Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3'. Так как нз $ = $+ — $ следует 1$!= 5+ + $, то из конечности Мв следует конечность М$~ и М$ . Все остальные свойства 3' проверяются просто. Мультипликативное свойство. Т е о р е и а !. Если $ и т! независимы и имеют конечные математические ожидания М$ и Мт), то (У) й в. опгвдалвния мйтвмйтичвского ожидйния шЬ Доказательство. Пусть | и й) независимы. Если к и т1 простые и представимы в виде $= ~ хй(лй, й)= й-! = Е У!!в, где х, < х, « ., ° х„, У! < У! < ° ° ° '- У„ то Р(АйВ!) = Р(Ай) Р(В!). Поэтому М~г1= М Х Х хйУ,Ул в = ~ )" хйУ!Р(А»В,)= !»» »! » =~ ~, хйу!Р(Ай) Р (В!)=)„хйР(Ай) ~ у!Р(В!)=М$.МЧ.
й-! 1-! й-! 1-! Если неотрицательные $, !1 независимы, то простые $„=. =д,(Д н й)„=д„(т1), построенные по формуле (5), тоже будут независимы. Поэтому М$„й)„= М$„° Мт)„. Так как $. ('в, Ч» ('ть то в»Ч» (' $Ч н М$„Ъ1 М$т1, Таким образом, равенство (7) доказано для неотрицательных й и т). В общем случае и = 5+ — $-, и = !1+ — т1-. Так как $ — и й)х есть функции от $ и й), то они независимы.
Поэтому М($+ — $ )(1+ — » )=М$+!)+ — МЭ+) — М$ т)++М$ 1 = =М$ 'МЧ М$ 'Мч МГ'Мч +М~ 'Мч =(М~ — МГ)(Мп — М 1-)=Ма Мч. Теорема доказана. Следствие 1. Если $„..., ~„независал!й! иимеюг конечна!е математические ож!!данил, то Мэ! ... $» = = М$! . ° . М$,. Доказывается по индукции.
Интеграл Лебега. Данное нами определение математического ожидания есть не что иное, как интеграл Лебега от функции $= $(ы) по вероятностной мере Р. Для такого интеграла используют обозначения ~в(!э)НР(!й), ~ $(!э)Р(дй!), ~ э(!й)ЫР, ~1!(Р, причем при и а и Я Интегрировании по всему пространству йй иногда вместо пишут просто ~. Интеграл Лебега по множеству 106 Гл.
е мАтемлтическое ОжидАнне А ее Ф определяется как интеграл от ЕТА, т. е. ~ $ИР = ~ $1лс1Р, л я Рассмотрим вероятностное пространство (г(,Я, Рь), где )т — прямая, Я вЂ” о-алгебра борелевских множеств на ней, Р» — распределение вероятностей случайной величины а. Интеграл Лебега ~ д(х) НРт(х) от борелевской функции д(х) иногда записывается как ~ п(х)ЙЕг(х) и называется интегралом Лебега — Стилтьеса. Здесь Ет(х) — функция распределения $, которая порождает вероятностнуш меру Рг Свойства сходимости.
Докажем две теоремы о переходе к пределу под знаком математического ожидания, Теорема 2. (Теорема о монотонной сходимостн.) Если О ~ я„т ~, го Ит М$„=- МЕ,. и-» Доказательство. Так как О ~ $„=. $„то О ~М4„<М$ и 11п1 М$„~ ~Ма. В"» о (8) Введем простые случайные величины $,ы так что О~ .о 1,„А 1 $„при й-» . Случайные величины т1А = тах $„А ~ко~ь также будут простыми.
Так как О~т)А= игах $„Ае гпах $„А+~ =т)А~ о ~<и;А ~~о<А+1 то последовательность пь монотонно возрастает. Обозначим Т1 предел 11гп т1ы Прн каждом й тм~~$А, поэтому 1!т Мт)А — — Мг) = 1пп МЕА. А.+ А-» со (9) Далее, при ач-й е„А~ЧА~ТО полагая Й вЂ” »со, имеем ьв, а~ 11 прн всех и, откуда 5 ао, т1 н М4~ Меь что вместе с (8) и (9) доказывает теорему. 5 зо. Оптеделение мАтемАтическогО ОжидАния !07 Следствие 2. Если ряд Я $„состоит из неотрил ! цательных случайных величин, то л(Р.)-хл1.. Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность л $а частных сумм удовлетворяет условиям теой-1 ремы 2, поэтому 1ип МЧ„= М 111П Чл, а это — другая л-л л~м запись равенства (10).
Следствие 3. Если МЧ конечно и события Ал (, О, то, 1ип МГ11лл=О. (11) л-л ал Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Если ! МЧ ! < ОО, то М ! Ч ! < Оо. Разложим !Ч! На сумму Ч„+Ч„', где Ч„'=1Ч!1„-, Чл 1Ч!1А. ТОГда М!Ч1=МГ1л+МЧ„' И 0((Ч'„Т!Ч1. По теореме 2 !Нп МЧ„'= М! т! 1, поэтому 1пп Мт)л= О. л-л еа л +~о Из !МЧ1А„~~~М! Ч!1А — 0 вытекает (11), Теорема 3. (Теорема Лебега о мажорнруемой схо- димости.) Если 1йп $л=$ (в каждой точке 1аенИ) и !$л)-=ч, еде Мч < с, то 1ип М$„= М$.
(! 2) Доказательство. При любом е) 0 последова- тельность событий Ал=(вк зир !э (а1) — э(а1) !<е) та- кова, что А„,) Я. В сумме $„=$„1А +з„1А- слагаемые оцениваются так: л1А Е л лл1А лл1А + е~ Ч1А ~(лл А 1 А откуда л'А ! А ~~~~~+ + 1 А л"А Мз — е — 2МЧ1А ((М$„(~Мз+е+2МЧ1А (13) л л гл. х млтамхтичвскоа ожидании Переходя в (13) к пределу по п-~-ео н применяя след- ствие 3, имеем М$ — е~ (1пп М$„~~, 1ип М$„» М$+ е. Поскольку е ~ О произвольно, отсюда получаем (!2).
3 31. Формулы для вычисления математического ожидания Как мы уже отмечали в 3 27, случайная величина е = $(а), заданная на вероятностном пространство (11, эа, Р), с точки зрения ес вероятностных свойств вполне характеризуется своим распределением вероятностей Р~, поэтому ее можно рассматривать определенной на вероятностном пространстве (11, Я, Ра) функппей $ = с(х) = х, хен 1с. Отсюда мохсно сделать вывод, что математическое ожидание М$= ~ $(м) Р (Не) на самом деле не зависит от вида функции $(в), а ~ И, а зависит только от распределения вероятностей Ра.
В самом деле, для неотрицательных случайных величин имеем М$= 11т М$„, где ~й МВи =,(', — хх — Р (кч — уг» в(м) е» я» ~ ° (14) ь ! Эгу сумму можно выразить через закон распределенкя Р;: В М$„= ~~ — „Ре ( ( и» в*~ ~ (15) А 1 Предел !пп М~„в (14) мы обозначали как интеграл л~ о Лебега $(ы)ЫР(ьэ); тот же предел в (15) будет интег- ралом Лебега ~ хдР1(х), который теките называют ин- о $31. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ 109 тегралом Лебега — Стнлтьеса и обозначают ~ хс(РЬ(х).
о Применяя то же рассуждение к 9 и 3 . мы получаем выражение для 9 $~ — $: М$ = ~ к с(РЬ (х), (16) Интеграл Римана — Стилтьеса от я(х) на конечном отрезке (а, Ь) по неубывающей фу|гкции Г(х) с конечным изменением г" (Ь) — Г(а) опрсделнется как предел я (х) (р (х) - Нгп 5'Л(х'„) (р(ха.,) — Г(х,)), аю а а-е Ь вЂ” а где х = а + — ° Ь, Ь = О, 1, ..., а, ха ( ха ( ха Р Несоба л + ' ственный интеграл ~ д (х) др (х) определяется как предел Ь (пп 1 я(х) г(Г(х). если г" (х) имеет проиааодную р (х) и г" (х")— а.+-ю 4 а.+са — г" (х') = ~ р(и) г(и для всех а~(х' ч.
х" ~Ь, то ~ д(х) ИР(х) х' ~ я (х) р (х) (х. Выведем формулы, по которым вычисляются М$ и Мй'($) для непрерывных случайных величин, зависяШее только от распределения случайной величины й, Если М$ конечно, то в формуле (16) мы можем по. нимать правую часть как несобственный интеграл Римана — Стилтьеса (в этом случае он сходится абсоанотно). Гл, т млтямхтнчискос Оягидлниа г(о к а з а т е л ь с т в о, Мы будем предполагать, что плотность р (х) = р(х) иитегрируема по Риману и спра.
а в (17) стоит несобственный интеграл Римана (доказательство остается справедливым и для интеграла Ле. бега). Рассмотрим сначала неотрипатсльную случайную величину $ с функцией распределения 0 при х<0, г" (О) при х О. (18) Г(0) + ~ р(и) сКи при х > О. о Р Я:.; х) Р1(х) г Л-1 Обозначим А» ~ — „<$а,.,'— „~ и введем последовательность простых случайных величии Тогда М$ Игп М$л. Имеем л+е и-иа В тА ьлч Фь ~ хр(х)пх — 'уг чч ~~',-р-)- ~ р(х)г1х ч. ~ хр(х)с(х. е 1хал а Теорема 4.
Если случайная величина ф имеет плотность р. (х) и ~ 1х !р (х)с(х ( со, то М$ ~ хр (х)ох. (17) % М ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ Переходя в неравенствах хр (х) с(х — — „<- М$„« ~ хр (х) дх 1 к пределу по и-~- СО, устанавливаем справедливость (17) для неотрицательных случайных величин. В общем слу. чае $= 5+ — $- и $+ и $- имеют распределения вида (18) с плотностями (при х О) рь+(х)=р(х) и р (х) = =р( — х). Имеем М$=М$+ — М$ = О О СО = ~ хр (х) дх — ~ хр ( — х) дх = ~ хр (х) дх. о ь Ш Теорема 5. Ясли $ имеет плотность ре(х), функция д(х) непрерывна и интеграл ~ ~ я(х) 1ре(х) с(х сходится„то СФ М д (К) = ~ й (х) р (х) а1х. (19) Дока з а тел ь ство.
Сначала рассмотрим непре. рывные функции д(х), равные нул1о вне интервала '1а, Ь1. Для каждого и = 1, 2, ... положим х„ь =а+ + — „й, О . при х~~а или х> о„ д„(х) = д(х„ь) при х„, ь, (х. х„м Пусть е > О. Тогда найдется такое пь, что для всех и =;. пь и всех х ен ')а, с) спРаведливо неРавепство 1д„(х) — д(х)) ( е, т. е. д„(х)-~- д(х) при и -Ф со рав- номерно по х. Кроме того, при и ~~ пь 18„(х) ~:Я д(х) ~+ г, и й'(х)' ограничена.
Применяя теорему Дебета о мажо- рируемой сходимости, имеем 11гп Мд„ ($) = Мйг(а). (20) 1!2 гл, к матвмлтичаскок ожндхпин (21) (22) С другой стороны, и "лй Ь Мд„(я)=~ д(х„ь) $ р(х) дх= $й„(х)р(х)сЕх. ь ! Ул А-~ И Отсюда и из неравенства )д (х) — д(х) ~ ~ «а имеем при п= па (а1*)пь)~* — аи.(а(( . а Отсюда н нз (20) получаем равенство (19).
Рассмог. рнм теперь неотрицательные п(х) ) О. Положим д(х) при 1х1(я, й„(х) = 0 при 1х! > и. Случайные величины т)„= д,($) монотонно сходятся к Ч = дЯ), поэтому по теореме о монотонной сходимостн Мда($) ! Мд(5), Отсюда и из Мйа(а)= — ~й(х) р(х)Нх-+ ~ д(х) р(х)гЬ следует (19) для неотрицательных д(х). В общем слу- чае п(х) = й+(х) — д-(х), где й+(х) = птах(п(х), О), и-(х) = — пни(д(х), О), Имеем Мй(ь)= Мь (ь) — Мй (ь)= = ~ и " (х) р (х) Фх — ~ д (х) р (х) Йх = ~ й (х) р (х) с(х. Теорема доказана.
Теоремы 4 и 5 почти так же доказываются и в слу. чае произвольного распределения Ре(х) с заменой (17) н (!9) на интегралы Стилтьеса (Римана — Стнлтьеса): М ~ = ~ х дат (х), Мй(~)= $ й(х)~~р'а(х). ОО $ и. ФОРмулы для Вычисления 11з (23) причем равенства (23) н (24) имеют место, когда ряды сходятся абсолютно. Замечание 1. Формулы (19), (22), (24) справедливы и в более общем случае, когда борелевская функ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
