Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Следует из аксиомы 3', так как А+ Л = Я, АА = Я. б) Р(Я)=О. Следует из 4) и аксиомы 2'. б) ИА)еет место конечная аддитивность) если А(А) = И для любых (Ф/, то Р(Л,+А,+ ... +А„) ~ Р(АА). ь-) (2) Р (Ь А„)=-Х Р(А„), Следует из аксиомы 3'. Доказывается по индукцми. 7) Лля л)обых событий А), ..., А, Р (() А ) ~ Ь Р (А,) (3) Представим Ц Ах в виде суммы попарно иесовместх-! нык событий В,=Ах'~(А) УАз0 () Аь-)): ЦАь=Х ВТР По свойству аддитивности 6) имеем Р(() А)= Ь Р(А) откуда следует (3), так как Р(Вь)~ ~Р(Аь).
8) Для любых собь(тий А и В Р (А () В) = Р (Л) + Р (В) — Р (А В). Следует из А () В = А+ (В '~ АВ), аксиомы 3": Р(А() В) = Р(А)+ Р(В; АВ) и свойства 1): Р(В '~ АВ)= = Р (В) — Р (АВ). Аксиомы 3' и 4' моткно заменить одной аксиомой счетной аддитивности (или, как еще говорят, аксиомой о-аддитивности) . 3'.
Если события А„в последовательности Аь АР, „. попарно несов.иестнь), то 18 гл, ь ватоятностнов пгоствкиство Теорсма 1. Система аксиом 1, 2', 3', 4' равно. сильна системе аксиом 1", 2', 3". Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть справедливы аксиомы 1', 2', 3', 4', и пусть Л,,— последовательность попарно несовместных событий. Обозначим В„= ~, Ам А= ь=п+! Л„. Тогда А прн любом и разлагается на кои' 1 печную сумму попарно несовместных событий А=Л,+А,+ ... +Л„+В„, поэтому Р(Л) = ~ Р(Аа) + Р(В„). Так как В„~Я, т, е. В,~В,= ... н Д В„=З, то в ! по аксиоме 4' имеем Р(В„) 4 О. Отсюда вытекает счетная адднтивность (4).
Пусть теперь выполнены аксиомы 1', 2', 3*, и пусть В„1, Я. Обозначим А„=В„",В„+ь и=1, 2, ... События Л„попарно несовместны и В,=Х Л., Ва —— 2 А, поэтому по аксиоме 3' ряд Р(В,)=,)' Р(А„) сходится, п 1 и сумма остатка этого ряда Р(В„) = ~.„Р(Ла)-эО. Теорема доказана. Система аксиом 1', 2', 3', 4' нлн 1', 2', 3" опреде. лает вероятностную меру на а-алгебре л8 пространства 42. Эта система аксиом предложена А. Н, Колмогоровым. Происхождение аксиом 1', 2', 3' можно обьяснить, исходя из свойства статистической устойчивости частот, Пусть А и  — несовместные события, Ф(А)/М и Ф (В) /М вЂ” их относительные частоты в какой-либо длинной серии наблюдений. Так как М(Л) ~ О,то Ф(А)/Ф ~ ~ О, следовательно, то число Р(Л), к которому близко отнотиенне Л'(А)/У, должно быть неотрицательным, 5 А конечное ВеРОятнОстнОе паостванство 19 Для достоверного события У(11)= М, поэтому надо по.
требовать Р(2)= 1. Для несовместных событий И(А+ +,В) = Х(А)+ И(В), откуда Ю (А + П) М (А) У (Л) — + —. Ж У У что и приводит к аксиоме 3'. Аксиома 4' (или 3') имеет несколько другое происхождение, связанное не с реальным свойством устойчивости частот, а с нуждами развиваемой на основе аксизматики математической тео. рии, Поясним сказаннод из ! примере. Пусть на единичный квадрат бросается сЛучайно частнпа, причем Вероятность попадания в любой внутрен- ' " . "т )н ний квадрат со сторопамн, параллельными сторонам основного квадрата, равна плошади меньшего квадрата, С помощью аксиомы 3' отсюда можно получить вероятность попадания в л|обую фигуру, составленную из суммы конечного числа квадратов.
Но нам хотелось бы иметь также возможность находить вероятность попадания в более сложные фигуры, например, в круг, Это можно сделать с помощью аксиомы 3', приближая круг фигурами, составленными из конечных сумм таких квадратов (см, рнс. 3). $4. Конечное вероятностное пространство.
Классическое определение вероятности Рассмотрим простой случай конечного вероятностного пространства. В этом случае И = (м) — конечное пространство,,яХ вЂ” алгебра всех подмножеств множества Й (ввиду конечности Ф эта алгсбра автоматически представляет собой а-алгебру). Вероятность Р(А) дла любого подмножества А из 11 в этом случае можно задать следующим образом.
Пусть заданы неотрицательные числа р„такие, что ~ р„=1. Вероятность Р(А) во гл. ь ваяоятностноа пностгхнстао определим как сумму Р(А)= )' р„. Легко видеть, что так определенная вероятность (вместе с РЩ = 0) удовлетворяет всем аксиомам, Обозначим 1А~ число элементов в множестве А.
т1астпым случаем определения вероятности (5) будет так называемое классическое определение еероятности, когда все р равны друг другу. Так как 1= ~ р„=р, !й'ь то в 1 этом случае р = — и 1и! Р(А) = —, 1А1 (О! ' Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности, используется в тех случаях, когда элементарные события обладают свойством «симметрии» в том смысле, что все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания. Например, бросание игральной кости или монеты обладает свойством «симметрии» по отиошепщо к выпаде. нию того или иного числа очков на кости или той или иной стороны монеты, если, конечно, при броске они были достаточно высоко от горизонтальной поверхности и им было придано в начале броска вращательное движение (но пе вокруг оси симметрии). Таким же свойством симметрии обладают правильно организованная жеребьевка и тираж лотереи.
При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика. Мы часто будем использовать комбинаториые понятия размещения, перестановки и сочетания. Будем исходить нз конечного множества Х = (хь хь ..., хх)., состоящего из М элементов хь Пусть 1:-.= п ' М. Размещением из Ф элементов множества Х по и элементам (коротко, размещением из У по п) назовем любой упорядоченный набор (х, х, ..., х '1 элементов множества Х. $4.
конячпОе ВВРОятностное пРОстРАнстВО я! равны тогда и только тогда, когда все х1„— — х! й=1..., ..., а. Число всех различных размещений из У эле. ментов по п обозначается Ай и равно У(У вЂ” 1)... (У— — и+ 1). Последнее произведение мы иногда будем обозначать как обобщенную степень У!"!. Таким образом,.для числа всех размещений из У элементов по 1т мы имеем формулу Ай=У! !=У(У вЂ” 1)...
(У вЂ” и+1). (7) В дальнейшем будем полагать Ан = У ' = 1 при любом В !О! целом У ~ 1 . Формула ( 7 ) легко доказывается по ин дукции. т1а стный случ ай р азмещсния при У = и пазы. в а ется перестановкой из У элементов . Число всех пере* становок из У элементов равно А,у =- У! ! = У (У вЂ” 1) ... 2 ° 1 = У1 (8) Из (7) и (8) следует также формула и У! (м — и)! ' Сочетанием из У элементов множества Х по и называется любое подмножество ~х, ..., х ) мощности а 1Р Оа множества Х.
Общее число всех сочетаний из У по 1т обозначается Сч и равно Л"„Л ! (10) Из (10) имеем соотношение Сй=СТ . В дальнейшем будем полагать О! = 1, Сй=1 и Сй=О„если и — целое и 1<0 нли я>У. П р имер 3. Выборка без еозвраа1ения. Пусть имеется урна с У шарами„которые мы занумеруем числами 1, 2, ..., У.
Предположим, что шары с номерами 1, 2, ..., М белого цвета, остальные — черного. Выборка без возвращения состоит в том, что мы наугад вынимаем из урны последовательно 1т шаров, не возвращая их обратно. В этом случае за пространство элементар« иых событий ьз =(В1) естественно принять множество всех упорядоченных наборов в =(а1, аз, ..., а„) (11) Гл, ! ВвРоятностнов пРОстРлг!ство чисел аг, 1 =- аг ~ У, не равных друг другу. Мощность множества Я равна в этом случае й((й1 1) (дг + 1) у„нм — числу размсщсннй Ж элементов по и.
Вычислим вероятность события Л, состоящего в том, что среди выбранных н,шаров имеется ровно гп белых„ Цля этого подсчитаем ~А„„~: 1А, 1= С„"М'-'(У вЂ” М)"'-'. (И) В самом деле, число элеменгарных событий (11), у которых ровно в лг случаях 1 = а; - М, определяется как произведение: Сч — числа способов выбора лг координат из общего количества их и, на которые мы помещаем 1 ~» а; ( М; Мн"г — числа различных наборов 1 ~ ~а, ~ М, попадающих на отмеченные пг мест; (гт' — М)м- ' — числа различных наборов М+ 1 = аг ~ У, попадающих на остальные места.
Из (12) и (13) полччаем с"„'м~"'г (л' — м)м Р(А,„) = Пользуясь (1О), мы можем вероятность Р(А,) выразить в следующих эквивалентных видах: т в-и П р и и е р 4. Выборка с возвращением. Пусть имеется та же урна, но выборка гг шаров нз нее происходит последовательно по одному шару, и при этом каждый раз фиксируется номер шара, а сам шар возвращается обратно в урну. В этом случае пространство элементарных событий состоит нз всевозможных век. торов (11), у которых координаты не имеют никаких дополнительных ограничений, кроме 1 < а; ( гт', Вэтом случае 10 ~=лг", а вероятность события А„, вычисляемая аналогичным способом, равна Р(Агч)=С> „, =Са Щ ~1 — у), (15) $ е геометРическне ВВРоятности 2 б. Геометричесене вероятности Еще один важный класс моделей вероятностныхпространств дают так называемые геометрические вероятности.
Пусть й =(ь) — область евклидова и-мерного пространства с конечным и-мерным объемом, Соби. тиямн назовем подмножества Й, для которых можно определить п-мерный объем. За множество событий можно принять так называемую о-алгебру йт борелев. скнх подмножеств ь1 (подробнее об этом см. гл. б, $ 27). За вероятность события А ее Я примеч ( д ( ю г/3 гт/з 1~4 .' где ~ У) означает и-мерный обьРис, 4. ем множества У. Понимая под и-мерным объемом соответствующую меру Лебсга, мы получаем вероятностное пространство (1г, зт, Р), где вероятность Р определена равенством (16). Это вероятностное пространство служит моделью задач, в ко.
торых частица случайно бросается в область Я. Предпо. латается, что ее положенне равномерно распределено п этой области, т. е. Вероятность попасть частице в область А пропорциональна и-мерному объему этой об. ластп. П р им ер 5. Стержень разламывается на две части в случшшой точке, равномерно распределенной подлнпе стержня.
Найти вероятность того, что меньшпй обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня, Обозначпм длнну стержня 1, а расстояннеточ. кн разлома от одного (фиксированного) конца стерж. ня — х. Тогда описанное событие пронзойдет тогда и только тогда, когда либо х 1/3, либо х ~~ 21/3. Искомаи вероятность равна отношеншо (1/3+1/3):1= 2/3 (см. рпс. 4). П р и и е р б, Задача Бюффона, На плоскость, расчерченную параллельнымн прямыми, находящимися на расстояпнн а друг от друга, случайно брошена игла длины 1( и. 1-1айти вероятность пересечения иглы с ка.
кой-нибудь из параллельных прямьгх. Обозначим у расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, х-- острьш угол между иглой н перпендикуляром к парал ГЛ. 1. ВВРОЯТНОСТНОВ ПРОСТРАНСТВО лельным прямым (рис. 6). Координаты (х,у), опреде- ЛЯ1ОЩНЕ ПОЛОЖЕНИЕ ИГЛЫ ОтПОСИтЕЛьНО ПаРаЛЛЕЛЬНЫХ прямых, удовлетворяют условиям О ~ х ~ и/2, О м:,, у ~-:'. ( 1/2. На плоскости (х,у) они образуют прямоуголь. ник ьэ. Попадание точки (х, у) в заштрихованную область Л (см. рис. 6) приводит к пересечению иглы с У а/х г/г у=уееэх г й' Рис. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
