А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Далее, С вЂ” событие, для которого сумма номера дома и номера квартиры равна 100. Для С имеетсп 50 исходов. Наконец,  — событие, состоящее в том, что о первого захода удается попасть в нужную квартару. Искомые вероятности равны Р(В/А) +, Р(В/В)=+, РСМС)=4, Для сравнения приведем беаусловную вероятность »обытия Вч Р(В) = —. 1 5000 ' Подобно тому, как мы выписали в в 2 несколько свойств безусловных вероятностей, мы вылижем здесь подобные же свойства для условных вероятностей 1. Всегда 0~( Р (А/В) < 1, причем Р (А/В) О, если А — невозможное событие, и Р (А/В) — 1, если А "Э В.
2. Если С = А () В и АВ = И, то для любого событпя П Р (А/В) + Р (В/П) = Р (С/Р). 3 еорема сложения вероятностей распространяетзя к на случай, когда А = А» (/ Ат(/...(/Аю А;Ат — Р при / чь /, /, / = 1, 2,..., й: Р (А/Р) Р (А»/В) + Р (А /Р) +... + Р (А»/В).
3. Если А — событие, протввополов'нос А Р (Л/В) = 1 — Р (А/В). Приведенные свойства доказываются точно так же, как и подобные свойства для безусловных вероятностей, поэтому мы не станем проводить необходимых рассуждении. П р н м е р 2. Электрические схемы, о которых речь пойдет далыпе, собраны иа элементов, которые могут е момент включения с вероятностью 0,5 проводить ток и с вероятпостьж (),5 не нроводнть ток. Состояние квжд нл элементов пе влияет на состояние других. а) й1звестно, что цепь (рис.,Х г,.) .. проводит ток. Какова вероятн того, что элемент 1 проводит тохг 2 Какова вероятность того, что эд ' мент 2 проводит тон? Какая из роятностей балыке? б) Известно, что цепь (рис.
ьл проводит ток. Чему равны ве " (ис 18 !ло"трлчссиа" ятностн того, что тон прова схема к примеРУ 2. участки 1, 11 н Ий? в)Известно,чтоцепь(рис. 18) не проводитток. Како "' вероятности того, что ток не проводят участки 1, 11 и П Р е ш е н и е. а) Поскольку в цепи име!отея 5 эле тов и ная!дый пз пих может находиться в одном нз д 1 ! 1 1 1 1 Ю 1 1 1Г 1 1 1 ! 1 1 ,/ ! Я' Рис.
17. Электраческая схе- Рис.18. Элоитричесиая схема и пр „, ма и примеру 2. меру 2; состояний, то цепь мажет находиться в 2' = 32 саста ,." киях. Введем обозначения! А — событие, состоящ ' ' в том, что элемент 1 проводит той; А, — событие, состоя'"' щее в том, что элемент 2 проводит ток; ?? — вся цепь пр ',";, водит ток.
Из всех 32 возможных состояний элементов цепи в 1,. она проводит ток. В атом легко убедиться, выписав в '" возможные состояния: ппппп + (1+) С одиой буквой н все проводят (5+) нппнп —, ппнпн— (2 — ) Все остальиьте с двумя буквами и проводят (8-1-) пнпнн+, нннпп+ (2+) Все остальные с тремя буквамв и ве проводят (8 — ) С четырьмя буквами и все ио проводят (5 — ) иннин (1 — ) И этой табличке буква и обозначает слово «проводит», к — «не проводит», место буквы оаначает номер элемента, знак «+» означает, что цепь проводит, а знак « †» — что цепь не проводит ток. Таким образом, Р (В) = 0,5. Далее находим, что Р (А»В) = И/32 и Р (А»В) = 9/32.
Отсюда находим, что Р (А»В) И/32 И Р(А»В)= Р(В) Р (А,/В) = — -= —,. Р (А»В) Э Р (В) $6 ' б) Введем следующие обозначения событий: А»в участок 1 проводит ток, А — участок 11 проводит ток, А» — участок 111 проводит ток,  — цепь проводит ток. Легко подсчитать Р (В), т. е. вероятность того, что цепь не проводит ток, Для этого нужно, чтобы ни один из участков не проводил ток.
Из 64 возможных исходов 21 благоприятствует атому событию. Таким образом, Р (В) = 43/64. Так как А влечет за собой В, то А»В А . Но А содержит ровно 8 исходов — элементы 1, 2, 3 цроводят ток, а элементы 4, 5, 6 могут находипся в любых со- стояниях (а таких состояний всего 8). Таким образом, Р (А .В) = 8/64.
Подобным же способом убеждаемся в том, что Р (А,В) = 16/64 и Р (А«В) = 32/64. Следовательно, Р (А,/В) =— Р (А|В) 6 Р(В) 43 ' Р(А,/В) =Р— = ", Р (А»В) (6 Решение аадачи в) ничем не отличается от решения задачи б), только повсюду следует заменить слово «про- водит» на слово «ве проводит». Искомые вероятности ока- зываются равными соответственно 8/43, 16/43, 32/43. В теории вероятностей и ее применениях играет очень важную роль понятие независимости двух и нескольких событий.
Событие А называется независимым от события В, если имеет место равенство Р (А/В) = Р (А). Иными словами, событие А неаависнмо от события В, если условная вероят- 66 ность события А при условии, что событие В произ ' совпадает с безусловной вероятностью события А. Приведем некоторые примеры. Из колоды карт вынимают наудачу карту. Чему равЩ~;, вероятность того, что зта карта окажется тузом) Есщ'" в колоде 36 карт, то легко видеть, что искомая вероятно равна 4/36 - 1/9. Итак, вероятность события А рав $/9, Предположим теперь, что произошло событие В, с,' стоящее в том, что вынутая карта окааалась черной.
Че равна условная вероятность вынуть туз при атом допел', нительном условии) Легко видеть, что теперь у нас имев,"'" ся только 18 возможностей и из них 2 благоприятствук/~ событию А. Таким обрааом, условная вероятность соб '.; тия А при условии, что В наступило, равна безусловно вероятности. Событие А не зависит от события В. В классе 4 ученика, имеющих недовлетворительн оценки по предметам А, В к С. Первып ученик имеет наа удовлетворительную оценку по предмету А, второй по предмету В, третий — по предмету С, а четвертын по всем втим трем предметам. Директор школы знает, чт ' у атих четырех учеников неудовлетвор1ггельные оценк по предметам А, В и С, но не знает, у какого учепвка пм' какому предмету.
Во время перемены ок встречает одвог, пз учеников и говорит ему: аКогда ьче ты исправник ся предмету А/ь Ясно, что какой бы предмет он ни назвал'' ок скажет правильно только с вероятностью 0,5: Р (А) = Р (В) = Р (С) = 0,5. Пусть теперь нам стало известно, что дпрсктор угадана/ действительно, у этого ученика имеется кеудозлетворн,. тельная оценка по предмету А. Тогда директор добавляе ' «Тебе нужно исправить тво~ оценки к по предмету ВФ' С какой вероятностью директор ке опшбается п па зтоФ раз/ Легко подсчитать, что Р (В/А) = Р (С/А) = Р (А/В) =- /' (А, С) Р (В'С) = = — О,б"" «,'ы видим, что н в этом примере события А, В, С, состоя/( щке в том, что наудачу спрошенный нз этих четырех уч,'," кякоз имеет неудовлетворительную оценку по предмету ф (саотвехствснко по предмету В и С), таковы, что квжд пара нз этих собьггкй является независкмок.
Пусть вероятность событкя В болыпе О, т. е. собьггий В не является невозможным. Докажем, что в атом случ 56 ле только событие А не аависит от В, но и событие В не зависит от А. Иными словами, докажем, что свойство независимости случайных событий является взаимным. Пусть известно, что Р (А/В) = Р (А) и что Р (В),> О.
Мы имеем в силу определения независимосхи и сделанного условия следующие равенства: Р(А/В) = ',*,~~"' =»(А), откуда Р (АВ) =- Р (А) Р (В). Но по определеищп Р (В/А) = Р (АВ)/Р (А), если Р (А) > О, и Р (В/А) х О, если Р (А) = О. Этот последний случай можно отброситЬ, поскольку для него всегда Р (В/А) = Р (А) ~* О. Пусть поэтому Р (А) ~ О.
Мы уже знаем, что 'з Р (АВ) = Р (А) Р (В), поэтому Р(В/А)= ( ) ( ) = Р(В), Р (и) Требуемое доказано. Легко видоть„что свойство взаимяостн независимости имеет место и в случае, если Р (В) =- О. Докажите зто. Из проведенного доказахельства вытекает важное следствие: для независимых событий А и В имеет место теорема умнонхения вероятностей Р (АВ) = Р (А) Р (В).
хасьоквте обратное предложение: если Р (АВ) = = Р (А) Р (В) ) О, то события А и В независимы. Если события А и В произвольны, то теорема умножения имеет вид: Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = Р (В) Р (А/В). Обобщим понятие пеаависимостн на любое число собыхнй. События А„А„...„А„называются независимыми з совокупности, если для любого собьгхвя А„(1:~х ч,,/х) н произвольного набора событии А;„А,„..., А хм где т не созпадаех нн с одним из чисел х„хм ., х„ а з может быть любым между 1 и /х — 1, события Аг и (АаАь... А~,) независимы.
Заметим, что в примере с учениками события А, В и С з совокупности уже но являются независимыми. П р и м е р 3. Дважды бросается игральная кость. Доказать, что собьгпхя А (при первом бросании выпала бт ткестерка) и В (при втором бросании выпала нечетное йо очков) независимы. В нюней аадаче имеется 36 различных исходов, Иа тнесть следующих благоприятствует событию А: (6,1), (6 '(6,3), (6,4), (6,5), (6,6). Событие В содержит 18 исходов, поскольку каждое падение нечетного числа очков при втором бросании мо '"' Сочетаться с любым иа шести возможных исходов перв "'"' бросания. Событие АВ будет содержать только след ""' щие три исхода: (6,1), (6,3), (6,5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
