р Д = х!) этих значений. Обозначим Р($ = х;) = рь Тогда закон распределения РД ен В) можно определить с помощью табл.
2, верхний ряд которой состоит из различных Таблица 2 Закон раснреяеленнн случайной нелнчнны 44 ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (КОНЕЧНАЯ СХЕМА~ чисел хь а числа нижнего ряда удовлетворяют условиям Р~ ~(). Х Рс= т (4) С помощью табл. 2 можно определить вероятность Р ($ ~ В) = ~ рт (5) а~е-В для любого числового множества В. В теории вероятностей часто говорят о случайной величине $ с законом распределения (5), не указывая ни вероятностного пространства (Я, Ф, Р), ни функции Й(от), которая задает случайную величину.
В этом случае предполагается, что существует какое-то вероятностное пространство ~Я, .Ф, Р), на котором можно определить функцию $.= $(со) так, что табл. 2 будет задавать ес закон распределения. Выбор вероятностного пространства каждый раз определяется существом задачи или простотой получающейся схемы, Простейшим вероятностным пространством, связанным с законом распределения (5), будет множество элементарных событий Й = (хь ха, ..., ха) с элементаРными веРоЯтностями р(х,) = р» Случайная величина в определяется тогда функцией В(х;)= хь Закон распределения индикатора !и события А оп.
ределяется табл. 3. Каждой случайной величине соогветствует закон распределения. Один и тот же закон Таблица 3 Закон расиределеииа индикатора т о 1 — Р (А) ~ Р (Л) распределения могут иметь разные случайные величины. Например, если события А и В разные, но Р(Л)= Р(В), то разные случайные величины 1и н Га имеют один и тот же закон распределения.
Закон распределения ~ иногда называют кратко просто законом илн распределением. Законом распреде- ления случайной величины иногда называют задающую его таблицу 2. Примеры законов распределения. 1. Биномиальнь~й закон для числа успехов р при н независимых испытаниях в схеме Бернулли: Р(р=и)=Сьр (1 — р)" ь', и=0,1, ..., н (см. Ц 1! н 12, пример 1). 2. Гипергеомез рическое распределение — распреде.
ление числа белыл шаров $ в выборке без возвращения объема и из уриьп содержащей М' белых и )Ч вЂ” М черных шаров (см. 3 4, пример 3 и 3 12, пример 2): С'мСй "4 Р(з= ) = „, =б~,1, ..., 1~(~, М). 3. Равномерное распределение на (1,2, ..., Ф): Р($=и)= —, и=1,2, ..., У. ф 13.
Математическое ожидание Пусть вероятность Р на конечном вероятностном пространстве (11,,Ф, Р) определяется с помощью элементарных вероятностей р (м), Математическое ожидание случайной величины 5= 5(а) обозначается М$ и определяется как сумма МВ= Х $()р(0.
(6) Математическое ожидание в называют иногда средним значением й или просто средним $. Из этого определения вытекают следующие свойства математического ожидания: 1) М/л = Р(А). В самом деле, М1л — К Гл(м)Р(м) = Х Р(гь)=Р(А). (7) 2) Аддитивностьч М($+Ч) М$+ МЧ. 4я гл, к случАиныз величины (коначнля схзмл! Из определения М К+т1) получаем М и+ 1) = .'Е, (В ( )+ 1( )) р( )- = Е й(в)р( )+ Х т1(в)р(в)=М$+Мт). Из свойства 2) нетрудно по индукпии вывести свойство конечной аддитивностиматематического ожидания: М (з! + ...
+ ~„) = М~! + ... + М~„. (3) 3) Для любой константы с М (с$) =сМ$, Мс = с. Это свойство легко вытекает нз определения М$. 4) Если $ '= !1, то МЕ ) М!т1. Если $ ~ 0 и М$ = О, то Р Д = 0) = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. В сум ме М ($ — !1) = ~, (й (в)— — !(в))р(в) при я ==!Ч все слагаемые неотрацательны, поэтому М($ — т))'=зО, откуда по свойствам 2) и 3) вытекает М~~~Мт1, Если ~~~0 н Мг,=О, то при любом в ез Р з (в) р (в) = О, откуда из р(в) > О следует 3 (в) = О. 5) Мигел!атическое ожидание $ выражается через закан распределения случайной величины $ формулой Мя= Х х!Р(з=х!). (9) Доказать (9) можно с помощью представления в вплс суммы (3) е= Х ХАГ-.1, ! Ф свойства аддитивности (8) и свойств 1) н 3): Мз= ~ х,.М7О,,1 = 2, х,Р(~=х!), ! ! ! Пусть д(х) — некоторая числовая функпия.
Подставляя вместо х случайну!о величину й, ь!ы получаем но. вую случайную величину ц = дД). Вычислить М!1 мож. ио или исходя из определения, илн с помошью закона $ !а мАтемАтическое Ожилл!!ие распределения т) илн с помощью формулы Мч = Ма (В) = )' й'(х!) Р (В = х!), которая доказывается так же, как и (9), Прн этом надс воспользоваться равенством й (В) = Х й (х,) 1(а- д. л=! Полагая й!(В) = В", мы получаем из (1О): А МВ"= Х х,"Р(В=х!). ! Математическое ожидание МВ" называется и-м момен том (или моментом п-го порядка) случайной вели чины В (или ее закона распределения).
Лбсолютныл и-м моментом называется М1В ~". Обозначим МВ=а Центральным моментом и-го порядка называется М( — а)' а абсолютным центральным моментом и-го порядка— М~ — а 1', Центральный момент второго порядка называетс! дисперсией случайной величины и обозначается 0В= =М( — а)'. Корень квадратный .ф0Виз дисперсии на зывается средним квадратическим отклонением (нл! иногда стандартныл! отклонением). Дисперсия обладаст следующими свойствами: 1) 0В Мьз (МВ)г Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем 0В = М ( — М В)'= = М (В' — 2$$ (В ° МВ) + (МВ)з) = МВ' — 2 МВ МВ + (МВ)' = МВА — (МВ)' 2) 0В~~О и 0В=О тогда и только тогда, когда су ществует такая константа с, что Р(В=с) =1.
Следует из свойства 4) математического ожидания так как 0В=М( — МВ)' и ( — МВ)'~ О. 3) Для любой константы с 0 (сВ) = '0В„0 (В + с) =- 0В. Следует из определения и свойства 3) математичс ского ожидания. Многие известные в анализе неравет!Ства для сум! т! интегралов широко применяются в 'теории вероя! 40 ГЛ. 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1КОНВЧНАЯ СХЕМА1 ностей, причем в этих неравенствах используется понятие математического ожидания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
