Главная » Просмотр файлов » Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 26

Файл №1115332 Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики) 26 страницаБ.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332) страница 262019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В слУчае, когда 8Н $з, ... независимы и олинзково Распределены, сходимость по вероятности (7) имеет место при более слабом условия конечности М$„=а. Теорем а 5 (Хинчип), Если 8ь 8,, ... независимы„ одинаково распределены и М8„=а конечно, то имеет место закон больших чисел: !+ ° +.ч 3 а До к а з а тел ь ст во. Характеристическая функция 1(1) случайной величины ~, — а представима в окрестности нуля в виде 1(1)= 1+о(1), поэтому, обозначая ~„'=8, + ... +х„— на, имеем откуда следует слабая сходимость ь„'/н к нулю, что равносильно (см. теоремы 3 и 4 $ 48) ь"'„/н- О. Оказывается, можно доказать в условиях теоремы 1 более сильное утверждение, принадлежащее Л.

Н. Кол- Р . э " й ~ ' чи.йяюй-йю" ших чисел, у гверждающпй,. что $4-+8пн — а. в Далее нам понадобится неравенство Колмогорова, усиливающее известное неравенство Чебышева. Т ео р е м а 6. (Неравенство Колмогорова.) Лусты фь ..., К„независимы и иле~от конечные М$ь и 0ьь. Тогда Р (птах~ ь,— М„, (~х) (8) Баии и еде ~А= $1+ .. + Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Это не огргинзчпвает общности, так как всегда можно перейти от ьк к 8ь — Мьь. Введем случайную величину $,4а усилг!пгый злко!\ волы!и!х чисел.

!зз' ч =гп)п (й:~."й ~~х). Если гпах )ьй1< х, то положим !=.ймй и ч= и+ 1. Так как ьй~~~~ ~„!гч=й„то Мь - х., Мь'!гй-й!= й=! = Х )т! (а! + 1 6й~) (айй! + + Бй) ~(й —.й! .-. й:- ! ~ ~, М (з + +" )' Т!.=й~ + !,=-! й -! + 2 ~„М Й!+ ... + $й) !г, й! (1йй!+ ... + с„). Случай!пан пе.шчина 7Г, й зависит лишь ог сп поэтому ('-', +... +.',) 1!.

й! нс завнсиг от ййй!, ..., й„!! М 6 + " + ьй) (г,=-й) Рй,. + " + $й) =- =М(~!+ ... +;-й)!., й! М(:-й„+... +$й).=б. Так как длн в!с (т=Ц имеем Гй ° х и-Р (ч ="гТ!)'= = Р( гпах | се ~Ъх), то $: й.: и И М~,',.= ~„М'",,Рг, й! " х Р(ч:- и)=х Р(гпах ~~й~ ~х), й †! ! зй „а Неравенство 8 ок запо. окажем теорему об усиленном законе больших чи- сел длн независимых разно распределенных случайных величин.

Теор ем а 7. Пусть ьь йм ... независимы, Мй„=б, 0ь„— — о'„' и й-! Тогда и Локазательство. Обозна!им "„, =-.-, + ... + й.. 11о крнтершо (3) нз 8 48 сходпмосгь (9) рав. 184 ГЛ. \2 УСИЛЕННЫЙ ВАХОН ВОЛЬШИХ ЧИСРЛ посильна условию Р (еир~ й ~>е~-+О, н-+со, (10) при любом е ~ О. Обозначим А, событие Л„=( п1ах ~ — '," ~>е~, Тогда (10) равносильно (О А.)-, й.й рр (! 1) Г(о неравсиству Колмогорова Р (Л„): Р(1 п1ах 1ьв1> е 2" '~)~ 2й-1 <й~ 2л и»„„ ~-Р( п1ах 1ЬА1> е ° 2" )< 4 —, 1. 2~2РР р рр 2й Р(Л,)<4е 2~ 2 '"~~ о„'< Далее рр рр :4е ~ о;2 ~~> 2 й(8е ~~> — ", < ьо, (йр 2й>й1 рр 1 так как ~„2 ~2 ° 2~~', Из сходимости ряда ~', Р(Ай) й-йр Ф следует (11), так как Г ' ро Р~ (.) Ай~К Е Р(Ай) — ьО ий й й=рр Докажем следующую вспомогательную лемму, Л е и м а 3. Математическое ожидание $ конечно тогда и только тогда, когда Х Р(! $! >и) < ьо.

и 1 5 4а усиленныЙ зАкон БОльших чисел 1вб Доказательство. Если Ма конечно, то и М151 конечно, и наоборот. Из очевидных неравенств и соотношений Х пР(и — 1 <1$1ч и»= л ! = ~~', Р (~ ~ 1 > п) ~ (1 + ~ Р (151> и), ~ (и — 1)Р(п — 1 <13!~~п)= л ! ~~„г! Р (п! — 1 < ~ 5 1» ~и) — Р Ц > О) = ~ Р ( ! $1 > и) л- ! л=! нытскают неравенства Х Р(~~~>и)<М~~~<1+ХР(~~1>и). мого ова. ь тл ... независ сиределены. Длл того чтобы й!+Ь+ + й л инакова необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное йй',л = а. Д о к а з а т ел ьс т в о. Достаточность, Введем случайные величины 1 Е„, если !$л~~(и, Ьл ~ ~ Х О, если 1$л1> п„ откуда следует утверждение леммы.

Для независимых одинаково распределенных слу. чайных величин справедливо более сильное утвержде. ние, даю!цее необходимое и достаточное условие усиленного закона больших чисел. Теорема 8. (Усиленный закон больших чисел Кол- 186 гл. а. тснлглгнын злкон волыпих чисел н ь„=а!+ ... +$„. Случайпыс величины такжс независимы, так как Е„есть фупкния с,. Из равенства ) (12) гь л л и заключаем, что теорема будет доказана, если мы покзжем, что справа все три слагаемых с вероятностью сходятся к нул!о. Третье слагаемое неслучайно и бес* конечно мало, так как оно равно среднему арифметн.

ческому ! х г. "М1 1 еь1 ь=! сходя п1пхся к нулю МЬ/111ь1>ь1 -~ О, й -+ со, членов. Обозначим Л„= — (~„чь 11„:„). Имеем Х Р(1.)=ХРП,.~>.)=ХР(К,~>.), где послсднпй ряд сходится в силу конечности Мз, по только что доказанной лемме. Поэтому по лемме Ьо- реля — Кантсллн лнп!ь для конечного числа номеров а $„=Д 8„. Следовательно, в 112) гц — г„п, н, — '" — ! О. (г ф— Я1, и. н.

Осталось доказать ' "' — —. О. Применим теорему 3. Для этого докажем, что ь ! Поскольку О,"„» (М3', «» Е й Р (1г — 1 < ) 5 ~ - Ц, то !!=-! ОФ аэ а ~ — '„'-," «~:,1 фР(й-1<~И,ХИ=- в-! д=! а=! Й'Р 1л — 1 < ! $! !( »Ц ~Х а ! !ь а й 49. УСИЛЕННЫЙ ЗЛКОН ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1вт Так как Х г ли ! ч ! ! ! ь+! — — — то ~ — «.— + —.= —, и' -- ~ хи Ь ~ ии -- А ли А ь л~и и — Р(й — 1 <! ь~! ~»<й)»< ок„ь (ь+ !) и ! и ! ~< ~~! (й + 1) Р (А — 1 < ~ $! ! < й) « л — ! <» 2+ ~~' (й — 1) Р (А — 1 <! ~! !< »Ц » (2+ М ! В! ! < оо.

!!=1 и. и. Необходимость, Если — '" — а, то и Гл и — ! Гл ! и и. — О и и — ! т. е. с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий ~ — '~ > 1. По лемме Борслн — Кантелли ил это влечет за собой Х Р ( ~ $л 1 > Н) = Х Р (! 1!! > а) < ОО. Следовательно, по лемме этого параграфа конечно Мс!. Следствие.

В схеме Бернулли для числа успехов имеет место не только закон больших чисел !ил ! р и Э но и усиленный закон больших чисел Ии и. ~! Л Слсдствие вытекает нз теоремы 8, так как и„ =- = Ь+ "° +$ где $!, ..., В, независимы н РД;= =-1)=у."Ра'='О)=1' ",'. " 188 ГЛ. 1З. УСИЛЕ1ИГЫИ ЗАКОН БОЛЪШИХ ЧИСЕЛ Задачи 1. Случайные величины $„. и = 1, 2...., незазнсплгы и одина. ково распределены. Доказать, что с вероятностью 1 произойдет лишь конечное число событий Ав ( ( З„ ! ~ Ч/а ) тогда и только тогда, Когда 0$„ конечна.

2. Доказать, что схолимость $» к $ почти наверное или по ве. роятностн влечет за собой схолнмость в том же смысле 1(а„) к )(х), если )(х) — непрерывная функция. 3. Если 1(х) — аепрерывная ограниченная функция, то нз Р и» вЂ” ь $ слелует сходнмость 1(а,) к 1(с) в среднем г.го порядка при любом г > О.

Доказать, 4. Показать, что в условиях теоремы 7 можно получить более сильное утверждение о сходимости й,йл+ ... +хай„н. — ьО, и где А,— некоторая последовательность, стремяшаяся к бесконеч. ности. б. Случайные величины Вь $ь ..., аю ... независимы, одинаково распределены, МБ1 конечно.

Независимые от внх случайныо величины Оь Ов .. „6„, ... независимы между собой н удовлетзо. ряют условию (Оа((1 и МВа юО, л 1, 2, ... Справедливо лн утверждение: ОЛ~+ " + 8.1. " " „ Г л а в а 13, СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ $5О. Основные задачи математической статистики В гл. ! говорилось, что .теория вероятностей занимается изучением математических моделей случайных явлений.

Имея подходящую математическую модель какого-либо случайного явления, мы можем рассчитьсвать вероятности тех или иных событий и по этим вероятностям мы можем, пользуясь статистической устончивостыо частот, предсказывать частоты этих событий. Если вероятностная модель выбрана правильно, то такие предсказания будут выполняться со случайными ошибками, которые также мо.кно рассчитывать в рамках выбранной модели. Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы и приемы рассуждений в ней остшотся теми же самымп.

Причиной этого является специфичность задач математической статистики, являющихся в известной мере обратными к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы считаем заданной модель явления н производим расчст возможного реального течения этого явления, то в математической статистике мы исходим из известных реализаций каких- либо случайных событий, нз так называемых статистических данных, которые обычно носят числовой характер.

Математическая статистика разрабатывает различные методы, которые позволяют по этим статистическим данным подобрать подходящую теоретико-вероятностную модель, 1!апример, пусть имеется п независимых наблюдений в схеме Бернулли и пусть в щ из пнх произошло событие Л. Поскольку модель в схеме Бернулли определяется числом испытаний п и вероятностью р=- Р(А), то на этом примере мы сталкиваемся с одной из задач математической статистики: как по гп осуществлениям события А в п независимых испытаниях определить вероятность р Р (А)? гл. 12. стхтист12чвскнв длнньш 1ВО Перечислим те основные задачи, которые решает математическая статистика, на примере схемы Бернулли. а) Проверки статистических еипотез, Из каких-либо априорных соображений мы можем предполагать, что р = ры где рь — некоторое фиксированное значение.

По 1Н огноснтельпой частоте — мы должны решить, справед- 11 лпва гипотеза р = рь или нет. Поскольку при больших 1и п относительная частота — близка к р, то статистиче. и скнй критерий по проверке гипотезы р = ра должен О1 основываться па разности ~ — — рь~. Если она больн шая, то, по-видимому, гипотеза неверна, если же она мала, то у нас нет основания отвергать гипотезу р = рь. б) Статистическое оиенивание неизвестных парал1е-- ров. Иногда нам требуется по наблюденному т указать то число )), которое можно принять за вероятность р в схеме Бернулли.

В нашем примере естественно взять Л1 р'= —. Сцепка должна быть в том или ином смысле и близкой к оцениваемому параметру. в) Доверительные интерваль1. Р!насда нас интересует не точное значение неизвестного параметра р, а требуется указать тот интервал р ~ р - р, в котором с вероятностью, близкой к единице, лежит параметр р.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее