А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В нашем примере вероятность появления слова БАБУШКА есть 4 4 Р= — = —. 5040 4200 ' Вероятность зта очень мала, и наше событие действительно очень «маловероятпо». Позднее мы узнаем, что подсчитанная нами вероятность имеет такой практический смысл: если много раз производить описанный опыт с буквами, то примерно один раз на 1260 испытаний произойдет шипе событие (само собою сложится слово БАБУШКА), Аналогичный расчет для четырех букв А, А, М, М приводит к результату, что из них случайно будет 9 складываться слово МАМА с вероятностью 4 $ 4! ь С такой же вероятностью Чэ будет получаться еше ка дое из пяти есловэ ААММ, А МАМ, АММА, МААМ, ММАА.
Если производить этот опыт с четырьмя буквами, каждый нэ описанных шести возможных результатов будет появляться примерно в Чз доле случаев. 6 3. Равновоэможные случаи Игральная кость — это кубик, на гранях которого обозначено число очков ет 1 до 6. Бросив две кости, можно получить сумму очков (на верхних гранях; двух костей) от 2 до 12. Можно было бы думать, что в: задаче имеется 11 возможных случаев и вероятность появления каждого иэ пих равна Чы. Но это не так. Опыт показывает, что, например, сумма 7 появляется много чафе, чем сумма 12.
Это и понятно, так как 12 молшо пол',учить только в виде: 6+6 =12, а 7 — многими способами: й + 6 = 2 + 5 = 3+ 4 = 4+ 3 = 5 + 2 = 6 + 1=7.' При этом мы записываем первым слагаемым число очков. на первой кости, а вторым — на второй. Поэтому записи, 1 + 6 и 6 + 1 указывают на две различные воэможности получения суммы 7. Для подсчета вероятностей здесь приходится рассма-' тривать тридцать шесть случаев, каждый иэ которых' характеризуется определенным числом очков, выпавшихва первой кости, и определенным числом очков, выпавших .
иа второй кости: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 4,1 5,1 6,1 Встественно считать вти тридцать шесть случаев раййб воз»сажными. Опыт показывает, что в случае доетаточк(о вравильных (кубических) костей, сделанных из однород» лого материала, и надлежащих приемов бросания (напри»ер, гюсле встряхивания в стаканчике) вти 36 случаев появляются при большом числе повторений примерно одиааьово часто. Для суммы очков на двух костях получаем такие результаты (проверьте): Сулла 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Члсло блага- 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 и 11 яятствутощях случаев 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36 нор»я«аост» Уточним определение: вероятностью называется отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу равно«взмах«них.
На вопрос, какие случаи можно снггать равновозможными, математнка не дает ответа. Прв бросании костей условия выпадения любой из шести граней представляются нам одинаковыми. Кроме того, врсдставляется естественным считать, что различные комбавации верхних граней двух костей тоже одинаково зрявдоподобны. Разделение всех возков«ных исходов испытания на аскл»очающие друг друга равновозможные случаи достато гно деликатно.
Часто вместо изложенного сейчас «класса«еского» определения вероятности приходится прибегать к другому — «статистнческому». Но на первых порах знакомства с теорией вероятностей разумно отнестись с доверием к «классическому» определению. С точки зреяяя чистой математики тут нет никакой «нестрогоети». Нодробнее об атом будет сказано в главе 2. б 4.
Броуновское двюкение и задача о блуждашп«на плоскости Вычислять вероятности приходится оыподь ке только прн рек«енин пгуточных аадач нлк з»дач об игре в кости и карты. На теории вероятностеа основаны, з частности, кинетическая теория газов, теория диффузвн растворекных в нсндкостн веществ и взвешенных частиц. 11 Теория вероятностей объясняет, почему хаотическое„:,, беспорядочное движение отдельных молекул приводит четким, простым закономерностям движения их больших; совокупностей. Первая возможность экспериментального исследования такого рода соотношений между беспорядочным движени-: ем отдельных частиц и закономерным движением их боль-'-' ших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник; Р. Броуи открыл явление, которое по его имени названо, броуновсьим движением.
Браун наблюдал под микроскопом ' взвепюнную в воде цветочную пыльцу. К своему удивле-, нию, он оГ>на ружнл, что взвешенные в воде частицы пыльцы находятся в кепрорывном беспорядочномдвижонии, кото-. рое пе удается прекратить при самом пцательном старании устранить внешние воздействия, способные зто движение поддерживать (например, движение воды под влиянием. неравномерности температуры и т. п.). Вскоре было обнаруькено, что это движение — общее свойство любых ' достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Его;.
интенсивность зависит только от температуры и вязкости жидкости и от размеров частиц (движение тем интенсивнее, чем температура выше, вязкость меньше, а частицы: мельче). Каждан частица движется по своей собственной ' траекгории, не похоя;ей на траектории соседних частиц,- так что близкие вначале частицы очень быстро становятся удаленными (хотя могут иногда случайно вновь встретиться). На рис. 1 точками отмечены последовательные поло- женин частицы (гуммнгута в воде по классическим опытам Перрена) с промежутками в 30 с.
Эти последователь- . ные положения соединены прямолинейными отрезками., В действительности траектория частицы гще запутаннее. На рнс. 2 схематически показано, что траект рия трех, частиц, которые в начальный момент были очень близки друг к другу, совершенно различны. Броуновское движоние большого числа частиц можно: наблюдать, выпустив в тонкий слой воды на плоском:., стокльяпкс каплю чернил. При наблюдении простым гла- " зом траектории отдельных чернильных частиц увидеть,'. нельзя.
Чернильное пятно будет постепенно расплывать-:„ ся, сохраняя округлую форму. Его окраска будет более!' интенсивной в центре, к краям яа будет ослабевать. " Схематически расположение болыпого числа частиц, под-: верженных броуновскому движению, через некоторый:; $х промежуток времени после того, как все они вышли ил ближайшей окрестности начальной точки, отмеченнон крестиком, изображено на рис. 3. Обозначим через г промежуток времени, прошедший от выхода нагпих частиц из начальной точки, и через о — диаметр окружности с центром в начальной точке Рнс. 1, Блуждание частицы гуммигута с промежутками сб с, внутри которой находится половина частиц (см.
рис. 3) Наблюдение показывает, что зтот диаметр растет приблизительно пропорционально нвадратному корню из промежутка времени г, т. е. изменяется примерно по закону ~=Ц/б 11) Эта закономерность может быть обоснована теоретически средствФж теории вероятностей. Сам ее вывод остается за пределами вашей книги, но в причинах того, что диаметр И растет не пропорционально времени (как было бы, осли бы частицы разбегались из начальной точки с постоянной скоростью, не меняя направления), а несравненно медленнее, мы вскоре сможем разобраться.
Основные черты броуновского движения частицы можно наблюдать унсо на упрощенной модели блуждания частицы по плоскости, разделенной на квадратики. К таким упрощенным моделям прк изучении более сложных явлений прнбегагот и в серьезных научных исследованиях. Будем считать, что наша частица перемещается и" квадратика, в котором она находится вначале, в оди" кз четырех соседних квадратиков. Ее путь за восемь ша.' гов может, например, иметь такой вид, как указано н ' рис. 4. Из начального положения (рис.
5, а) частица може попасть в один из четырех смежных квадратиков, в каж дый одним-единственным сносе бом (рис. 5, 6). За два шага ча> стица может попасть в начал нос положение четырьмя спосо; Г>ами (выходя в сторону в одном из четырех возможны направлений и возвращаяс ' обратно), еще в четыре клетки: частила может попасть двум Ркс. Рч Траектории блуа>да- Ркс.
Гь Иаложекке частиц, викка трех частиц, жед>ккх кв нуля, черве ко. который промежуток времен способами в каждую и в четыре клетки — одним способом ' в каждую (рис. 5, е). Всего частица может двигаться:: в течение первых двух шагов тлестнадцатыо различны-, ми способами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
