А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Таким образом, Р (А) = т/н. В частности, при любом 1 (1 ~ $ ~( и) Р (Е~) = 1/и, а для события б; происходящего каждый раз, когда насту- дает какое-то из событий Ен которому благоприятствуют зсе возможные исходы, Р(П) =1. Событие Г и в обще»г случае называется достоверным. П р и м е р 1. Лотерея состоит иа 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Вынимается произвольный (обычно говорят «наугад») билет иа 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный) Различных исходов в этом примере 1000 (и = 1000).
В интересующее пас событие А входят 150 исходов, следовательно, т = 150. Таким образом, согласно опредеэ~ взю: $50 3 Р(А) 1ооо го ' П р и м е р 2. В полученной партии деталей оказа- лось 200 деталей первого сорта, 100 деталей — второго сорта и 50 деталей — третьего сорта. Наудачу вынимает- ся одна из деталей. Чему равны вероятности получить деталь первого, второго нли третьего сортау В нашем примере и = 350, Обозначим соответственно через А, В, С случайные события, состоящие, соответст- венно, в получении детали первого, второго или третьего сорта.
Легко видеть, что Р(А)= — = —, Р(в)= — = —. 200 4 400 2 350 7 ' 350 7 Р(С) = — '„„ 50 1 П р и м е р 3. Бросается игральная кость. Чему рав- ны вероятности следующих событий: А — выпадет грань с 6 очками,  — выпадет грань с четным числом очков, С вЂ” выпадет грань с числом очков, делящимся на 6? В нашем примере и = 6. Событию А благоприятствует только один исход, событию Н вЂ” три исхода, событию — два исхода. Таким образом, Р(А) =,', Р()7) з ' Р(С) П р и м е р 4.
Известно, что з школе с 900учащнмися имеется 60 учеников, которые по всем предметам имеют г Зз отличные оценки, 180 учеников только по одному пре' мету имеют хорощую илн удовлетворительную оценк а по остальным отличные, «50 учащихся не имеют ни одн ' отличной оценки, а 20 учащихся имеют отличные оцен ' по всем предметам, кроме одного, по которому у них оце ' ка неудовлетворительная. Чему равны вероятности, встр ' твз учащегося этой юноны, (Л) — увидеть отличника' (В) — учащегося, у которого хотя бы по одному предмет имеется отличная оценка, (С) — учащегося, у которог только по одному предмету нет отличной оценки? В катом примере п -= 000.
Вероятность первого с, бытия находится просто, она равна Р(') = ."'х, = —,' Событию В благоприятствуют все учащиеся, за искл чспием 150. Таким образом, ~'е Р(В) = — ' ООО 6 Событию С благоприятствуют, во-первых, 180 учащих ся, у которых оценки по всем предметам «положнтельные ' и только по одному нет отличной оценки, а также 20 уча' щихся, имеющих по одному предмету неудовлетворител яую оценку н по остальным отличные. Следовательно, Р(С) =," $ 2. Операции с «овытнями: теорема ело«ке«в«я вероятностей Для дальнейпясго нам полезно ввести пеко", торые понятия. Суммой или объединением событий А и В назовем с ". бытпе, состоящее как иа исходов, составляющих А, та'.
и кз исходов, составляющих В. Те исходы, которые вхо-":. дят и в Л, н в В, считаются только один раз. Сумму собы;; твй А и В мы будем обозначать символом Л () В. Пусть Л н В обозначают выпадение прн бросании иг',: ральной кости соответственно четного числа очков и чн ла очков, кратного трем. Событие А состоит нз исходо' Е«, Е«, Е«', событие  — из исходов Е«,Е«. Событие А ~,' В состоит из исходов Е.„ Е«, Е„ Е«.
Исход Е« у на:, встречался как в событии А, так и в событии В. Заметим! что событие В мы можем ваписать также в виде суммы, событий Е» и Е» Понятие суммы распространяется естественным путем на любое число событий А, В, ..., № Событие А ()В) )...
... О )» состоит иа тех и только тех исходов, которые входят в состав хотя бы одного ив событий А, В,..., № Теперь и событие А, приведенное нами только что для иллюстрации понятия суммы двух событий, мы можем аа- писать в виде суммы А = Е» () Ев 0 Е» Пересечением двух событий А и В нааовем событие, состоящее из тех и только тех исходов, которые входят как к А, так и в В. Такое событие будем обовначать А П В пли АВ.
В примере с бросанием игральной кости пересечение событий А и В состоит иа одного-единственного исхода Ев. Таким образом, АВ = Ев. Понятие пересечения событий естественно распростра- няется на любое число событий А, В,..., № Пересече- пием событий А, В,..., Л' нааовем событие АВ... Л', состоящее иа тех и только тех исходов, которые входят в состав каждого иа событий А, В,..., № Проапивопололснаьи собъипием или дополнением собы- тия А нааовем событие Л, состоящее иа всех тех исходов, которые не входят в состав А. В иллюстративном примере с игральной костью собы- тке А = Е () Ев () Ев состоит в выпадении нечетного числа очков", событие В =- Е, Ц Е, О Ев () Е„ т.
е. со- стоит в выпадении числа очков, не делящегося на 3. Очень наглядна и часто бывает полезной геометриче- а'ая иллюстрация понятия события и только что опреде- ленных понятий. Представим себе, что каждый исход иао- брюкается точкой на плоскости. Событие мы будем обо- евачать, ваяв определенные точки в рамки и вюптрихо- кав полученную область. На рис. И приведены события А,В,Л,В,А () В, АВ. Для приведенной на рнс. И иллюстрации общее число исходов равно 36.
Подсчитав число точек, находящихся в соответствующих заштрихованных областях, находим, что 1 16 4 Р(А)= —,= —, Р(71)= — = —,„, 36 4 27 3 20 6 — — Р(В)= зе =+ Зе 4 ' Зе Р(А()В)= 36 = „, Р(АВ)= „. =-,. 21 7 4 1 37 А ив Рис, 11. Иллюстрации суммы с ссвсссчснии событий. Говорит, что событие Л сллчст за собоиз событие В (го, рлт также, что В содержит, явлветсв следствием, вал чнет Л), и обознача1от зто символом Л С В (или В > ~ели все исходы, составлакюцие А, входит и в В, Очевиу1ио, что всстда Л С А (( В, АВ С Л (иове В С..
Л ~: В, ЛВ С В1 Для операций над событиями часто используют скобки, чтобы показать, в какой последовательности пйедует производить действия. Например, (А () В) (В Ц С) означает, что сначала нужно найти сумму событий А и В, а также В и С, а затем взять пересечение получившихся событий. Обратим внимание па то, что в том множестве случайных событий, которое мы ввели, операции пересечения со. бытий и нахождении противоположного события выполнимы пе всегда. Действительно, если события А и В не содержат общих исходов, то их пересечение не является событием при данном нами определении (оно не состоит из каких-нибудь исходов). Точно так х~е, если событие А является достоверным, то противополон;нее ему событие 'А в определенном нами классе случайных событий не существует.
Чтобы исключить такие возможности, мы попалиим класс случайных события яееозлшжным гобытпем, в которое не входит ни один из исходов. Иными словами, певозмогкпое событие состоит из пустого множества исходов. Обозначим певозмох<ное событие символом Р Теперь мы у~ке свободны от возможных исключений и моягем говорить, что операции пересечения событий и нахопгдения противоположного события всегда выполнимы. В частности, ():= Р; Очевидно, что мы должны лоложн'".ь 'Р (г') == О. Про события А и В говорят, что они несоаклстнм, если их пересечение является невозможным событием. Если Л и В несовместны, то Р (АВ) =-.
О. Сформулируем теперь несколько свойств вероятности. 1. Для каждого случайного события А определена его вероятность Р (А), причем 0( Р (А) ( 1. 2. Для достоверного события С имеет место равенство Р(У) =1. 3. Если события А н В несовместны, то (теорема сложения вероятностей): Р (А Ц В) = — Р (А) + Р (В) 4. Для противоположных событий А и Л имеет место равенство: Р (А) 1 — Р (А).
Первые два свойства очевидны и следую~ ив самого определения вероятности случайного события (включая, естественно, и невозможное). 39 .: Докажем свойство 3. Пусть событие А содержит', исходов, а событие  — й исходов. Поскольку, по н " положению, события А и В несовместны, то соб А и В состоит ровно из пг + й исходов. Теперь, " определению, ггг+» т» Р(Л и В) *= =. — +— Но Р (А) =-- гпlп, Р (В) = йlи.
Это и доказывает сво ство 3 — теорему сложения вероятностей. По определению противоположных событий А и змеем: 1) А и А = 0 и 2) Л и Х несовместны. Поэтом' в силу свойства 2 Р(Л иА) =-:.1, а в салу свойства 3: Р (А и л) = Р (л) + Р (л) Пвойсгво 4, таким образом, доказано.
Докажем теперь одно обобщение свойства 3. Пус,' события А, Л»,..., А» попарно несоалгсспгнм, т. е. дл' каждой пары событий Л, и Лг при г пь у имеет лгесто р ' венство Лглг = )г. Тогда: ' (л, () л, и... и л„, и л„) = Р (Лг) + Р (Л») + + Р (Л»- ) + Р (Лд Действительно, события Лг и Л и ° ° ° и Ал-г н А' ' ' ' л, и л, и ..( и А». Поэтому в силу теоремы ело»кения Р (А, и л и... и А~, и л») = = Р (Аг и Лл и .
и Л»- ) + Р (Адг По теперь снова события Аг (/ Л и ° ° ° и -4».-» лг -4»- г есовместны и в сумме дают Аг и А» и ° ° и Л»-» ноэтсму в силу теоремы слогг<спггя (л, ил,и... ил,, ил,,)= = Р (Л, и А, и ° ° ° и Л»-») Л Р (Л»-л)-:" Ч аким образом, Р(л ил.и . ил) == Р (Аг и Ал и ° иг А»-) + Р (Л»- ) + Р (Л») гго . Повторив проведепийб рассуйдения еще Й вЂ” 3 раз,. мы завершим доказательство обобщенной теоремы сложения. П р и и е р 1. В аритечьном зале кинотеатра имевотся 9 рядов, пронумерованных подряд числами от $ до 9, а в каждом,'ряду по 9 кресел, такя<е пронумерованных лвсл 1 в в 5 6 7 а а 1рвл Рав.:.2. Иллввгтрвцвя в аааачс о аааотеатре.
числами от 1 до !;.,'кроталь наудачу занимаетместо. Чвго вероятнее: сумма номеров ряда и места в ряду окажется четной или нечетной? Пусть А — событие, состоящее в том, что указанная сумма будет четной. Тогда А распадается йа сумму попарно несовместных событий Ав„Ав, Ав,..., Авм где Ав означает событие, состоящее в том, что сумма номеров ряда н места оказалась равной Е По теореме сложеяпя: Р (А) Р (Ав) + Р (Ав) + ° ° . + Р (.4м). Из рнс. 42 непосредственным подсчетом получаем: 1 3 Р(Л,) = — „, Р(А.)= —;, Р(А,)=,",, т Р(Ав) = —, 8С Р(Аы) = ас Отсюда: Р(Асв)= 81 в Р(Авв) ас Р(Асв)= 81 Р(Авв) = 8с ° з 1 Р (А) = 4У81 Рис. $3.
Электрические схема| к примеру 2. Поскольку событие, состоящее в том, что иптересующая,в иас сумма будет нечетной, противоположно событию А,'!с то его вероятность равна: Р (А) = 1 — Р (А) = 40/81, Мы видим, таким образом, что Р (А) ) Р (А). П р и ме р 2. Имеготся три электрические схемы;,'', состоящие каясдая иэ 4 выключателей. Каждый из выклю'!' чателей с вероятностью 0,5 может быть включен и выклю-'-"- чен. Выяснить, для какой иэ схем, изображенных на'. рис. 13, вероятность того,' г л л с что ток будет проходить отг точки А к точке В, будет'.:-, г наиболыпей. Под исходом здесь еле дует понимать состояпие::.' г всех выключателей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
