Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Она обладает свойствами, аналогичными свойствам од- номерных производящих функций. В частности, с по. мощью производных чгг (зь ..., з,) вычисляются сме- шанные факториальные моменты щ(ь~)~(гг) ... ~(ьг)— В!д гг Ф, П р и м е р. Полиномиальное распределение Рг+ + Рг= 1~ имеет производящую функцию гуь(з! "~ зг) =(Ргзг+ "° + Ргзг) $34.мультипликхтивнов сзонство Доказательство, Из независимости $ь $м ...
! ... $„следует независимость з ', з"...,, зз'. Из мультипликативного свойства математического ожидания имеем равенство Мз'~+-'+'=Мз'~ ... з'=Ц Мз'~, Ф-! равносильное (10). Если целочисленные ч н т1 независимы н р„ = =Р(з=л). д„=Р(г1=а), то распределение нх суммы г„=Р(э+г1=п) по формуле полной вероятности определяется равенством и В г =х., Р(ь=й)Р(т1=п — а)= ~' Рьч -ь (!1) Распределение (г„) называется композицией или сверг* кой распределений (р„) и (д,). Теорема ! позволяет нам иногда с помощью производящих функций находить свертку распределений, не прибегая к формулам (11), Например, из равенства Ы+г1Т'Ьз+ Ч)"'=(Рз+Ч)"'+а' вытекает, что свертка двух биномиальных распределений с одинаковыми р и разными числами испытаний п~ и пз дает опять биномнальное распределение с тем же самым р и числом испытаний а~+ аз.
Аналогично, нз равенства е" о-и е '-п=е" +"~о-и следует, что композиция двух пуассоновских законов с параметрами а~ и аз дает опять пузссоновский закон с параметром а~+ аь Этим свойством пуассоновскнх распределений мы пользовались в $20. Распределение с производящей функцией 1 — дз можно интерпретировать как число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха. Обозначим в этой схеме в, число испытаний до г-го успеха включительно.
Случайная величина $, представима в виде суммы =т~+тз+ ... +т„где т~ независимы, одинаково рас. пределены и имеют производящие функции у (з) =-— яя 1 — да (т~ — число испытаний до первого успеха включительно, Гл. а пРоизвюдящие Функции тз — число испытаний от первого успеха до второго успеха и т. д.). По свойству мультипликативности имеем г г (12) Разлагая (12) в ряд, получаем ~р( (з)= р'зг~ ( „) ( — 1) з д = г г х~ — г( — г — 1) ... ( — г — а+1) ( — 1)" а,а =рз <) з а=О г г Ъ~ (г+а — 1)(г+а ')...г а а г г%"~ а и а =рз ~ Зд =рз ~ (;г+а 1ЗЯ г а( откуда Р (~, = и) = С', ~ р'д" ", и = г, г + 1, ... Сумма случайного числа случайных величин.
Пусть ~,, ...— последовательность целочисленных незави- симых одинаково распределенных случайных величин с производящей функцией ~аз(з) н т — независимая от них целочисленная случайная величина с производящей функцией ~р,(з). Определим сумму случайного числа случайных величия равенствами ~, = $г + Ь+, „ +5, прн я ~1, Г„= (), Теорема 2. Производящая фуцкг(ия ~. (з),повии еуперпозиции р„ ,(з) = р„ ( р1 (з)).
(!3) Доказательство. Вычислим ~р (з)=Мз'ч с по- мощью условных математических ожиданий„используя равенство М( 1~+ ° "+1~~ ) М (г+ ° "+за ~ ( Ци. Получаем ч~ (з) = Мз" = М(М(з '! У)1 = МЬ1~(з)1'=Ф,(Фз(з)), что и требовалось доказать. $ оо. теотвмь нептвтывности !аз С помощью (13), (8) и (9) вычислим математнче« ское ожидание и дисперсию ~о: ф~ (8) = ф (ф$ (8)) фо (8), фс (1) = ф (1) ф. (1), ф „(8) = ф, (ф,(8)Иф,(8)1 + ф. (фт(8)) ~, (8), ф~,(!) = ф,"(1) ~ф,'(1)"!'+ ф'„(1) ф," (1), Мь,= Мт МИ, ЕК,= ф„"(!) Ефк(1)У+ ф',(1) ф~'(1)+ М4, — СМ~.)о = = (Мто — Мт) ° (М$)о + Мт ° (Мзо — М$) + Мт ° М$— — (М'о)' ° (М$)о = 0т ° (М$)о+ Мт ° 0К $ Зб, Теорема непрерывности Докажем, что соответствие между законами распределения (р„) и производящими функциями (3) не только взаимно однозначно, но н взаимно непрерывно.
Теорема 3. Пусть ф,(8)= ~~„ р<озо, г=1, 2, ...,— о о последовательность вероятностных производящих функций, ф(8) = Е р„з" — производящая функция последовал о тельности(ро). Для того чтобы при каждом и 1'пп р'„О = р„, Г -Р необходимо и достаточно, чтобы при всех 0~8 < 1 1нп ф,(8)=ф(8). т-о Доказательство, Предположим,что !!по р„"' р„. г-э Пусть е > О н О о= 8 ~ 1, В правой части неравенства !ф,(8) — ф(8)1~~!Рьп — М '< ь=о и-1 ° О 8-1 ~~~~,' !Р~~1 Р ~ ! '~' ео — ~~,' !РМ Р ~ ! ь-о ь-и ь-о гл.
е. пгоизводящив елнкции выберем Лl таким, чтобы зл>!(! — з) <е~2> а затем вы- У-1 беРем гл таким, чтобы ~'„, !Р'"> — Р ~ <е/2 пРи г~г». Тогда при тех же г)г, имеем !ф,(з) — >р(з)!<а, что н доказывает необходимость. Докажем теперь достаточность. Из ограниченное последовательности 0 <р„'! ~(! выбпРаем сходЯщУюсЯ подпоследовательность Р~л"'-+.Р,. Из ограниченной последовательности 0<р1")(1 выбираем сходящуюся подпоследовательность р>>>е1-> р> и т.
д. Из последовательностей Р»,», Рф. », Ра» Рн,в Рглл!,. !ав Ра» л> Р>вл, в Р>л, л) выбираем диагональную сходящуюся подпоследовательность р~„"'>, которая сходится к Р„при любом а. Предположим, что хотя бы при одном и последовательность р~„" не сходится к р„. Тогда можно выбрать две сходящиеся к разным пределам подпоследовательности РО >-+ р'„, р(>п — ~р„". По первой части теоремы ф,,(з)-+ +ф*(з) = Е Р,з и ф,.(8)-~.ф"'(г) = Х Р„"з".
Так как по условщо ф„(з) »р(з), то >р" (з) = ф" (з) = >р(з) н Р' = Р„' =- Р„, т, е. 11 щ ро! = р„. Г-Ъ с>> 3 а и е ч з н и е. Как показывает пример >р, (з) = з'-~ -+О==-ф(з), 0 'а<1, предельные величины р„могут не образовывать распределение вероятностей, так как, вообще говоря, ~, Р„ «» 1. Если потребовать, чтобы » >> 1!гпф(з)=1, то ~ р„=! и в пределе мы получаем расул! -о пределение вероятностей (р„). Применим теорему 3 к доказательству предельной теоремы Пуассона (см. $20): 11щ С„( — „" ) (! — — „) —,е-'.
(14) 'З тв. ввтвящнвся пгоцгссы Производящая функция биномиального распределения в для р = †„ равна Из равенства 1!пт ~1+ — „(з — 1)) =е'* и И Фсо по теореме 3 вытекает (14), что и доказывает предель- ную теорему Пуассона. $36.
Ветвящиеся процессы т. е. фз(з)=ф(ф(з)), фз(з) =ф(ф(ф(з))) и ф~(з) есть 1-я итерация функции ф(з). Соотнонтение (15) позволяет нам вь*.чнслить Мтт(т) = А(1). Обозначим ф'(1) =. = А. Продифференцируем (15) по,з в точке 1. Получим А(1+ 1) = А(т) Л, откуда А(т)= А'. (16) Проиллюстрируем применение аппарата производящих функций на примере ветвящихся процессов. Пусть имеются некоторые однотипные частицы, которые размножаются независимо друг от друга. Пусть р,— вероятность того, что одна частица превращается в и частиц, ф(з)= ~ р„з" — производящая функция распреде-о ления вероятностей (р,). Обозначим р(1) — число частиц в 1-м поколении и фт(з) = МФ"б — производящую функцию н(().
предположим, что р(0) = 1. тогда ф1(з)= = ф(з). Пусть ~и, $~з, ..., чы, ... — независимые случайные величины с распределением, определяемым производящей функцией ф(з). Тогда число частиц р(1+1) в (1+1)-м поколении, согласно нашему определению, есть сумма $п + $м+ ... + $ь ~„<б случайного числа независимых случайных слагаеьтйх ($ы — это число потомков в-й частицы т.го поколения), По теореме 2 отсюда вытекает, что фи+1(з) =ф (ф(з)) гл.
8. пноизводящиГ Функции 1ЗВ Поведение ветвящегося процесса суп1ествеино определяется значением параметра Л вЂ” средним числом непосредственных потомков одной частицы. Из (1б) мы видим, что при 1 — ~-оо Л(1)-+О, если А < 1, А(1)-+со, если Л > 1, А(т)=1, если Л=1. Пнзовем ветвящийся процесс докритическим, иадкритическим илн критическим, если соответственно А < 1, Л:и 1 нли А = 1.
Лс1 1 л С Л 1 ~ Е Рне. 1!. Графики пронааокян1ня функций Ф (н) некритического и кри. тнчесного ветвян1икен процессов, Если 1л(1)= О, то мы будем говорить, что ветвящийся процесс вы|юдился к моменту времени 1. Вероятность этого события равна Р (р(с) =О) =~р,(0). Тат как (1л(1) О] с.
(р(1+ 1) О), то Р(1л(1)= 0) не убьннзет и при 1 — оо имеет предел 1нп Р(р(1)=О) =е, который мы назовем вероятностью вырождения. Предельная вероятность д — это вероятность того, что процесс вь1родится в каком-либо поколении. Предположим, что ~р(з) чь з.
Докажем следугощуия теорему. '1' соре и а 4. Для того чтобсч д ~ 1, необхОдимо и достоточяо, чтобы нро1(есс был иадкрит1гческим. Д о к а з а т е л ь с т в о. Соотноптейие (15) можно записать иначе: й 1+ 1(з) - т (р (з)) (17) эдплчи Подставляя в (17) я = О, имеем гр,+,(О) =ф(фг(О)). (18) Переходя в (18) к пределу по ! -~ оо, имеем (г=ф(гу) так как д= Ит ф,(0), Таким образом, гу есть решение уравнения а= ф(з), (19) Это уравнение всегда имеет решение з = 1. Если других решений в [О, 1] нет, то отсюда следует, что д = 1. При А ~ (1 других решений уравнения (19) нет, таи как прн всех О ~ ~н У 1 выполнено неравенство з .с.' '~= ф(з) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
