А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда т,~п» т,~'пм..., т,'ид образуют ряд соответственных частот. Явление статнсткческой устойчивости состоит в том, что частоты, полученные прн достаточно больших значениях п„п„..., п„обнаруживают незначительные отклонения друг от друга или от некоторой средней величины. Например, еще в ХЪ'111 веке было замечено, что среди обычной корреспонденции письма бев адреса обладают определенной устойчивостью, Да таблички на с, л9, собранные по материалам русск'" почтовой статистики, свидетельствуют о том, что на п" тяакеяии нескольких лет на иаждый миллион писем пр' ходилось в среднем 25 — 27 писем без адреса.
Приведем также данные о рождаемости в Швеции $935 год по материалам Г. Крамера (л — число рождени и/л — частота рождения мальчика): месили пп и 7609 0,518 ' 0,514 6957 0,510 7883 0,510 7884 0,529 7892 0,522 и/л Месс х~ хп за гса 7585 7393 7203 6903 6552 7182 0,523 0,514 0,515 0,509 0,518 0,527 ~ 88273 0,517 п ие/и Несмотря на то что общее число рождений меняется ц-': течение года, частота рождения мальчика довольно ус:;; тойчнво колеблется около среднего значения 0,527.
Таке", го рода статистические закономерности были открытьг" довольно давно, еще в ХЧШ веке, в демографических ма-!' терналах — при изучении статистики рождаемости, смерт-: ности, несчастных случаев и т. д. и ее использовании, на-:: пример, в страховом деле. Позже, в коеще Х1Х и начале.';, ХХ века были обнаружены новые статистические законо-',:.
мерности в физике, химии, биологии, экономике и других,' науках. При вероятностном анализе этих данных основа-:.". нием для количественных оценок вероятности обычно мо-: гут служить только сами эти статистические данные. Итак, по поводу связи вероятности с частотой нужно иметь в виду следующее. Прн конечном числе и испытаний: при неизменных условиях доля числа испытаний т, в ко- .:.
торых данное событие появится, т. е. частота события ''- пе/и, как правило, мало отличается от вероятности р. И чем больше число испытаний, тем реже встречаются.';: сколь-нибудь значительные отклонения частоты ле/и от ".'.;. вероятности р — ч а с т о т а о т к л о н е н и й стано-..:!, 30 антея все меньше. Это утверждение о близости частоты.'.' з вероятности математически уточняется законом боль. 1аих чисел в форме теоремы Бернулли, о которой будет расскааано в главе 3. Проводя болыпое число наблюдений, кы принимаем частоту за приблюкенное значение вероятности, существование которой и постулируотся на основазпи результатов наблюдений.
Способы оценок неизвестзой вероятности по результатам наблюдений будут про. демонстрированы на примере задач з 4 главы 6. При третьем подходе к определению вероятности— а к си о м а т и ч ее к о и — вероятности аадаются х(й, речислением их свойств. Простейшие свойства вероятнос, ти определяются естественными свойствами частоты т/и 1) 0», тlи~(1; 2) если событие появляется при каждом испытании, т. е. оно достоверно при любом и, то т = и й т/и=1; 3) если тг из и испытаний привели к осуществлению события А, а т» — к осуществлению события В, и при атом ни в одном из и испытаний события А в В не появй-.
лись одновременно, то частота т события, состоящего в появлении либо Л, либо В, равна т1и — -- п» ~и + т (т При изложении теории вероятностей свойства вероятности формулируются в виде аксиом. Ныне принятое аксиоматическое определение вероятности было введено в 1033 году А. Н. Полмогоровым. Для случаев, которые. рассматриваготся в книге, вероятность задается как числовая функция Р (Л) на множестве всех событий, опредсляемых данным зкспориментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам: ' 1) О < Р (Л) < 1 2) Р (А) = 1, если Л вЂ” достоверное событие( 3) Р (А (» В) .=- Р (Л) + Р (В), где событие Л ()'В ' означает осуществление яли события Л, клк события В» причем Л и В не ма~у» прои»айти одновременно.
Эти аксиомы в простерппих случаях кровераются (см. подробнее е главе 3), в более слон ных случаях служат единственным способом задания вероятностей. Однако ни аксиомы, нк классический и статистический подходы к определению вероятности не дают исчерпывающего определения реального содер»казня понятия лвероят-. ность», а являются лишь приближениями ко все болев й1 полному его раскрытию.
Предположение 'о том, что данных условиях для данного события существует вер ность, является гипотезой, которая в каждой отдель задаче требует проверки и обоснования. Например, и смысл говорить о вероятности попадания в цель задан размеров с заданного расстояния из оружия извести образца стрелком, выбранным «наудачу» из определеннг()(~« го подразделения.
Однако было бы бессмысленно говорит~:-'. о вероятности попадания в цель вообще, если об условия»г'. стрельбы ничего неизвестно. По численным значениям вероятностей, определеннымь' классическим или статистическим способом, могут быть вычислены по правилаитеорип вероятностей новые вероят". ности. Например, если вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна ч/», то вероятность того',: что при четырех «независимых» бросаниях монеты хотя) бы раз выпадет герб, может быть вычислена следукяпя»«' образом. Вероятность события, состоящего в том, что герб: не выпадет вовсе при четырех бросаниях, равна 1/2', так' как этому событию благоприятствует лишь один исход, из общего числа 24 равновозмояшых (в силу симметрии.
монеты) исходов. Так как оба рассматриваемых события взаимно исключают и взаимно дополняют друг друга, той сумма их вероятностей (это следует из свойств 2 и 3) рав ':-,: на 1. Мовтону искомая вероятность равна 1 — ('/»)' =-" = '»/,« =- 0,9375. Заметим, что частота этого события в'х знспери»»енто из 20 160 бросаний четырех монет, проделан'«'.'йу ном В. И. Романовским (1912 г.), приняла значение 0,9305,.":~ Подробно о правилах вычисления вероятностей»н» рас-"',."~ скажем в следующей главе. Очевидно, что утверждение, что вероятность какого-:: й либо события весьма блиака к единице, имеет гораздо':",." болыпую практическую ценность, чем утверждение о том;,,", что событие наступает с вероятностью, равной, например, '-' "».
Это объясняется тем, что мы интересуемся практиче-" ски достоверными выводами и стреми»1ся к ним. К примеру, при 10 бросаниях симметричной монеты появление десяти:- гербов или десяти решен очень маловероятно; яероят-.'''( ность этого события равна 1/2" = »/»«»« — - 0,00098. Но и утверждение, что герб выпадет ровно пять раз, не имеет,:: достаточных оснований, хотя зта вероятность в 252 рава:. больше пРедыдУщей: С»»»/2" = м»/г»»« — — 0,24609.
Более того, утверядая, что герб выпадет 4, 5 или 6 раз, мы « еще довольно сильно рискуем ошибиться; вероятность 32 этого события равйа ' '„э м "=" — = 0,65625. .; Наиболее достоверный прогноз возможен лишь в отноше- нии события, заключающегося в появлении герба хотя :;,; бы раз, но особой практической ценности утверждение об <: осуществлении этого события не имеет, так как это собы- :;"' тие противоположно очень маловероятному событию, : которое состоит в кевыпадении герба вовсе.
Однако увели- чение числ» испытаний делает прогноз более содержатель- ным и надел<ным. При 100 бросаниях симметричной моне- ' аы уже без практически ощутимого риска можно заранее утверл<дать, что число вьшавших гербов будет лежать между 39 и 6$; вероятность этого события равна 61 ~ с"„, = 0 97876 э1ю следовательно, мы можем считать это событие практиче- ски достоверным, но при этом отдавать себе отчет в том, ,что если, например, данный эксперимент производится '400 раэ, то в среднем приблизительно в двух случаях зяэ будем встречаться с событием', противоположным данному, так как вероятность противоположного события равна 0,02124.
Для сравнения укажем, что вероятность того, что число гербов заключено между 35 и 65, равна 0,99822 Решение вопроса о практической достоверности, к ко- торому приводит описанный вьппе расчет, непосредствен- но связано с вопросом о том, какими вероятностями можно пренебрегать на практике. Этот последний вопрос ре- шается в каждомотдельвом случае по-разному и, как пра- вило, за рамками теории вероятностей. В большинстве случаев пренебрегатот уже верояпюстями 0,05. Если ус- ловия практической задачи допускают такую долю оши- бок (в среднем 5 случаев на каждые 100 экспериментов), то мы считаем событие, происходящее с вероятностью 0,95, практически достоверным.
В других, более деликат- ных случаях принято пренебрегать лишь вероятностями 0,00$, а иногда требовать и еще болыаего приблин<ения вероятности отсутствия ошибки к единице. Эти рассуж- дения основаны на практической уверенности в том, что если вероятность события очень мала, то при однократном испытании это событие не осуществится. Примеры подоб- ных рассун<дений о практической достоверности будут обсуждаться в главе 6.
Э л, н. коаматаров э ар. гллвл з ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ й 1. Определение вероятности Рассмотрим испытания со случайными и ходами. Пусть при как»дом испытании может появитьс любой из п равновероятных исходов, и только опи. О значим их символами Е„Е»,..., Е„. При бросании мов ты могут появиться только два исхода: Š— герб и Ет решка, При бросании игральной кости могут проиаой ' 6 исходов: Ег, Еы Е„Е», Е», Е„, соответствующие выпад ' нию одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков. Е ли в лотерее имеется 1000 билетов, то при вынимании одн ' го билета имеются 1000 равповероятных исходов, Любое возможное множество исходов мы будем па вать случайным событием.
Так, например, при бросали, игральной кости выпадение четного числа очков, т. Е,:. появление либо грани с двумя очками, либо с четырьмя»' либо с шестью, является случайным событием. Точно та ": же выпадение грани с тремя очками является случайн событием. Появление любого нз событий Е„, Е„Е, Е:: ф.'», Ею т. е. появление какого-либо числа очков, так валяется случайным событием. Это случайное собьгг'' обладает одной особенностью, опо обязательно наступа " и поэтому называется доппоаерных» событиел».
Пусть А — некоторое случайное событие и оно н ' ступает тогда и только тогда, когда наступает хотя б одна из т различных определенных исходов из общег' числа гг возмо»ггных. Вероятностью события А называет»' ся отношение т(п,— как говорят, отношение числй благоприятствующих событию А исходов к числу всей' возможных. Вероятность события А обозначают симзолотй, Р (А».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
