Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1115332), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В слУчае, когда 8Н $з, ... независимы и олинзково Распределены, сходимость по вероятности (7) имеет место при более слабом условия конечности М$„=а. Теорем а 5 (Хинчип), Если 8ь 8,, ... независимы„ одинаково распределены и М8„=а конечно, то имеет место закон больших чисел: !+ ° +.ч 3 а До к а з а тел ь ст во. Характеристическая функция 1(1) случайной величины ~, — а представима в окрестности нуля в виде 1(1)= 1+о(1), поэтому, обозначая ~„'=8, + ... +х„— на, имеем откуда следует слабая сходимость ь„'/н к нулю, что равносильно (см. теоремы 3 и 4 $ 48) ь"'„/н- О. Оказывается, можно доказать в условиях теоремы 1 более сильное утверждение, принадлежащее Л.
Н. Кол- Р . э " й ~ ' чи.йяюй-йю" ших чисел, у гверждающпй,. что $4-+8пн — а. в Далее нам понадобится неравенство Колмогорова, усиливающее известное неравенство Чебышева. Т ео р е м а 6. (Неравенство Колмогорова.) Лусты фь ..., К„независимы и иле~от конечные М$ь и 0ьь. Тогда Р (птах~ ь,— М„, (~х) (8) Баии и еде ~А= $1+ .. + Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Это не огргинзчпвает общности, так как всегда можно перейти от ьк к 8ь — Мьь. Введем случайную величину $,4а усилг!пгый злко!\ волы!и!х чисел.
!зз' ч =гп)п (й:~."й ~~х). Если гпах )ьй1< х, то положим !=.ймй и ч= и+ 1. Так как ьй~~~~ ~„!гч=й„то Мь - х., Мь'!гй-й!= й=! = Х )т! (а! + 1 6й~) (айй! + + Бй) ~(й —.й! .-. й:- ! ~ ~, М (з + +" )' Т!.=й~ + !,=-! й -! + 2 ~„М Й!+ ... + $й) !г, й! (1йй!+ ... + с„). Случай!пан пе.шчина 7Г, й зависит лишь ог сп поэтому ('-', +... +.',) 1!.
й! нс завнсиг от ййй!, ..., й„!! М 6 + " + ьй) (г,=-й) Рй,. + " + $й) =- =М(~!+ ... +;-й)!., й! М(:-й„+... +$й).=б. Так как длн в!с (т=Ц имеем Гй ° х и-Р (ч ="гТ!)'= = Р( гпах | се ~Ъх), то $: й.: и И М~,',.= ~„М'",,Рг, й! " х Р(ч:- и)=х Р(гпах ~~й~ ~х), й †! ! зй „а Неравенство 8 ок запо. окажем теорему об усиленном законе больших чи- сел длн независимых разно распределенных случайных величин.
Теор ем а 7. Пусть ьь йм ... независимы, Мй„=б, 0ь„— — о'„' и й-! Тогда и Локазательство. Обозна!им "„, =-.-, + ... + й.. 11о крнтершо (3) нз 8 48 сходпмосгь (9) рав. 184 ГЛ. \2 УСИЛЕННЫЙ ВАХОН ВОЛЬШИХ ЧИСРЛ посильна условию Р (еир~ й ~>е~-+О, н-+со, (10) при любом е ~ О. Обозначим А, событие Л„=( п1ах ~ — '," ~>е~, Тогда (10) равносильно (О А.)-, й.й рр (! 1) Г(о неравсиству Колмогорова Р (Л„): Р(1 п1ах 1ьв1> е 2" '~)~ 2й-1 <й~ 2л и»„„ ~-Р( п1ах 1ЬА1> е ° 2" )< 4 —, 1. 2~2РР р рр 2й Р(Л,)<4е 2~ 2 '"~~ о„'< Далее рр рр :4е ~ о;2 ~~> 2 й(8е ~~> — ", < ьо, (йр 2й>й1 рр 1 так как ~„2 ~2 ° 2~~', Из сходимости ряда ~', Р(Ай) й-йр Ф следует (11), так как Г ' ро Р~ (.) Ай~К Е Р(Ай) — ьО ий й й=рр Докажем следующую вспомогательную лемму, Л е и м а 3. Математическое ожидание $ конечно тогда и только тогда, когда Х Р(! $! >и) < ьо.
и 1 5 4а усиленныЙ зАкон БОльших чисел 1вб Доказательство. Если Ма конечно, то и М151 конечно, и наоборот. Из очевидных неравенств и соотношений Х пР(и — 1 <1$1ч и»= л ! = ~~', Р (~ ~ 1 > п) ~ (1 + ~ Р (151> и), ~ (и — 1)Р(п — 1 <13!~~п)= л ! ~~„г! Р (п! — 1 < ~ 5 1» ~и) — Р Ц > О) = ~ Р ( ! $1 > и) л- ! л=! нытскают неравенства Х Р(~~~>и)<М~~~<1+ХР(~~1>и). мого ова. ь тл ... независ сиределены. Длл того чтобы й!+Ь+ + й л инакова необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное йй',л = а. Д о к а з а т ел ьс т в о. Достаточность, Введем случайные величины 1 Е„, если !$л~~(и, Ьл ~ ~ Х О, если 1$л1> п„ откуда следует утверждение леммы.
Для независимых одинаково распределенных слу. чайных величин справедливо более сильное утвержде. ние, даю!цее необходимое и достаточное условие усиленного закона больших чисел. Теорема 8. (Усиленный закон больших чисел Кол- 186 гл. а. тснлглгнын злкон волыпих чисел н ь„=а!+ ... +$„. Случайпыс величины такжс независимы, так как Е„есть фупкния с,. Из равенства ) (12) гь л л и заключаем, что теорема будет доказана, если мы покзжем, что справа все три слагаемых с вероятностью сходятся к нул!о. Третье слагаемое неслучайно и бес* конечно мало, так как оно равно среднему арифметн.
ческому ! х г. "М1 1 еь1 ь=! сходя п1пхся к нулю МЬ/111ь1>ь1 -~ О, й -+ со, членов. Обозначим Л„= — (~„чь 11„:„). Имеем Х Р(1.)=ХРП,.~>.)=ХР(К,~>.), где послсднпй ряд сходится в силу конечности Мз, по только что доказанной лемме. Поэтому по лемме Ьо- реля — Кантсллн лнп!ь для конечного числа номеров а $„=Д 8„. Следовательно, в 112) гц — г„п, н, — '" — ! О. (г ф— Я1, и. н.
Осталось доказать ' "' — —. О. Применим теорему 3. Для этого докажем, что ь ! Поскольку О,"„» (М3', «» Е й Р (1г — 1 < ) 5 ~ - Ц, то !!=-! ОФ аэ а ~ — '„'-," «~:,1 фР(й-1<~И,ХИ=- в-! д=! а=! Й'Р 1л — 1 < ! $! !( »Ц ~Х а ! !ь а й 49. УСИЛЕННЫЙ ЗЛКОН ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1вт Так как Х г ли ! ч ! ! ! ь+! — — — то ~ — «.— + —.= —, и' -- ~ хи Ь ~ ии -- А ли А ь л~и и — Р(й — 1 <! ь~! ~»<й)»< ок„ь (ь+ !) и ! и ! ~< ~~! (й + 1) Р (А — 1 < ~ $! ! < й) « л — ! <» 2+ ~~' (й — 1) Р (А — 1 <! ~! !< »Ц » (2+ М ! В! ! < оо.
!!=1 и. и. Необходимость, Если — '" — а, то и Гл и — ! Гл ! и и. — О и и — ! т. е. с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий ~ — '~ > 1. По лемме Борслн — Кантелли ил это влечет за собой Х Р ( ~ $л 1 > Н) = Х Р (! 1!! > а) < ОО. Следовательно, по лемме этого параграфа конечно Мс!. Следствие.
В схеме Бернулли для числа успехов имеет место не только закон больших чисел !ил ! р и Э но и усиленный закон больших чисел Ии и. ~! Л Слсдствие вытекает нз теоремы 8, так как и„ =- = Ь+ "° +$ где $!, ..., В, независимы н РД;= =-1)=у."Ра'='О)=1' ",'. " 188 ГЛ. 1З. УСИЛЕ1ИГЫИ ЗАКОН БОЛЪШИХ ЧИСЕЛ Задачи 1. Случайные величины $„. и = 1, 2...., незазнсплгы и одина. ково распределены. Доказать, что с вероятностью 1 произойдет лишь конечное число событий Ав ( ( З„ ! ~ Ч/а ) тогда и только тогда, Когда 0$„ конечна.
2. Доказать, что схолимость $» к $ почти наверное или по ве. роятностн влечет за собой схолнмость в том же смысле 1(а„) к )(х), если )(х) — непрерывная функция. 3. Если 1(х) — аепрерывная ограниченная функция, то нз Р и» вЂ” ь $ слелует сходнмость 1(а,) к 1(с) в среднем г.го порядка при любом г > О.
Доказать, 4. Показать, что в условиях теоремы 7 можно получить более сильное утверждение о сходимости й,йл+ ... +хай„н. — ьО, и где А,— некоторая последовательность, стремяшаяся к бесконеч. ности. б. Случайные величины Вь $ь ..., аю ... независимы, одинаково распределены, МБ1 конечно.
Независимые от внх случайныо величины Оь Ов .. „6„, ... независимы между собой н удовлетзо. ряют условию (Оа((1 и МВа юО, л 1, 2, ... Справедливо лн утверждение: ОЛ~+ " + 8.1. " " „ Г л а в а 13, СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ $5О. Основные задачи математической статистики В гл. ! говорилось, что .теория вероятностей занимается изучением математических моделей случайных явлений.
Имея подходящую математическую модель какого-либо случайного явления, мы можем рассчитьсвать вероятности тех или иных событий и по этим вероятностям мы можем, пользуясь статистической устончивостыо частот, предсказывать частоты этих событий. Если вероятностная модель выбрана правильно, то такие предсказания будут выполняться со случайными ошибками, которые также мо.кно рассчитывать в рамках выбранной модели. Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы и приемы рассуждений в ней остшотся теми же самымп.
Причиной этого является специфичность задач математической статистики, являющихся в известной мере обратными к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы считаем заданной модель явления н производим расчст возможного реального течения этого явления, то в математической статистике мы исходим из известных реализаций каких- либо случайных событий, нз так называемых статистических данных, которые обычно носят числовой характер.
Математическая статистика разрабатывает различные методы, которые позволяют по этим статистическим данным подобрать подходящую теоретико-вероятностную модель, 1!апример, пусть имеется п независимых наблюдений в схеме Бернулли и пусть в щ из пнх произошло событие Л. Поскольку модель в схеме Бернулли определяется числом испытаний п и вероятностью р=- Р(А), то на этом примере мы сталкиваемся с одной из задач математической статистики: как по гп осуществлениям события А в п независимых испытаниях определить вероятность р Р (А)? гл. 12. стхтист12чвскнв длнньш 1ВО Перечислим те основные задачи, которые решает математическая статистика, на примере схемы Бернулли. а) Проверки статистических еипотез, Из каких-либо априорных соображений мы можем предполагать, что р = ры где рь — некоторое фиксированное значение.
По 1Н огноснтельпой частоте — мы должны решить, справед- 11 лпва гипотеза р = рь или нет. Поскольку при больших 1и п относительная частота — близка к р, то статистиче. и скнй критерий по проверке гипотезы р = ра должен О1 основываться па разности ~ — — рь~. Если она больн шая, то, по-видимому, гипотеза неверна, если же она мала, то у нас нет основания отвергать гипотезу р = рь. б) Статистическое оиенивание неизвестных парал1е-- ров. Иногда нам требуется по наблюденному т указать то число )), которое можно принять за вероятность р в схеме Бернулли.
В нашем примере естественно взять Л1 р'= —. Сцепка должна быть в том или ином смысле и близкой к оцениваемому параметру. в) Доверительные интерваль1. Р!насда нас интересует не точное значение неизвестного параметра р, а требуется указать тот интервал р ~ р - р, в котором с вероятностью, близкой к единице, лежит параметр р.