Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пример 4. Пусть $н $8, ... $„— случайные ве. личины, имеющие одинаковые математические ожидания М$;, ໠— независимая от ннх случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения. Определим сумму случайного числа случайных величин»1» = = 51+ ° ' +е» прн» )1, Ч» = О прн т = О. Тогда Мч»= МЬ, ° Мт. Эта формула доказывается с помощью 130), Имеем при любом т = ьн М(ч,1»=н) =М6~+ ° ° +е )=н Мен т. е. М (Н,1т) = т ° М$О Отсюда получаем МЪ=М1М(ч,1»))=М» М$н й 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Следующие два неравенства носят название неравенства Чебышева. Теорема 6.
Длл любого х О имеют место неравенства: Р(1й1== )~ "1", (31) Р (1' МЦ1=> х) < 08 (32) Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычисляя математическое ,ожидание от обеих частей неравенства 1',1=111)ыы~„~+11!~мы~,1 ~~111~1Н~~,1 ~~х)„ы~,, получаем М1 $1~ ~ХМ(1~,,~„1 —— ХР (1 $ 1~ ~х). Неравенство (32) получается из первого неравенства, если его применить к случайной величпие т1=(й — МВ)' и воспользоваться тем, что Мп = 0$. Теорема доказана, Неравенство Чебышева (32) показывает, что прн малой дисперсии О$ е вероятностью, близкой к 1, случайная величина $ концентрируется около математического ожидания Мв: х' (33) Неравенство Чебышева позволяет просто доказывать некоторые предельные соотношения, в которых участвуют последовательности независимых случайных величин $« В рассматрпвасмой в втой Главе конечной схеме мы имеем права линн утверждать, что любое конечное мно-, жество случайных величин может быть определено пз одном вероятностном пространстве.
В доказываемых ниже теоремах 7 и 8 мы полагаем, что при на>идам а случайные величины ~ь ..., В«определены на некотором конечном вероятностном пространстве (й«, Ф.„Р«), причем прн каждом фиксированием и ' и случайна'~ величина $А имеет распределение вероятностей, ие зависящее от и. Вообще говоря, любую последовательность независимых случайных величии Ч„можно опрделнть иа одном бесконечном вероятностном пространстве.
Данные ниже доказательства теорем 7 и 8 имек.т общий характер и ие зависят от конечности рассматриваемой схемы. Теорема 7. (Теорема Чебышева.) Если $н $м независимы и существует такая константа с ~ О, что 0$„~с, и=1, 2, ..., то при любом е > 0 р(~ ~1+ ... +««М~,+ ... +м~„1,~ (34) Доказательство. Обозначим с«= $~+ ... + «в« и применим к ь /а неравенство (33). Имеем при джобом х)0: А 1А неРАВенстВО чеБышеВА. ВАкон БОльших чисел аз так как 0ь„= 3", 0$„~~ос (см. теорему 4). Из (35) при А-1 и-ьсо имеем (34). Следствие. Если В1, $Е, ...
независимы и одинаково распределены, М$„= а, 0~„= аз < оо, то при любом х> О Игп Р 1~ !' "„' й" — а~ < х~. 1, (36) В+ в Предельные утверждения типа (34) н (36) носят название закона больших чисел. Закон больших чисел утверждает, что с вероятностью, приближак1щейст( при п-~.оо к 1, среднее арифметическое сумм независимых слагаемых при определенных условиях становится близким к константе. Из (36) получаем закон больших чисел в схеме Бернулли. Теор ем а 8. (Теорема Бернулли.) Пусть 1г„— чи.- ла успехов при п испытаниях в схеме Бернулли с вероятностью О < р - 1 в каждом испытании Тогда при любом х ~ О Бт Р ( ~ — '„" — р ~ ~= х~ = 1.
(37) Доказательство. Мы можем представить в виде суммы независимых слагаемых $1+ ... + $„, где $1= 1, если прн 1-м испытании произошел успех, и $1 = О в противоположном случае. Поскольку М$1 = р, 0я1=р(! — р), то к рв = $1+ ... +а, применимо следствие (36). Теорема доказана. Соотношение (37) показывает, что прн болыпих п ряанасть между относительной частотой 1А /п и вероятностью успеха мала с вероятностью, близкой к 1. В условиях, когда справедливо свойство устойчивости час.
тот, можно применять следующий принцип: при единично1л испытании маловероятное событие практически невозможно. Считая серию в и испытаний в схеме Бер,нулгти за единичное испытание и выбирая х таким, чтобы —,. = —, было мало, мы можем утверждать, ОНА гч что неравенство ~ р,/п — р) ) х практически невозможяо. Вопрос о том, какие вероятности считать малыми, зависит от конкретной прикладной задачи. 64 Гл.
3, случАЙные Величины !конечная схежА) Задачи 1. Из 28 костей домино случайно выбирается одна. Найти за. кон распределения суммы очков иа половинках этой кости. (Кость домино — это прямоугольник, разделенный на две части. Каждая пз частей помечена одной из цифр О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Все 28 комбинаций пар (», 1), 0 ( 1 ( 1 ( 6„ составляют набор костей домино.) Я 2. Найти закон распределения случайной величины т) = юп — «, 3 где « — щсло очков, выпадающее при бросании игральной кости. 3. Найти математическое ожидание М«и дисперсию О«: а) биномиального распределения Р (« = и) = С„ри (1 — р) и=-О, ..., и; б) гипсргеометричсского распределения С»чСч л» Р !« = и») = ', ' , и = О, 1, ..., пнп !и, М): м и-ж с" в] равномерного распределения на (1, 2, ..., Ф) Р (« = и) = —, и = 1, ..., А'.
1 »ч ' /1 2 ... »»т 4. Из множества всех и! подстановон ! слух, хт ... х~» чайно н равновероятно выбирается одна. Нанти верояп»ость того, чтох~ ч~йпривсех! ~й~п. 5. Если р(«, т)) =- О, то «и т! не обязательно независимы. Г!в- строить пример, 6. Найти М«п (У«» и Соч («и «1) в полпномнальпом распределении п1 ге, а» Р(«~ — — 1, „«,= „)= прн целых неотрицательных гп, + ... + и, =а и Р («» ип...
..., «, = и,) = 0 в остальных случаях. 7. Из чисел 0000, 0001, ..., 9999 случайно и равновероятно выбирают 1псло «Да«ч«ь Доказать, что «» независимы в совокуп- носта. ".. Найтн коэффиписят корреляции между «и г', если Р («= 0) =- 113, Р (« 1) - !/2, Р !« = — Ц = 1)6. 9. Бросается игральная кость. Пусть иа ней выпало т очков. После этого та жс»»»ральпая кость бросается т раэ. Обозначим т) сумму выпавшего числа очков в этих ч бросаниях кости.
Най- ти Мт!. 10. а) Показать, что прн любом т ) О найдется такая случай. иая величина «, для которой М ! «) ~х и исравепство (3!) превра. щается в равенство. б) Аналогичное утверждение справедляво и для неравенства (32), но в этом случае надо полагать О« ~ хэ, 11, Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при 1000 бросаниях моне~ы число выпадений герба !» бу. дет заклю»епо между 450 и 550. Г л а в а 4, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ й 19. Биномиальное распределение Биномиальное распределение числа успехов р при и независимых испытаниях в схеме Бернулли с вероят- ностью успеха р в каждом испытании задается вероят- ностями Р(р= ш) = С.~.~--™~...= „ Формула (1) записывается достаточно компактно и про. сто, однако использование ее для вычисления вероят. ностей Р(и=гл) при больших значениях и и гп вызы- вает значительные трудности.
При очень больших зна. чениях и и гп можно производить вычисления на бы- -стродействующей ЭВМ. Но и в этом случае при состав. ленин программы надо учитывать то обстоятельство,что 'очень большие числа, возникающие при вычислении С, приходится множить на очень малые числа р д"- . При этом надо следить, чтобы промежуточные численные ре- зультаты не выходили за диапазон допустимых зна- чений, Таблицы для вероятностей С р д ~ громоздки н 'очень неудобны для пользования, так как содержат три входа (а, р и т).
Еще хуже дело обстоит с вычислением вероятностей иь РР„~р~ з)= Е СГр д", (2) которые зависят уже от четырех параметров: а, р, т~ н Л32. Поскольку схема независимых испытаний служит ве-1 роятностной моделью многих реальных случайных явлений, представляет значительный интерес задача о нахождении асимптотических формул, позволяющих прн. 3 в. А. севастьянов еб Гл. с пРедельные теоРемы В схеме ВВРизлли ближенно вычислять вероятности (1) и (2) прн боль. шнх значениях и, т, Гпь пть Такие формулы дают нам предельные теоремы. $20.
Теорема Пуассона Рассмотрим сначала случай больших и и малых р. Теорема 1. (Теорема Пуассона.) Если п-+ее и р-~-О так, что пр — ~ а, то для любого фиксированного Гп=0,1, ... м Р(р=Гп)=С,р о -+ —,е '. Локазательство. утверждение (3) сразу вытекает нз равенства если учесть, что при и-~. ао, пр-+ а предел (1 — р)" ра. вен е Можно показать, что в предельном соотношении (3) имеет место следующая оценка; Р (р=тп) — — е ~ - —, а=пр. (4) Мы докажем более сильное утверждение в более обшей схеме независимых испытаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
