А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поскольку пас пе интересует порядок появления этих элементов, то общее число различных исходов равно Сы+к. Очевидно, что в задаче следует считать 0 <„ль ~~ М и 0 ( и ( Ф, поскольку, если эти условия не выполняются, то вероятность появления интересущего нас события будет равна О. ИЗ- 'о7, вйечь т предметов со свойством А можно См различны«й)1 способами.
Но кан~дый способ извлечения п«предметов Сй!:-' свойством А может сочетаться с любым способом павле«!. чения и предметов, пе обладающих этим свойством. Сле-",:,' довательно, общее число исходов, благоприятствующих'. интересующему пас событию, равно С™м Ск, а тем самым-: искомая вероятность равна сцс„ Р= См+"„ П р и и е р 4. Имеются Ф ячеек и п частиц.
Частицы',: наудачу размещаются по ячейкам. Найти вероятность',. каждого из возможных размещений. Эта задача представляет значительный интерес для:, ряда основных вопросов физики, химии, биологии, инже-'; нерного дела и пр. В зависимости от фиаической сущно-;: сти задачи в слово «наудачу» вкладывается различный-'! смысл. Мы приведем три различных подхода, выработан-:,, пых в физике и получивших соответственно наименование":; статистик Максвелла — Больцмана, Бозе — Эйнштейна'.', и Ферми — Дирака. С т а ти от и к а М а к се ел л а — Б о л ьц ма- ~ н а.
Каждая из всех л различных частиц с вероятностью ', 1/Р может попасть в каждую иа ячеек, независимо от по- ',:, ложения других частиц. Число всех возможных различ-:, ных расположений частиц по ячейкам, как легко понять;,,";.' равно )У". Найдем теперь вероятность того, что в первой::; ячейке окюкутся л, частвц, во второй — п„в Л'-й — яр~.:,~ Понятно, что некоторые из чисел зм и„..., п~ могут оказаться нулями. На формулу для числа сочетаний из . и элементов по т можно смотреть как на размещение и;; элементов по двум ячейкам 1Л' = 2), причем и, = т и".') п, = и — зт.
Повторив почти дословно рассуждения, про- -': зедепзые нами при выводе формулы для числа сочетании, ':, мы получаем, что число всех возможных различных спо-, собов размещения п элементов по Л" ячейкам,при котором ',,::..' в первую из ких попадает я, элементов, зо вторую — пз ',; элементов и, наконец, в Л'-ю — пя элементов (пп' = п — :.';!, — п, — лз — ...
— пк г), равно '«8 Теперь ясно, что искомая вероятность укаэанного раэещения равна з! Р)пмям..., як) = з~! зз1,, з ! Ж~ В качестве частного случая рассмотрим эту задачу при п ч,, Ф. Чему равна вероятность того, что в определенных ,ячейках окажется по одной частице, а в остальных по О частнц7 Искомая вероятность, как это вытекает иэ формулы, ранна Если бы нас интересовала вероятность того, что по одной частице окажется в каких-то ячейках, то вероятность оказалась бы иной, больше в Ск раз. Таким обрааом, эта вероятность равна л! рз =Сяр! = !ч (!ч — з)! Статистика Бозе — Эйнштейн». Частицы неразличимы между собой, и тождественными слу' чаями считаются те, в которых в данные ячейки попадает данное число частиц, но какие именно частицы, не имеет значения.
Число всех равновозможных исходов в статистике Бозе — Эйнштейна, как мы сейчас покажем, равно С~+,. В современной Физике эта статистика используется при изучении ряда явлений ядерной Физики. Расположим на прямой Х + 1 вертикальную черточку, Каждую ячейку станем рассматривать как промежуток между двумя соседнимк черточками. Две крайние черточки оставим неподвнншыми и между ними поместим п точек. Станем теперь переставлзть всеми возможными способами !!! — 1 внутреннюю черточку н п точек.
Число возможных перестановок черточек и точек равно (Ф + + и — 1)!. Среди них, однако, имеются тождественные, Действительно, за различные перестановки мы, во-первых, считали те, в которых помепялнсь местами черточки, т. е. стенки ячеек. Таким образом, каждое распределение мы считали (Л" — 1)! раз. Во-вторых, мы считали различными точки, и тем самым кап!доз распределение мы снова считали и! раз. Отсюда число различных з смысле ста- . тистики Бозе — Эйнштейна распределений частиц по 4э ячейкам равно ()У + — 1)! (Ь' — 1)~ и~ Рассмотрим теперь вероятяостн р, н ра для статнс Бозе — Эйнщтейна.
Вероятность попадания по о частнце в заданные и ячеек (и ()т') равна 1 и! (77 — 1)! — (Й+ и — Ц! 'нми-ъ Вероятность попадапня в канне-то п ячеек по одном стнце равна м (т! ()т — 1)! р Си (17 + и — Ц! (77 — )! ФФи-т Статистика Ферми — Днрака. В это' статистике не только уннчто7кена индивидуальность стнц, но н предполагается, что в каждой ячейке мо находнться либо О частиц, либо 1 частица.
Общее чн распределений и частиц но )т' ячейкам (н «.. )т') равно С~ Действительно, первая частица моясет быть расположе ' тт' способами, вторая — (тт — 1) способами, и-я — ()т . ', — л+ 1) способамк. Общее число различных сп равно, таким образом, тт' (Л' — 1)...
( )т" — и + 1 Прн этом подсчете, однако, мы учитывали ннднвнцуа ность частиц. Для тото чтобы исключить ее, нужно э пропзведенне разделить на и(, т. е. на общее число пе становок п частиц. Итак, общее число различных н ра,",, новероятных распределеннй в статистике Ферми — Дпре'," ка равно )У()У вЂ” 1)... ()У л+ 1) =С",. Иптересовавшне нас вероятности р, н р, в статнстнк4' Ферми — Днрака равны 1 и! (У вЂ” и)! пм Унражненнн 1. Чему равна вероитность тоно, что два лица Х,,:. л и окажутся рядом, если онн рассажввасотся вместе с 1 о оса альнымй. лронзаольнмм оорааом в рлд ва 17 мест? 2! 1С! С7имеин — =- 2 17.
17! 2. п девочек и и мальчиков рассаживаются пронавольным обрааом в ряду иэ 2я мест. Какова вероятность того, что никакие дее девочки не окажутся рядомг Чему равна вероятность того, что осе девочки будут сидеть рядому 22(а!)е (я+ 1) (и!)а Отеет: —, (2в) ! ' (2о)! 3. На шахматную доску проичвольным обрааом поставили две ладьв (белую и чорвую), каждую в свою клетку.
Что вероятнее: побьют ети люди друг друга вли нету Ответ: вероятнее, что не побьют, вероятность етого 64 49 = 49(63, 64 63 4. Построить таблицы и графики вероятностей выпадения гер. ба прн числе бросаний монеты о = 5, 10, 15. Отложить р(я (р— число появлений герба) но оси Ог, а по оси Оу вероятности соответствующего авачения р. Что можно скааать о том, как меняются вероятности при увелч женею оу Ответ: см. рве.
15. е г е е е О е о е и а е е Рас. 15, Вероятности успеха при бросании монеты. 5. Частица поглощается екрапом с вероятностью 0,5. Какое минямельвое число таких экранов надо поставить ва пути частицы, чтобы оки поглотилв ету частицу с вероятностью ве меньшей, чем 0,999? 1 Отеет'. 10.(2 ее ( —.) 1000 $ 4. Условные вероятяостн и независимость При рептении вероятностных задач ча "' бывает важно определить вероятность события, ко о нем име|отся некоторые дополнительные сведения. Об ': ная ситуация при этом такова: нужно найти вероятн события А после того, как стало известно, что некото '' событие Л пронэотло, т. е.
нам уже известно, что прон тел некоторый исход, благоприятствующий событнго '. Так, если меа ищем вероятность того, что при бросан'" игральной кости выпадет четное число очков, а нам ста. известно, что выпало число очков, меныпее 4, то это качает, что из трех воаможностей только одна благопр," ятствует наступлению иптересутощего нас события. Предположим, что всех возможных исходов имеется.' и нэ них т, благоприятствуют наступлению события В: Пусть событие В наступило. Вто означает, что наступи' один из исходов, благоприятствующих В.
Уелоений аероятноетью события А прн условия, ч наступило событие В, называется отнотение числа те исходов, благоприятствучощих А, которые благопрнятс „ эук1т и Л, к числу всех исходов, благопрнятствучогднх В' ,'/ту вероятность будем обозначать символом Р (А/В)/ Гслн  — невозможное событие, то будем счита ' Р (А/Л) О. Пусть событию АЛ благоприятствуют ясхожж, тогда по определению Р (А/Л) =- /с'ль .см, что хт :Р (лВ) т Р(я) й(ы получили важное равенство, позволяющее вычис -;:.
лять условную вероятность по вероятностям Р (АЛ) и'.:; Р (В), ялп, как говорят, по безусловным вероятностям, ° Полученная формула обычно используется для подсчета', условных вероятностей. П р и м е р 1. Трое вавтих приятелей живут в одном из'-'-: 50 домов с нояеерахае от 1 до 50. В каждом из этих домов:.' во 100 квартир с, номерами от 1 до 100. Где живет каждый"' вэ виппх приятелей, вы точно не знаете. Вам известно:; лить, что а) номер квартиры первого оканчивается на 3;; б) номер дома второго делится на 5, а номер его кварти;.; эз ры — на 2; в) сумма номеров квартиры и дома третьего равна 100. В каком из этих случаев вероятность попасть в нужную вам квартиру с первого раза наиболыпаяг Обозначим через А событие: номер квартиры оканчивается на 3. Ясно, что всевозможных исходов, благоприятствующих А, будет 50 10 = 500. Пусть  — событие, состоящее в том, что номер дома делится на 5, а номер квартиры — на 2. Очевидно,' что к В состоит из 10 50 500 исходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
