А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326)
Текст из файла
Д~ ВИБЛИОтКЧКЛ КВАНТ ~:У вьпвск 23 А.Н. КОЛМОГОРОВ И.Г. ЖУРБЕНКО А.В. ПРОХОРОВ Ф~ $8скини 6.:п~..«и 0МУ МОСКВА «КАУХХА« ГЛАВНАЯ жДАКПИЯ ФИЭИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ ХХКТфРАТЛ'ЬХ . ХЕВЗ РВДЛНЦИОННЛЯ НОЛ ЛНГИЯ. Лкадемик И.К. Кикоин (председатель), академик Л. 11. Кол моторов (заместитель председателя)„доктор фив.-матем. наук .Н.
Г. Асламавов (учекыи секретарь), члги-варреспоидаитр АН СССР Л. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, яарг,, гссмс.р.с г р,„„р )а гу,»е н.а.к, рэ, рсв.г. пика, академик С. П. Новиков, академик 10. А. Оснкьппр академик ЛПН РСФСР В. Г. разумовский, аяадемик Р. 3.
Сагдеев, каидидат хим. паук М. Уй Смолнпский, профессор Я. А. Смородивский, академик С. Уй Соболев, ччеи-корреспоидеит ЛИ СССР )(. К. Фаддеев, члгв-корреспондент ЛН СССР И. С. Шкловский. 170ЗВЗЫ-106 ' 088(02) 82 191-82 ББК 2217 М7.8 © Ивдательстю р Наук ар, Главная редакцвя Флера с-математнческои лвтературы, $992 1702р)60000 — 106 088(02)-82 Колмогоров А. Нм хКурбенно 'И. 1'м Прохоров А. В.
К б0 Введение в теорию вероятностей.— Мл Наука. Главная редакции физико-математической литературы, .»982, 160 с.— (Библт«отечка «Квант». Вып. 23)— 25 коп. В книге на простых примерах вводятся основные понятия теории вероятноотей Наряду с комбинаторным определением вероятнаств рассматриваетсн статвстнюгкое определение. подробно аналвавруется рщучанпое блужданррг па прямой, опнгыюющее Фнанческве процессы одномерного броуновского днюкенвя мсгнц, а также рпд других прямо»с~в. для жколанннав, студентов, преподавателей, лнц, ваплмыощихся самаобраюванвем.
ОГЛА$$ЛКЕ$$$Е РЛСПРЕДЕ- 1 ° Предисловие Г л а в а 1. ИОМБИНЛТОРНЫЙ ПОДХОД И ПОНЯТИЮ ВКРОЯТНОСТИ $1. Перестановки $2, Вероятвость $3. Раввавозможные случаи $4. Броуновское движение и задача о блуждавии на плоскости $5. Блуждание во прямой. Треугольник Паскаля $6, Бином Ныотова $7. Бикомиальвые коэффициенты и число сочетаний $8. Формула, вырикзющая бикомиальвые коэффвциенты через факториалы, и ее примеиение к вычисленшо вероятвостей $9.
Формула Стирлинга Глава 2. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧЛСТОТЛ Глава 3. ОСНОВНЫК ТЕОРКМЫ О ВКРОЯТНОСТЯХ $ 1. Определение вероятности $ 2, Оверации с событиями: теорема сложения вероятностей $3. Злемеяты комбивзторвки и применевин к задачам теория вероятностей $4. Условные вероятвости и веаависимость $ 5. Последовательвость иезазясимыл испытаний, Формула Бервулли $6. Теорема Бервулли Г л а в а 4. СИММЕТРИЧНОЕ СЛУЧЛЙНОЕ И1У?ЕДЛНИЕ $1.
Введевие $2. Номбияаторные осповы $3. Задача о возвращевви частицы в начало координат $4. Задача о числе возвращений в качало коордиват $ 5. Заков арксивуса $6. О симметричном случавном блуждании ва ялоскости и в пространстве Гл а в а 5. СЛУЧЛЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ЛЕНИЕ ВЕ1'ОЯТНОСТЕИ $1. Повятие случайной величины $2, Математическое ожидавие в дисиерс 7 7 9 10 М 17 21 22 23 25 62 69 74 ?4 31 36 91 102 102 106 3 $8; Закон болящих 'чисел и форне Чебышева Н4 '4 4. Проиаводящие функции ' 117: Г л а а 0. ПОСЛЕДОВАТЕЛБНОСТИ ИСПЫТАНИИ БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДИ 120 '. $ 1. Исаытанин Бернулли 120 1 2. Случайное блунщание иа пряной, соответствующее схеме Бернулли 122 .
$ 8, Задача о рааорении 127 4 4. Статистические выводы 132 Г л а в а 7. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 142 . 4 1. Общая яостановна задачи 142 1 2. Производящая функция величины а„144 1 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной еелвчивы з„ 145 4 4. В«роятяость выроященяя 145 $ 5. Предельяое поведение зз 150 Заксноченяе 155 Данная книга рассчитана на читателя, пожелавшего на элементарном уровне ознакомиться с основными понятиями теории вероятностей и составить себе некоторое впечатление о возможных применениях этой области математики, бурное развитие которой приходится на последние десятилетия.
Широкое распространение вероятностных методов в самых различных областях науки и техники было связано с тем, что с помощью этих методов удалось получить ответы на многие естественнонаучные задачи, долгое время не поддающиеся решению. Книга не ставит перед собой цели охватить все возможные применения теории вероятностей, тем более что на злементарном уровне зто сделать вообще невозможно. Б то же самое время привести интересные примеры использования вероятностных методов в простейших практических ситуациях являлось одной из главных целей книги. В качестве таких примеров достаточно подробно изучаются основные закономерности броуновского движения, проводится исследование процессов гибели и раампожения, приводятся некоторые другие примеры.
Естественно, что приведенные результаты являются лишь злементарным введением в указанные области науки, позволяанцим, том не менее, составить у читателя чувство близости к соврсменпыч естественнонаучным проблемам. Глава 1 служит общим введением в комбипаторкыс начала теории вероятностеи, все идеи и иллюстрации атой главы получают дальнейшее развитие в следующих гла зах. Главы 3, 5 посвящены определениям и доказательствам основных закономерностей теории вероятностей ~ а основе классической вероятностной модели.
В зтих главах подготавливается почва для перехода к произвольным дискретным вероятностным моделям, потребность в кото- рых продиктована конкретными естественнонаучными задачами, разобранными в главах 4, 6 и 7. Проблема отношения основных вероятностных понятий к опыту затрагивается в главе 2. Здесь обсульдается происхождение классического определения вероятности, дается ее статистическое определение, намечается аксиомаь пческий гьодход. В главе 4 рассматривается простейшая модель симметричного случайного блуждапия частицы на прямой и на плоскости. Простыми комбинаторными методами решаются трудные задачи, имеющие занимательную формулировку и неожиданные ответы. Это задачи о возвращении частицы в исходное положение, о достижении некоторого уровня, о времени пребываниьу частицы в некоторых границах.
В главе 6 большая часть этих проблем развивается в несимметричном случае. Решается классическая задача о рааорении. В последнем параграфе приведены примеры самых простых задач математической статистики с решениями. Вопросам неограниченного роста популяций или их вымирания посвящена глава 7. В основу данной книги легли курсы лекций и семинаров авторов, 'неоднократно на протяжении последних лет читавшиеся в Московском государственном университете и ьризико-математической шкоьье при МГУ. Главы 1, 3 и 5 близки по содержанию к статьям Л. Н.
Колмогорова и В. В. Гнеденко, И. Г. Журбенко, опубликованным в журнале «Математика з ьпколе» в 1968 годУ. Весь текст книги постоянно сопровождается большим количеством примеров и задач, часть которых в зависимости от трудности решается полностью, па остальные даются только ответы. Книга будет доступна школьникам старьпнх ььлассов> проявлязлцим интерес к математике и ес применениям.
Она может также оказаться полезной студентам младшиМ курсов самых различных специальностей, интересующим ся применениями теории вероятностей в своих областях. А. Е1. Колльоеороу, ХГ, Г. Журбеяко, А. В. Прохоров ГЛАВА 1 КОМБПНАТОРНЫП ПОДХОД К ПОНПТПТО ВЕРОЯТНОСТИ 4 1. Перестановки Две буквы А и Б можно расположить одну ва другой двумя способами: АБ, БА Три буквы А, Б и В можно расположить в виде последовательности уже гяестью способами." АБВ, АВБ БАВ, БВА ВАБ, ВБА 'Для четырех букв получим 24 разных способа их рас-положения в виде последовательности: АБВГ, АБ1'В, Г>АВГ, БАГВ АВБГ, ЛВГБ, БВАГ, БВГА АГБВ, АГВЬ, БГАВ, БГВА ВАБГ, ВАГБ, ГАБВ, ГАВБ ВБАГ, ВБГА, ГБАВ, ГБВА ВГЛБ, ВГБА, ГВАБ, ГВБА Скальвини способами можно располоягить десять букв в ваде последовательностиу 11еребрать все способы расположения здесь было бы трудно.
Для ответа на воироС желательно обгцее правило, формула, которая поаволяла бы сразу вычислить число способов расположения и буна в виде последовательности. Число'зтих способов обозначают п1 (я с восклицательным знаком) и называют «и-факториал». Найдем это число. Мы уже видели, что 21=-2, 31=6, 4! =24. 7 1'в.кдый способ расположения данного числа букв в по- .' следовательности называетск иере«глино«кой. Очевидно, 7 что вместо букв можно взять цифры нли любые другие предметы. Число перестановок четырех предметов равно 4! =- 24.
Вообще и! есть число перестановок и предметов. Заметки эгле. что полагают 1! =1 (один предмет не с чем «пореставлять», из одного предмета »южно сформировать только одну «последовательность», в которой этот предмет стоит на первом месте).
1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3)=1 2 3=6, 4! 1234=24. Напраюивается гипотеаа: число перестановок и предметов равно произведению первых и натуральных чисел~ и! = 1 2 3 . . ° и. (1) Гипотеза ага верна. Для докааательства заметим, что в случае и предметов ка первое место можно поставить любой из и предметов. В каждом из этих и случаев остающиеся и — 1 предметов »южно расположить (и — 1)! способами. Поэтому получим всего (и — 1)!и способов расположения и предметов! и! (и — 1)! и. (2) !'ри помощи формулы (2) получаем последовательно: 2! == 1! ° 2 1 2, 3! = 2! 3 = 1.2 3, 4! =' 3!.4 = 1 2 3 4, 5! = 4! 5 = 1 2 3 4 5 = 120 и т. д.
Знакомые с принципом математической индукции мо- гут заметить, что вывод формулы (1) иэ формулы (2) вспольвует этот принцип, и провести строго формальное рассуждение. Теперь у;ке нетрудно вычислить число перестановок десяти букв~ 10! 1 2 3.4 5.6 7 8 9 10 = 3 628 800. В Семь букв разрезной азбуки А, А, Б, В, К, У, Ш положены в мешок, откуда их вынимают наудачу н располагают одпу за другой в порядке, в котором сан появляются. В результате получается слово БАБУШКА. В какой мере такой факт надо считать удивительным, быть может, заставляющим предполагать, что мы присутствуем при нарочно подстроенном фокусе? Занумеру< ч наши семь карточек с буквами".
1 2 3 4 5 6 7 А А Б Б К У Ш Пт можно пясполоя<ить по порядку снособамн. Из зтнх 5040 случаев слово БАБУШКА получится в четырех: 31 4 6 7 52 41 3 6 7 5 2 Б АБУШКА БАБУШК А 32467514236751 Б А Б УШ КА БА БУ Ш К А Говорят, что из общего числа случаев (5040) четыре случая благопри тствуют появлению занимающего нас события (заключающегося в том, что из вынутых букв сложилось слово БАБУШКА). Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев в подобных задачах называют вероятностью события.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
