Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 19
Текст из файла (страница 19)
рис. 11). Действительно, 1 — ф(з) = гр'(О) (1 — з), где 2+ 8~.,9(1, поэтому из ф(О) (1 +1 вытекает 1 — ф(з) <; 1 — н. Прн 0 ( н ~ 1 вторая производная ф"(з) О, поэтому уравнение з =- о =ф(з) не может иметь более двух л>1 корней в ]О, 1]. Так как ф(0) ~ 0 и Рис.12.гоафикпронзпри А =- .1 существуют з1 ц. 1, для водящеафункциво(з! которых ф(з1) ( аь то найдется ко- надкритического вегрень 0 ~ ~ге 1 уравнения (19) вищегосЯ пРоцесса, (рис. 19). Докажем, что в этом случае д зо. В самом деле, нетрудно установить, что. ф(з))з прн О~з«-зс н ф(з) =з прн но н 1. Так как фг+1(0) => фг(0), то из (18) вытекает, что ф,(0) < ф(ф,(0)) при лгобом 1, следовательно, ф~(0) с зе при всех Х и д 1пп ф,(О)~~хо(1.
Таким образом, вероятность гу не г.ь может быть равна 1, а так как она есть корень уравнения (!9), то д = ао ~ 1. Теорема доказана, Задачи т. Найти производящую функцию равномерного распределения, сосредоточенного в точках О, 1, 2, ..., й — 1. С помогцью пронзвод. иых производящая функции вычислить математическое оигнданне и дисперсию этого распределении. 12й ГЛ. 8.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКыИИ 2. Функция 1 — 1/1 — з есть вероятностная производящая функция. Найти соответствующее распределение. Что можно сказать о его математическом ожнданниг 3. Дана производящая функция ф(з) ~, Р(й=л)з" случайя ной вели п1иы У. Найти производящую функцию А(з) ~ аяза я о для вероятностей ал = Р (е ~ и). 4. Пусть число потомков одной частицы в ветвящемся процессе определяется производящей функцисй А (! — з) ф(з) 1—  — (! — з)+1 2А На(ып ее ыю итерацию ф(г). Найти вероятность вырождения ф Г л а в а 9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 37.
Определение и простейшие свойств» характеристических функций В предыдущей главе мы познакомились с аналити* ческим аппаратом производящих функций, который ус. пешно используется в задачах исследования свойств .распределений цслочпслсппых слу*ийных вслнчпп. В общем случае аналогичную роль играют характеристические функции. Для их определения нам нужно понятие математического огкидщп я распространить на комп. лексныс случайпыс величины. Пусть ~ = в+ !г!, где $ и и — пара действитс1льных случайных вели|ив, у кото)Рых существуют н конечны М» и Мч. Тогда математическое ожидание кот1плексной случайной величины определим как сумму М. М» + гМ~ Основные свойства математического ожидания (папри.
егер, свойства аддитивности и мультипликативности) естественным образом переносятся на случай (!). Оста1новимся лищь на доказательстве неравенства )М;! =М !~!." (2) Если случайная вели шна ~ простая, т. е. прнпимаг г лишь,конечное число значений Ь = в~ = ха+ !да, прп.
чем Р(~=ха) = ры то (2) есть простое следствие свой Лтва модуля комплексных величин: !Мг,!=~Хзьри~==1!хь!рь=й~ Р) й х Пусть $ = З вЂ” 5, т! = т! — т!, а З„, т1„— последов ательнасти простых случайных величин, для которых ~3~, т!„') и и, значит, $„=5+ — $,, "„, т!,=1!„— в т!„-+и, Тогда ь,— ~~, и по определению Мс, Мт! и в. л, сеелстьянав ! л. а хлвхктеенстнческнв Функции 1ЗО имеем М~= 1пп М(к, л -Э со Где ь„= е„+1Ч„. В силу (3) при любом и ! М~„1( М1:„1.
Покажем, что. Ит М1~, ~= М1с 1. В самом деле, из и ~„-+ ~ по теореме Лебсга о мажорируемой сходи- мости вытекает М1ск1 — ~М1~ 1, так как мы рассматриваем лишь случай М1ь1< О, М1ч~ < со. О п р е д с л е н и е 1. Характеристической функцией случайтйойвелйчйны й мы будем называть функцию~ь(г)' от действительного аргумента г, равную ~е (1) — Мерц (4) ! Раскрывая в (4) ем поформуле Эйлера е'4 =сез ар'4-; +1а1пф, мы имеем (~ (1) = М соа ~1 + (М ейп ~(., (5) Иногда мы будем вместо (е(1) писать просто (((). Если 7е(х) есть функция распределения 5, а ре(х) — ее плотность (если она существует), то по общим формулам вычисления математического ожидания имеем: ~1(а)= ~ еи'Арт,(х), Если распределение г, дискретно, то (7) Из (б) и (7) видно, что характеристическая функция ~ь(() вполне определяется функцией распределения Г~(х) случайной величины $.
Перечислим несколько простейших свойств характеристических функций. з зт. опгвдалапив и ггг'оствггшив свинства гз! 1) !г'(1) 1:-= ! при кансдогиг действительном 1; )'(О) = 1. з казательство просто получается из неравенства (2),- ак как 1е"~1=! и ! г (г) 1=~ Мене ! 'М~ е"" != 1.
:; 2 )(!) равнолйргтб неггрерывна по и ля доказательства этого свойства установим сна* чала справедливость следуюгцей леммы, которая нам понадобится далее. Л е и м а 1, ггри действггте гьных гр и любом целом п «» 1 имеют гиесто иеривенстви !' ' птг' ! (8) Поскольку 1егт ! = 1, та Доказательство ! Ю гч г ~ е'" ди =! е" — 1 ! « ~~ йи =! гр !. Далее доказываем (8) О по индукции. Пусть (8) справедливо прп некотором п. Тогда, так как то в в 1, ~л+г 3 ги пг + ггг ' й Для доказательства 2) рассмотрим событие А =, =(! Ц «Х) и в правой части неравенства (1(! + й) — ) (г) , '= ! Ме' ~ (сей — 1) ~ < «( М гг е "е — ! г !г' + М ! епм — 1 г! т, где 1 -и т' — индикаторы событий А и А, применим л л неравенство (8) при и = 1 прп оценке первого слагаемого и '1еггт — 1) =.
2 при оценке второго слагаемого. О З7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 7зз Доказательство. Если мы 77 раз формально продифференцнруем (4), то получим равенство (!)=! !о!К е' '=!' ~ я е 7(Рт(х), (12) Полагая в (!2) ! = О, приходим к (10). Для обоснования законности дифференцирования под знаком математического ожидания в (12) рассуждаем по 77ндукцин. Пусть формула (12) справедлива прп 77 ~ и.
Поскольку 1! '(7-!-77) — 1! '(О ..., о7Ц(о'"! — !) =! М5 ! '""'"' ' =."' то в правой части (13) по теореме Лебега о ыажорируе. мой сходимости можно перейти к пределу по и-эО. Таким образом мы доказываем справедливость (12) при 77+1. Для оценки остатопгого члена Я„(!) в (11) применим лемму 1 к разности !о,!о~= м~'" — 7 "'„!" ~ ( 7,=о й ! а+! и=о +2М ~,~~ !'А, (И) где А — событие, введенное в 2) (здесь в первом сл,.7- гаемом мы воспользовались неравенством (8), а во вто. ром — неравенством В е-! о-о А-О итал как 1А = 1 при 1С1 - Х, то из (14) получаем !зк тл, к хлглктвяистическив ттпкции )! (г') = ф! (е").
(15) Следует из определения. Вычисление характеристических функций некоторых законов распределений. 1) С помощью формулы (15) полу гаем характеристические функции следующих распределений пелочнслсппых случайных величин: а) Бггнолгиальное распределение Р($=пг)=С„р (! — р), пг=-О, 1...,, и„ ~! (!) (рег + 1 р)л б) 1?1гассоновское распределение ап Р Д = и') = —, е ', п = О, !, 2, )! (!) = ехр (а (еи — 1)).
в) Геометрическое распределение РД=и) =рг1", п=О, 1, 2, ..., г)=! — р, 1!Ж= ! — ее' 2) Вырожденное распределение РД = С) = 1, )!(!) =е 3) Нормальное распределение. Если случайная вепичина $ имеет нормальное распределение с парамс;- рами (О, 1), то 1(!)== — ~ е "' с!х. (16) .т/ 2гг Пусть е>О. Выбираем сначала Х таким, чтобы М! к!"1 < — а затем б= ',, Тогда прп )1)<б имеем к (и+ 1) е !' ' 2Х 1Гс„(!)):к — „е, что и требовзлось. 11 !" 1 7))Если гр! (а) = К~д — 'прогглводлгг)ал фуггкг(ия ггелочисленной случайной ее~!!!чины, то 9 37. ОПРРДВЛНННЬ И ПРОСТВЙШНВ СВО!ЧСТВА Дифференцируя равенство (16) по Г, получаем )'(!)== ~ хе с7х.
"77 2п Интегрируя по частям, приходим к дифференциальному уравнению г71=='-1-"'* ""< -!-е ~ ""-"'* а ]=-~7!о. Ч7' вп Решая зто уравнение с начальным условием ЯО) = 1, получаем ) (1)=е В общем случае нормального распределения с парамет- рами (а, о) имеем, согласно свойству 3): Иа-М1ЧР (17) 4) Равномерное на (а, Ь) распределение 1!Ь !7а )(г) = — ~е 0х= ! г нх е' — е Ь вЂ” В ) и (ь — а) (18) При а = О, Ь =- Е имеем 17Ь )(!)=' и, 5) Гамма-распределение с плотностью ,а-1 р,(х)= —,е ", х~)0.
Обозначим ),„(1) характеристическую функнню, соо ! ветствующу1о р„(х), Поскольку р„+В(х) есть свер1ка р„(х), Отметим частные случаи (18). При а = — Е Ь = 1 имеем „1П -П1 Р (!) = 2СН 1! (19) гл. о. хм хктггнстпчгсхис ект1кцнн 136 и ра(х): к к р а(х) =- ~ Ра(х — у) у,(у)кгу г г ~ у (х — у) "у о о 1 г(,„)1 ц0 ) з ( 4 ~(х г(а+3) е ~ х~~О, то, в силу 4), (',+ (() = ~„Р) )а Р). Вычислим сначала )~ (х) == ~ е' 'р, (х) к(х= ~ е'" "г(х. Интегрируя по частям> о о получаем ~Ю О ~,нк-кг( ~и-к ~ + .
~ мк-к 1 + .(к о о о У,(() = —,' „. (20) Из (20) для любого целого и имеем Рк (~) (1 Ок . Из ), (1) = ~)п„(()Я" получаем )па(1) =(1 — й) ", н, далее, )„,,„(() =)), „(Р)) =(1 — (() "'", Таким образом, для любого рационального со ~ 0 (.(1) =(1 — й) ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
