Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если события А и В таковы, что Р(В) > О, то существует условнач вероятность Р (Л ! В). Б случае, когда Р (Л! В) = Р (А), мы говорим, что событие А яе зависит от события В, Если и Р(Л) > О, то в этом случае и нз независимости А от В следует независимость В ог А, т. е. понятие независимости Л 0 В симметрично. Из $9 нвзависимость сОБытии теоремы умножения вероятностей (3) следует, что для независимых событий Л и В имеет место равенство Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Это приводит нас к следующему определению независимости. Определение 3, События А и В называются независимыми, если Р(ЛВ) = Р(Л) Р(В). (8) Если равенство (8) нс выполняется, то события будем называть зависимыми. Это определение уже не содержит ограничений типа Р(А)>0. В частности, если Р(Л)=0, то нз АВС:-А следует, что н Р(АВ)=-0, а тогда, в силу (8), А и В независимы. Из определения (8) следует Р(А) = Р(А (В) и Р (В) = Р (В ~ А)„если зги условные вероятности существуют (т.
е. Р(В) > 0 и Р(А) > 0 соответственно). Обычно независимость А и В, которую иногда называют теоретико-вероятностной, илп статистияескои, независимостью (в отличие от причинной независимости реальных явлений), не устанавливается с помощью равенства (8), а постулнруется на основе каких-либо внешних соображений. С помощью же равснства (8) мы вычисляем вероятность Р (ЛВ), зная вероятности Р(Л) и Р(В) двух независимых событий. При установлении независимости событий Л и В часто используют следующий принцип: события А и В, реальные прообразы которых Л и В при шнно независимы, независимы в теоретико-вероятностном смысле. Реальный смысл этого принципа можно связать со свойством устойчивости частот.
Пусть при У наблюдениях Ж(Л), ))((В), М(АВ) — частоты событий А, В и АВ. Так как нз устойчивости частот следует — -"= Р(А), —,, ~ Р(В),, = Р(АВ), У(А) М(В) Л'(АВ) — ж Р(Л(В)= Н (АВ) Р (АВ) в'(В) Р (В) то нз независимости событий А и В, т. е. из Р(Л(В)= = Р(А), вытскает Ж (АВ) У (А) в' (В) М Зя гл.
а условпыв Вегоят!юсти. Нвзхвиснмость или, что равносильно, .у (Ао) У(А) й ~Д3) У Ж Ф Свойство (9) для причинно независимых реальных событий Л н В установлено многовековой практикой че. ловека. Это и позволяет нам сформулировать приведенный выше принцип.
Надо отметить, что этот принцип пи в коем случае не является теоремой. Так как он сформулирован не в терминах математической модели, то он и не может быть теоремой, И, конечно, нз теоретнко-вероятностной независимости событий А н В не следует причинная независимость их реальных прообразов Л и В. Следующий пример показывает, что независимость может исчезнуть, если незначительно изменить вероятностную модель. Пример 4. 1'!з колоды в 52 карты (состояпгсй нз 13 карт каждой из четырех мастей) случайно вынимаегбя карта. Рассмотрим собьггня Л =(вынут туз) и В = = (вынута карта бубновой масти).
Тогда событие АВ =. =(вынут туз бубновой масти). Поскольку в этом случае Р (А) = 4/52 = 1/13, Р (В) = 13/52 = 1/4, Р (АВ) = 1/52 = Р (Л) Р (В), то события А и В независимы. Если же колода карт со. держит еще и джокер, то А и В станут зависимыми, так как Р(Л)=4/53, Р(В)=13/53, Р(ЛВ)= — 1/53 н Р(ЛВ) ~ Р (х1) Р(В). Понятие независимости двух событий распространяется на случай нескольких событий. Определение 4. События Ль А,, ..., А,, называются незпвасимььин, если для любых 1 ~ 1~ ~ !э.с.... ...
~1„, =- и, 2 "-= ги п, выполняются равенства Р(Л;,Л~, ... А~ )= Р(А~,)Р(А,)... Р(Л~ ); (1О) в противном случае события называются зависимымп. Независимость нескольких событий называется иногда независимостью событий в совокупности, з м независимость хлгввг и е.алгвв зз Из определения 4 сразу следует, что события любого подмножества А>а Абе ..., А>, независимых событий Аь А,, ..., А„также независимы.
Нижеследующий пример показывает, что независи- мость событий Аь Аз, ..., А„ в совокупности в более сильное свойство, чем попарная их независимость. П р и м е р 5. Пусть из чисел 2, 3, 5 и 30 выбирается одно число, причем каждое из чисел может быть вы- 'брано с вероятностью 1/4. Обозйачнм событие Аз = '= (выбранное число делится на й). Легко видеть„ что события Аз, Аз, Аз попарно независимы, но зависимы 'в совокупности, так как Р (Лз) = Р (Аз) = Р (Л,) = 1/2> Р (АзАз) = Р (Аз Аз) = = Р (АзЛз) = 1/4 н Р (ЛзАзАз) = 1/4. Из определения 2 вытекает следующее свойство ус- '.ловных вероятностей. Т е о р е м а 4.
Если события А„Аз, . „А„незави- силы, индексы с'ь 1„..., 1„ /„ /„..., /, все различны, вероятность Р(Аю,А>з Аг,) > О, то Р (Л;, ° ° А~, $ Лз, ° ° А,) = Р (Ау, ° ° А,) (11) Д о к а з а т е л ь с т в о, Из независимости событий Ль ..,, А„следует Р(Л~, ... А;,) =Р(А~,) ... Р(А~,), Р(Л,, ... А,,)=Р(А,,) ... Р(А,,) Р(А;, ... А;,Л>,...
Л>,) = = Р(Л ) " Р(Л,) Р(Л,) " Р(Л,) позтому Р(Л~, ... Лз,ПЛ>, ... Л4)=Р(А~, ... Аз,) Х Х Р(А>,... А; ), а отсюда вытекает (11). и 10. Независимость разбиений, алгебр и о-алгебр О и р е д е л е н и е 5. Пусть у — некоторая система множеств. Наименьшая алгебра множеств .Ф(у), содержащая у, называется алгеброи, порожденной системой у.
В4 Гл. е условные ВРРОятнОсти. ИезАВисимость Аналогично определяется о-алгебра, порожденная у, как наименьшая о-алгебра, содержащая у. Если мы за систему множеств а возьмем разбиение А1, Аь ..., А„т. е. такие множества А1, что А! -(т +А:+ ... +А„= й и А!А; = 8 прн ! Ф?', то нетрудно видеть, что алгебра .Ф(а), порожденная разбиением 1х, является конечной (т. е. в нее входит лишь конечное число множеств) и состоит только из пустого множе- ства н множеств вида А1,+А1,+ ... +А1„.
Имеет место обратное свойство. Теорем а 5. Каждая конечная алгебра множесг!в порождается некоторым разбиением. Доказательство. Пусть Я вЂ” конечная алгебра событий. Обозначим У„совокупность всех В ~ М, для которых«В~В. Для каждого «Венй введеМ В„= П ?с в е„' Покажем, что для двух !Вчь!В' либо В„=В„, либо В„ПВ„= Я. Для любых В1!и:й и ВенЯ имеет место следующее свойство: если В! ее В, то В„! ° В. Пусть теперь «ВенВ„:, тогда В„~В„. Далее, если !В'енВ1,, то В„: — В„и, следовательно, В„=В„.
Случай В!'Е=ф невозможен, так как приводит к противоречию В ° «:-'В!9 (а мы уже доказали, что В„я В„). Выберем среди В„ разные множества В1, Вм ..., В,, Они образуют раз- биение, так как В! + ... + В« = й и В!В! = 8 при ??оскольку любое В ~ Я представимо в виде В= Ц В„, то это разбиение порождает алгебру Ф, е что и требовалось доказать. Пример 6. Разбиение Л +А = ?? порождает алгебру м! =(8, И, А, А). ПР им еР 7. Разбиение А!+ Аз+ Аз — — ?? поРождаат алгебру Я = (Я, 1?, А1, Ам Аз, А1+ АВ, А1+ Ам А~+ Аз).
Определение 6, Разбиения ае. АВ!+Ам+ ... + Аы — Ро й= 1... „п, называются независимыми, если для любых 1ы 1.~ ~~!Вз«-Гм и=!... и, Р(АИ,АВ1, ° ° Аы„) — Р(А!1,) Р(АВ1,) ... Р(АР1„). ф )). НвяАвиснмыя испытлн))я Одре. деление 7. Алгебры (илн а-алгебры) событий я)), Фм ..., Ф„называются независимыми, если для любых А) ен Ф Р (А,Лэ Ал) = Р (А,) Р (А,)... Р (А ) Теор ем а 6. 1(онечмые алгебры Ф),,Фм ..., ."Ф„ независимы тогда и только тогди, когда независимы и»- рождающие их разбиения аь аъ ..., )х . Доказательство, Так как порождающее Ф) разбиение оя есть подсистема л~), т. е. сс; с:-'гФ), то и) независимости Ф), ..., Ж, следует независимос ь а), ..., а .
Каждое А ы Ф, есть сумма попарно несовместных событий нэ а), поэтому обратное заклю)ение получаем из следующей леммы. Л ем ма 1. 1'. Если события А и В независимв), т') события А и В также независимы. 2'. Если А) и В нез„- висимы и Лэ и В мезависимь., и Л)Лэ — — )с1, то А)+Л, и В независимы. Доказательство. 1. Из независимости Л и В с;аедует Р (ВЛ) = Р (В ~, АВ) = Р (В) — Р (Л В) = = Р(В) — Р(А) Р(В) = Р(В)(1 — Р(Л)) = Р(В) Р(Л), т, е. В и А также независимы. 2 . Из независимости Л) и В имеем Р (А;В) = Р (А)) Р (В), откуда вытекает Р((А, + А,)В) = Р(Л)В)+ Р(Л,В) = Р(А)) Р(В)+Р(Аэ)Х Х Р(В)=(Р(А,)+ Р(А2)) Р(В) = Р(Л, + Ад) Р(В), т.
с. А)+ Аз и В независимы. °вЂ” Сл е д с т в и е. Каждое событие А порождает раз. биение А+я =Я, которое в свою очередь порождает алгебру Ф(А), Из леммы 1 вытекает, что независимость событий А,,, А„и независимость порожденных ими алгебр,яс(А)), ..., л)()А,,-) эквивалентны, $ 11. Независимые испытания Под испытанием мы будем понимать некоторый эксперимент, исходами которого служат те или иные случаМые события.
В принятой нами аксиоматике испыта- мФ)'-,-чэто некоторое вероятностное пространство. Пусть ЗВ ГЛ. Е УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ даны и испытаний, т. е, даны вероятностные пространства (йн Фн Р1), ..., (О„, .4„, Р„). (12) Если этн вероятностные пространства есть модели некоторых причинно независимых испытаний, то и-алгебры .Фь Фь ..., зЕ, должны быть независимыми. Но для того чтобы иметь возможность говорить о теоретмко-вероятностной независимости, мы должны рассма гривать Ф; как о-подалгебры о-алгебры Ф одного общего вероятностного пространства (12, Ф, Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
