А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 4
Текст из файла (страница 4)
„и. Но сам отбор т элементов из и можно произвести С„способами. Таким образом, всего мы получим: С„т! (и — т)! 'Хаввааа логарифмов фаатсраалев !ав!» 1а в! 1а в! 1а в! нумераций полного множества иа п элементов. Каи!дуга нумерации! атого множества мы получили равно один раа. Всего же их и!. Поэтому: С„'т! (п — т)! = л! в!! (л — гв)! что и требовалось докааать. Чтобы формула (1! была и при и = О, и при верна т = О, нада пОлОжить: О! = г з 5 6 7 в 9 Во 11 12 13 14 15 1В !7 18 19 20 21 22 23 24 25 О,ОООО О,ЗО1О 0,7782 1,3802 2,0792 2,8573 3,7024 4,6055 5,5598 6,5598 7,6012 8,6803 9,7943 10,МО4 12,1165 13,3106 14,5511 15,8063 17,0851 18,3вв61 19,7083 21,0508 22,4125 23,7927 25,1906 2В 2! 28 29 ЗО З1 32 33 34 35 36 37 38 89 4О 41 42 43 44 45 46 47 49 50 26,6056 28,0370 29,4341 30,9465 32,4237 33,9150 35,4202 36,9387 38,4702 40,0142 41,5705 43,1387 44,7185 46,3096 47,9116 49,5244 51„1477 52,7811 54,4246 56,0778 57,7406 59,4127 61,0939 62,7841 64,4831 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ВО В1 62 ВЗ 64 65 66 В7 68 Во 7О 71 72 73 74 75 66,1906 67,9066 69,6309 71,3633 7З,1ОЗ7 74,8519 76,6077 78,3712 80,1420 81,9202 83,7055 85,4979 87,2972 89,1034 90,9163 ога,7359 М,5619 96,ЗМ5 98,2353 100, 0784 101,а97 1ОЗ 7870 105,6503 107,5196 109,3946 76 77 78 79 80 81 82 вз 84 85 86 87 вв 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 111,27544 113,1619 1!5,0540 116,9516 118,8547 120„7632 122,6770 124,5961 126,5204 128,44 98 1ЗО,ЗМЗ 132,3238 134,26ВЗ 136,2177 138,1719 140,1310 142,0948 144,0632 146,0 364 148,0141 149,Я5954 151,9831 153,97 44 155,9700 157,97 00 Формула (х) позволяет вычислять с„" в случае болье пх и и т с помопгью таблицы логарифмов факториал0в !см.
таблицу или формулу Стнрлпнга). Дж. Стирлинг (1730 г.) предложил райложение натурального логарифма и! в бесконечный ряд)(' 1 !в и! = п1п и — л + — 1п п + 1и )Г2я + 2 з ~де числа .~,: могут быть выписаны в явном виде, например, а, = 1!12, г = 1~360. Ряд этот расходится, однако при любом натуральном ш верно равенство: 3 !и и! = п 1п и — ' и + — „1п п + 1п )~ 2я + + 1 й + ( й)мтг 81 юв в 0 ~де 6 с6~$. Для нас представляют интерес такие следствия последней формулы: 1п п1 л1п п, (Й 1и п1 п 1п и — п + О (!и п), (2) 1 !=п1п — +1пУ2 + О, 6(6.
1, (3) !2п и! — )/2ял>Ре ". Здесь, как всегда, ) — л обозначает ~/6-~- 1, 1 =--а + + О (Ь) обозначает, что ((-~-6~- ограничено. Формула (1) плоха н приводится лишь как простейшее асиьштотическое выражение для л!. Мы дадим простое наглядное доказательство формулы (2). В процессе докааательства получится оценка остатка О (1п и) Так как 1и п1 = 1п 2 + 1п 3 +... + 1п и 'и функция 1п х выпукла вверг, ка рис. 10 видно, что и ность между 1п а! и )1пхдх положительна и мен 1 1а.и !па Рве, $0. Схема вычисления интеграла от 1п х суммарной площади заштрихованных треугольников, к' сорвя равна г71п я.
Подсчитав ~ 1и х Нх (х 1п х — х) )", = и 1и и — и + 1, 1 получим, что $.' п 1п п — п + 1 ( 1п и! <: и 1п п — и + 'I 1п п + а Вычислим, например, в аадаче иа конца ~ 5 веро ность сделать за 100 секунд ровно 50 шагов. Эта веро ность равна 100! Р~~ (50) ~ = лж~ (59!1 Логарифмические вычисления не сложны: 16 100! = 157,9700, 19 2 =- 0,3010300„ 1л 2аи = 30 1030 1я 50! = 64,4831, 1я (50!)' = 128,9662, 19 Рки (50) ==- 2,9008, Рию (50) — -- 0,0796 — 0,08.
ГЛАНА 2 ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА Численное значение вероятностей в приме»»х главы 1 получается из классического » ~ределения, в соответствии с которым вероятность какого-либо события равна отношению числа исходов, благо, приятствующих этому событию, к общему числу равно- возможных исходов. Вычисление вероятностей при этом . сзодитсн к подсчету элементов того или нного множества з оказывается чисто комбинаторной задачей (иногда весьма трудной).
Классическое определение оправдано тогда, когда существует воэможность предсказания вероятности на основании симметрии условнй, при которых происходят испытание, и, вследствие этого, симметрии исходов испытания,что и приводит к представлению о «равповоз. можности». 11апример, если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем,как упасть, то выпадеепе любой нз ее граней»п«считаем равковоз»юя«нымв ис»одамн. По тем же сообра пениям симметрии мы считаем разнозозможными исходы такого эксперимента: из сосуда, в который помещены одинаковые по размеру и массе, тщательно перемешанные и неотличимые на ощупь релые '. черные шары, «наудачу» вынкмается шар за шаром так, по после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательпого перемешивавия проз»водится извлечение следующего шара.
Таким образом, классическое определение лить сводит понятие «эероятьости» к понятию «равновозможности». «Разновозмоя«- вость» представляет собой объективное свойство нспытавий, определяемое условиями их проведения, но, как всякое конкретное свойство, может быть установлено »ольке с известной степенью точности, Наше представлеьпе о «симметричных» костях, монетах н т. п. было бы 27 только иллюзией, если бы данные опыта не подтвер>кд " правоту сделанных предположений.
Существует э жество примеров испытаний со случайпымн исходами, торые могут быть повторены большое число раз в один" козик условиях. При рассмотрении результатов отдельн нспытапий очень трудно найти какие-либо эаковоме ности. Однако в последовательности одинаковых нспыт ннй можно обнаружить устойчивость некоторых среди ' характеристик. Назовем частотой какого-либо случа ного события А з данной серии из и испгэтаний отношен ' тг'и числа т тех испытаний, в которых событие А наст ', пило, к общему нх числу. Наличие у события А при о ' ределевпых условиях вероятности, равной р, проявляетс э том, что п о ч т н в каждой достаточно длинной серс испытаний частота события А приблизительно равна Устойчивость значений частоты неоднократно подтверя далась специальныхш экспериментами.
В качестве иллюс рации рассмотрим данные по проверке симметричнос монеты. Пусть т — число выпадений герба в и испыта',. ниях, так что т~п — частота выпадения герба. В следующе табличке помещены реаультэты, экспериментально полу,' ченные разными исследователями, начиная с Хт'1И ве (их фамилии помещены в левом столбце таблички): о л/о 4040 0,507 4092 0,5005 20480 0,5068 80640 0 4923 БкнЯон э До Морган Джевояо Романовский Пирсон К. 24000 0,5005 Фоллер 10000 0,4979 Данные проверки в совокупности показывают, что пред-'.
положение о разпозозможности герба н решки, т. е. о том, чэо с вероятностью О,б появляется любая сторона монеты, находится в согласии с опытом. Это согласие по даякл1м таблички кажется вполне удовлетворительным, однако,' если для исследования применить специальные вероят. костные методы, то вполне возлюжен вьшод, что выпадение:: 1ерба в реп|кн з отдельных случаях не одинаково вероят«.. по, дто будет проявлением того факта, что любая реаль;,'" ная монета но является идеально симметричной. И темс не менее, представление об абсолютно симметричной моне-! те очень полезно, так как во многих приложениях теория,;. 28 Все пддрма Пиады» бед адреса 983000000 1076000000 121 4000000 1357000000 1507000000 26112 26977 33618 33643 40101 1906 1907 1908 1909 1910 вероятностей такая модель с двуыя равновозможными ис ходами "достаточно точно описывает случайные явления, н даже точнее, чем зкспернмент с подбрасыванием монеты.
Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных нгр, таких как игра в кости, игра в дорел — решку», карточные игры и т. и., т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равяовозможкостью исходов. Эти набл1одення открыли путь для с т а т н с т и ч е с к о г о подхода к численному определению вероятности, который особенно важен тогда, когда из теоретических соображений, подобных соображениям симметрии, значение вероятности заранее установить нельзя.
Например, если некий стрелок при 100 попытках попал з цель 30 раз, то можно думать, что для него вероятность попадания в цель при одном выстреле и при неизменных условиях стрельбы близка к,30!100 ~ == 0,39. Однако, так как у. нас заранее яет никаких пред ставлений о том, какова зта вероятность, нам нужно быть уверенным в том, что результаты стрелка устойчивы иа протяжении достаточно большого числа попыток поразить цель. Рассмотрим несколько серий испытаний, проходящих в неизменных условиях, и пусть п„пм..., и, — числа испытаний в каждой серии. Предположим, что в ка'кдом испытании происходит или не пронсхолит событие А, и пусть т» шд, ..., тд — соответственно числа кспытаний, которые завершаются появлением события в канщой серии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
