А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким обрааом, е 18 .1 36 Г' ( ) за 2 Р(АВ) = — = — —. —, Р(А) Р(В). з зс а с'г Требуемое доказано. Нетрудно показать, что прн и бросаниях игральи'" кости события, формулируемые относительно отдель '" бросаний, будут независимы в сококупности. Доказате' ство этого факта проводится аналогично только что п "' всденным рассуждениям. Мы перейдем теперь к выводу важной формулы, н щей наименование формулы полной сероятпосты, Пусть для событий А, „„..., Вт известны с ' дующие вероятности: Р (В ), Р (Вт),..., Р (Ва) ',Р (А!В,), Р (А'В,),..., Р (А/Ва).
Пусть далее нам и" ,вестно, что А С Вд ()... (/ В„н события В„попар' юесовместны. Можно ли только по этим данным на ;вероятность события А, и если можно, то как) На э ' ' вопрос исчерпывающий ответ и дает формула поли вероятности. Прежде всего заметим, что имеет место следующее ', венство: А =А (В, () В, ()... () В„) .-- АВ, () АВ,() . ...()А Это равенство торонто иллюстрируется рис. $9. Из несовмостностн событий В~ вытекает несовмесыюо' событий АВ;.
Следовательно, можно воспользовать~ ~еоремой сложения сороятностей: Р(А) — ~ (АВ,); Р(4В,)+... + ( (АВ„). зз Мо йри'любом ! (! ~~ ! ~~ й) Р (АВ,) = Р (В~) Р (А/В,), позтому Р (А) "= Р (В,) Р (А/В,) + Р (Вт) Р (А/Вв) +... ° + (Вх) Р (А/ВД. Это и есть формула полной вероятности.
П р и м е р 4. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом 1, 30% — заводом П, 30%— Рвс. 19. К выводу формулы полиса вероятвоств заводом П1. Для завода 1 вероятйость выпуска брако-''... ванной детали равна 0,05, для завода П вЂ” 0,01, для за-' ''" вода П! — 0,06. Чему равна вероятность того, что на-'"' ", удачу взятая из партии деталь окажется бракованнойз..." Обозначим через А, „„В, следующие события;, ' деталь бракованная, деталь изготовлена соответственно, заводом 1, П, 1П. Нам известны следующие вероятности: 2 3 3 Р(Вг) = го 10' ( ") Щг "Р (А/ВД =- 0,05, Р (А/В,) =-- 0,01, Р (А/Вв) =0,06. По формуле полной вероятности находим, что Р (А) = 0,2-0,05 + 0,3.0,01 + 0,5 0,06 = 0,043, Простым следствием формулы полной вероятности.является так называемая теорема Байеса: Пусть события В; поварка несовместны и А ~ ВгЦ." ...
(/Вт, тогда Р (в;) р (А/ВФ) Р(И;/Л) =- ~х', Р(вг) Р(АЦ) В самом деле, пз формул Р (АВ) = Р (В/А) Р (А), Р (А В) - Р (А/В) Р (В) следует форлгула Байеса Р(В/ !) Р(В] Р(А/В) Р (А) Подставим сюда выражение для Р (А) по формуле полной: вероятностгп положив В = Вп получим угвержде теоремы Байвва.
Эта теорелга находит нам аначения «апо-у стернорных» вероятностей Р (В//А) события В/ после на-,:;:: ступления события А (а ровняет(ог( — после опыта) черен;.'; вначения «априорных» вероятностей Р (В ) (а рг(ог1 — до:,::;: опыта). Пронллюстрируем теорему Байеса на материале;,:/ примера 4, П р и м е р 5. Пусть выполнены условия примера 4,? Наудачу выбранная деталь из партии окавалась брако-.",":, вайной.
Чему равна вероятность, что она была иаготов-'!",:, лена заводом 1, ваводом П, заводом П!? Будем придерживаться обозначений примера 4. Нам,':;-' необходимо найти вероятности Р (В,/А), Р (Вт/А1,'-. г' (В»/А). По теореме Байеса Р (В / !) Р(Вг)Р(А/В ) 0 2'005 (1 233 з 0,043 ~ Р(В.) Р(А!В ) г-г (Ва/.4) — — 0 б —,, - = (1,070, 0,3 0,01 Р (Ва/А) 0 ' .
О,брб. Йтак, вероятность того, что бракованная деталь принад-У, лежит третьему ваводу, в десять рав больше, чем та гке,( Ве)/оятность для второго аавода, н в три раза болыве, чгм1'.:Ь' та йе вероятность для первого завода. Упрагннения 1. 11огда вероятное угадать реаультат: если иаве-.; тно, что сумма очков при бросании двух игральных костей равна .*. или соли ова равна 00? От»сея вероятнее, если сумма равна 10, тогда вероятность';:! равна 1/3.
2. Может ли быть верна формула Р ИА, (~ А,)/В) =. Р (Аед) + Р (Аг/ВБ если А,А, — не пус1ое соГьгтге? Он~го; Мотает. 11аорвмер, если В =- А,А,. 00 3. Имеется 4 урны со следующим составом шаров: 1-я урпа 5 белых и 5 чернйх; 2-я урне — 1 белый и 2 черных; 3-я урлж 2 белых и 5 черных; 4-я урна — 3 белых я 7 черных.
Наудачу выбв ° рвется урва и из иее один птр. Чему равпа вероятвость того, чтя оп окажется червыл«? Ответ: 1/4 (1/2 + 2/3 + 5/7 + 7/10) =- 271/420. 4. Имеются три схемы с неиаделквыми злемевтами (рис. 20)», Наудачу выбирается произвольная из вих, Какова вероятность того, что ока проводит ток? — ® — ЯОтеелт 1/3 (1/8+ 5/8+ 7/8) .—. 13/24» 5 За векоторый промежуток времени амеба ыожет погибпуть с вероятвостью 1/4, е? выжить с вероятвостью 1/4, разделиться ва две с вероятиостью 1/2. В след?тощий промежуток вромепп с каждой аыебой происходит то же самое. Сколько амеб у и с какими вероятиостнми будут существо. вать к концу второго промежутка времени (см.
главу 7)? л/ Отеет: если прп т =. 0 число амеб равнялась 1, то число амеб к копцу второго промежутка будет О, 1, 2, 3, 4 с веро- ? ятясстями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32. У к а а а н и е. Сразвите вычиглеявя требуемых вероятностей с вычислевпем у г уперпозиллил« Н 4 9 г 4 4 Рпс. 20. Олектриче(т))= + л+ — г+~ + — В. скве схемы к задай 32 32 32 32 32 че л'де 1 1 р (е) — — ( — л ) — гг 4 4 2 Легко доказатло что вероятности з»-и момевт времени совпзджет с коэффициентами 1.-кратвой суперпоютции функции р(л), а козффицкент при л» (вероятность вырождения) стремится к мевьщз)гу (неотрицательному) корню уравнения р (т) =.
«. б. Игрок А вазываетчвсло0 пли 1 с вероятвостыо р, и 1 р, соответственно, Игрок В, веаависимо от А, вааывает те же чйслз, по с вероятвостыо р и 1 — рг. Выигрывает А, если сумма четйая, если же сумма нечетная> то выигрывает В, 1?аловы вероятвдспг вывгрьппа длл каждого пз игроков? Ксив А екает рг, то как ему следует выбрать р„чтобы добиться максимальвой вероятности выл г)ль«ша? Отеет: вероятвостк выигрыпла: для игрока А — рлрг+ ела«, для игрока  — рлчг+ ря?,; р, 1, если р » 0,5; р, О, если рг ( 0,5, и безразлпчво при р 0,5.
7. У мальчика в левом кармане 8 ковфеты «Белочка» и 1 коифета «51аска», а в правол« вЂ” две «Белочки» в две «Масти. Он достал дзе конфеть«пз одного карл«аиа„и окаазлссь, что одна из пих «Вс почка», а другая «Маска». Чему равны вероятности того, что ов го«тел кокфялъл из левого кармана, из правого кармава? Ответ. '3/7, 4/7. й 5. Последовательиосге независимых испытаиий Формула Бернулли В самом яачале формировапия основных по',," иятий теории вероятпостей выяспиласьфундамепталькаи,- роль одной математической схемы, изучеппой известпыы',,",.' швейцарским математиком Я. Берпулли (1654 — 17051,:,'-' Эта схема состоит в следующем: производится последова-':;::: тельпость испытакий, в каждом из которых вероятпость на.:!: '; ступлепия определопиого события А одна и та п~е и равпа р',",~' Испытания предполагаются независимыми.
В это вкла'.:.; дывается следующий смысл: верояткость появлепия сабы-"!, тия Л в каждом из испытаний пе зависит от того, появи-':"::,; лось или ве появилось это событие в других испытаниях ха 1предшествующпх или последующих). Последовательпоств.',:,'. независимых испытаний с двумя исходаиия впервые иссле-.:,:,';-' дованпая Я. Бернулли, носит назвапие последовательпости"' иепыитний Бернулли.
Приведем несколько примеров. Два шахматиста усло-'::;" вились сыграть 10 партий. Вероятпость выигрыша каждой 1 отдельпой партии первым игроком равпа 2/3. В этом при-' ':", мере мы каждую партию можем считать за отдельпое ис-',;:,':,."' пытание. Всего производится 10 испытапий. Предпола-'.".; гается, что результат каждой сыграпяой партии пе вли- ",", яет на результаты остальных партий. Спрашивается, '."' чему равна вероятпость того, что вся игра будет выиграна,!-' первым игроком? Известно, что в некотором городе в течение года роди- .-, лось 400 детей. Вероятность рождения мальчика при каяг-';;,'-'г дом рождении равна 0,5. Под испытапием здесь мы будем;~„' понимать рождепие ребенка.
Достаточно ясно, что испы-'-:.":.~ талия можпо считать пезависимыми. Спрашивается, чему,:,', равна вероятность того, что число родившихся мальчиков'.:;:~~ окажется между 180 и 220? Производятся иезависимые испытакия партии изде-',:,.'' лий иа длительность безотказяой работы. Известно, что '';:-,, вероятность того, что копденсатор откажет до истечеяия ',!'..
10 000 часов непрерывной работы, равна 0,01. г1ему рав-,!-';,, кя вероятность того, что в течение 10 000 часов испытапий::',,' отказ.ут О, 1, 2, 3 коиденсатора? Число важных в практическом отложении примеров мокше увеличивать неограниченно. Одпако яам пужяо.":::: иное — получепие общих математических результатов,:,",; в2 которые позволяли бы решать все подобные задачи единым способом. Необходимые для атой цели формулы были найдены Я. Бернулли. Них выводу мы теперь и переходимм. Задача состоит в следующем: производится и независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р.
Найти вероятность того, что событие А наступит т раз в и испытаниях. Заметим сначала, что в кая1дом испытании пас интересуют два исхода — наступление и ненаступление события А (по традиции «успех» и «неудача»). Вероятность наступления события А в определенном испытании равна д — 1 — р. Вероятность того, что событие А наступит при определенных т испытаниях, а прн остальных и — т (такн(е определенных) не наступит, в силу теоремы умноженйй вероятностей равна Но событие А может произойти при любых т из и возможных испытаний. Число всех различных выборов т элементов из и равно С~'. Поэтому, в силу теоремьг сложения вероятностей, искомая вероятность, которую мы станем обозначать символом Р (т), равна: Р„(т) = С„р'"д"-"'. Эта формула носит название фарл»улм Бернулли, Формула (1) дает, в частности, вероятность того, что событие А произойдет во всех и испытаниях, Р ()=р"; в ролтность того, что она не произойдет пи разу, Р„(0) — — д".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
