А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 3
Текст из файла (страница 3)
На рис. 5, г указав результат аналогичного подсчета-'.' для трех шагов. Здесь число различных путей равно ужи.„'> 4 + 4.9 + 8 3 64. На рис. 5, д и е указано число способов попадания и:, различные клетки после четырех и после пити шагов;:' $4 у(егко понять, что число различных путей с ростом числ"' шагов 1 растет как 4': Чнсло швгов 0 1 2 3 4 5 Чнсло путей 1 4 16 64 256 1024 Если считать, что частица всегда помещается в центре ванимаемого ею квадратика, то за 1шагов она может удалиться от начального положения не более чем на расстояние: 1Ь, где Й вЂ” длина стороны квадратиков.
Но для етого: опа должна двигаться прямолинейно. При 1 = 5 это будет . только в четырех случаях нз 1024. В большинстве же случа-. ев частица окажется в конце пути значительно ближе к своему начальному положению. Например, при 1= 5 в' 400 случаях (почти 40о4) расстояние конечного положе- ' ния от начального будет равно единице, а еще в 400 слу-, чаях вто расстояние равно )/3 = 173, Лпшь в остающихся немного более чем 20о4 случаях частица уйдет далыпе.
Допустим теперь, что при лгобом 1 все пути равно- возможны. Тогда числа, проставлонные иа рис. 5, после ' их деления на 4 дадут вероятности попадания в соответ-;. 1 Ствующие клетки после 1 шагов. Обозначив через г рас- ' стояние от начального положения, получим при 1 = 2 ' такую табличку: 0 2 4 ОУ22 4 8 4 1 1 1 т Чнсло случаев Вероятаость 2 При 1 = 5 таблица приобретает следующий вид: 25 5 ф 4 1024 1 5 9 1 г5 3 400 400 100 400 400 100 1%4 102(, 1 ОБ: 13 17 1113 ~Р'11 80 с:Н 40 80 и) 11П4 1024 т Число случаев Вероятность Интересно подсчитать среднее значение квадрата ':,', расстояния (чертой обозначен переход к среднему ",:,: 16 значению): прн г=2 г'= ' + ' =2, о 2+4.4 тэ при г=б ге=6. Можно доказать, что при любом г в нашей задача„ ре = П Корень квадратный из среднего значения квадрата (называемый в статистике средним квадратическим) равен )/Х На атом мы закончим исследование нашей задачи.
Заметим только, что рис. Ь, е уже обнаруживает болыпое сходство с рнс. 3, Оказывается, что наша модель случайного блу'кдания отдельной частицы хороню соответствует набл1оденкям, если предположить, что частицы блуждают независимо друг от друга (с точным смыслом выражения енезависимые вспытаннн» вы познакомитесь позднее) 5 5. Блуждание по прямой.
Треугольник Паскаля Рассмотрим еще более простую задачу блун,"- данин по прямой. За один шаг частиц» продвинется на расстояние Ь вверх илн на то же расстояние вниз. Горизонтальную ось теперь удобно использовать для того, Рнс, Э. Развертка ео времени одномерного дискретного блуждания. чтобы на ней откладывать число шагов. На рнс. 6 изображен возможный график движения частицы. Легко понять, что в этой задаче число всех возможных эпособов перемещения частицы за г гаагов будет равно $7 2'. На рис„7 подсчитано число способов, которымн можно попасть через г шагов в то или иное положение (на ту или иную высоту), Ьлужданно такого рода осуществляется в специальном приборе, который называтот доской Гальтона.
На рис. 8 изображена схема возможного устройства етого прибора. Металлические шарики один за другим попадают в самый верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они должны выбрать путь направо нлк налево. Затем происходит второй такой выбор н т. д. Прн тщательной подгонке гг,|г гг гг лу угу Рнс. ь Подсчет чнсла траекторий одномерного блужданан. Рнс. 8. Доска Галь- тона. деталей выбор пути оказывается аполло случайным: любой из 2' способов (в кап~ем случае г =- 5) равновозможон, Пропустив через прибор болыпое число шариков, обнаруя ивают, что доля ~париков, попавших в каждое из делений внизу, примерно соответствует рассчитанным вероятностям, Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физический механизм случайности и ааймемся математикой.' 1 $8 Выпишем числа нз рис. 7 в виде таблицы: 2 3 4 5 1 7 1 28 8 Закон оГ>разовання таблицы ясен: в каждой клетке стоит сумма числа, стоящего непосредственно сверху, и числа, стоящего сверху слева.
Например, 56= 21+55. Отдельно приходится оговорить, что в нулевом столбце, к'по диагонали стоят единицы. Можно постувить иначе, считать, что таблица продолжается неограниченно влево и вправо, но заполнена там нулями. Ее начало будет тогда иметь вид: — 2 — 1 0 1 2 3 4 $0 "° О 0 1 0 О 0 О 1 ° ° * 0 0 1 1 0 0 0 2 ° ° 0 О 1 2 1 0 0 Теперь указанное основное правило заполнения тао. лицы будет действовать беа всяких исключений, начиная с первой строки. Обозначив через С„число, стоящее в таблице ка пересечении т-го столбца и н-й строки, можно записать правило заполнения таблицы в виде формулы (1) Особо надо задать числа нулевой строки: ~ 1 при т=О, сГ 1 ф. 10 при остальных значениях т, Наша таблица (без заполнения клеток, где все равно стоят нули) называется треугольником Паскал .
19 о 1 2 3 4 5 6 7 8 о 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 6 1 7 8 з 6 4 1 10 10 5 15 20 15 6 21 Зз З5 21 28 56 70 56 6 7 8 Сумма 1 8 16 З2 64 128 256 Вернемся к задаче о блуждании по прямой, но измени ее постановку. Пусть частица двигается по горизонталь-,' ной прямой к каждую секунду либо делает одкн шаг впрц', во (на какое-то фиксированное расстояние я), либо оста-,: ется на месте. За л секунд частица сдвинется не более чем; да юв 0,2 в,/ в~гввввга дз В,г в,у и я и и а в а и гв злвг с у=Р(т)=-— к га Ркс. 9.
Графики функций Р„(т). на и шагов. Возникает вопрос о том, какое число атагов за я секунд будет наиболее вероятным, если считать все " варианты движения равновозможными. Ясно, что крайние случаи (О шагов и и шагов) .при большом числе я появятся', лишь в виде очень редких исключений. Учитывая все сказанное вьопе, вы без труда донажете, .:, что вероятность сделать т шагов за первые и секунд в:::„,' этой задаче равна На рис. 9 даны графики функций Р„(т) при и = х, 2:, 4, 8, $6, 32.
Масштаб по горизонтальной оси выбран посте- ': пенно уменьшающимся, так что максимальный возмож- ': ный пробег частицы все время изображается отрезком од-''," ной и той же длины. Масштаб по вертикальной оси (где откладываются вероятности) сохраняется неизменным. ': Мы видим, что наиболее вероятным все время являэтря,:"' среднее аначение пробега 1 Й = — и.
2 Большие же отклонения от этого среднего с возрастанием:",- и делаются все более редкими. Можно доказать, что сред-. нее квадратическое аткленвнив от среднего пробега в этой задаче равно Например, за $0 000 секунд средний пробег будет'': 5000 шагов, а среднее квадратическое отклонение от этого" " среднего будет лишь 50 шагов. Здесь мы сопрнкасаемси,';.. с одним из фундаментальных предложений теории вероятт ".: настей — заковом больших чисел, о котором речь будет"': идти в главах 3 и 5.
й 6. Вином Ньютона Числа С называются бивомиальвыми коэф-' фициеятами. При этом имеют в виду их обычное употреб-'' ' ление е алгебре, не связанное с теорией вероятностей и за- '.;. дачами о блужданиях. Вам известны формульп (а+ Ь)в п1, (а+ Ъ)' а+ Ь, (а+ Ь)' аз+ 2аЬ+ Ьт, (а+ Ь)" а'+ ЭазЬ+ ЗаЬ'+ Ьэ.
Обращает па себя внимание то обстоятельство, что число- вые коэффициенты взяты из соответствующих строк тре- угольника Паскаля. 2$ Вычислим еще: ( ) Ь)4 (а 4 Ь)з ( ) Ь). для этого надо умножить аа + За'Ь + Забз + Ьа ва а и на Ь и результаты сложить! а4 + З(РЬ + За~ьв + аЬа а3Ь+ ЗиэЬз+ ЗаЬз+ Ьа а'+4азЬ+ еааЬэ+ 4аР+ Ь4 Мы видим, что ноэффициевты сумхпз получаются точке по тому же правилу, по какому формировался треугольвик Г! аскаля.
Возникает гипотеаа, что всегда (а -)- б)" = а" + С„'а' 'Ь+... + С~аэ"~Р'+ ... + б". (1) Гипотеза верва. Знакомые с методом математической индукции могут провести строгое доказательство формулы бинома Ньютона (1), опираясь на равенство (1) из 3 5.
й 7. Бивамиальные коэффициенты и число сочетаний Числом сочетаний из и по т нааывается число способов выделения иэ мнознества, состоящего иа п предметов, подмножества, состоящего из т предметов. Например, из множества, состоящего из четырех букв А, Б, В, Г, можно выделить шесть различвых подмножеств, состоя щих каждое из двух букв: (А, Б), (А, В), (А, Г), (Б, В), (Б, Г), (В, Г). Оказывается, что число сочетавий из и по и равно соответствующему элемевту треугольника Паскаля С„'.
Этот факт легко понять, если обратиться й последней задаче о блуждавии из з 5. Например, чтобы определить в этой задаче число различвых способов, которым эта час тица может сделать два шага направо за 4 с, надо пере брать все способы выделения иэ четырех секундных про 22 межутков двух промежутков. Танин способов. жесть.' 1 й Э а й .~ 2 + + 3+ + 4 + + б + + в ++ Знакомые с методом математической индукции могут провести общее доказательство, опираясь на равенство (1) нз 5 5. б 8.
Формула, выраянион(ая биномиальные коаффнщиенты через 4иагториалы, я ее применение к вычислеыно вероятностей Эта замечательная формула имеет вид~ (1) Ее тоже можно доказать прн помощи метода математической индукции. Дадим другое, более непосредственное доказательство. Коли из и предметов отобраны т, то можно т) способами аанумеровать отобранные предметы числами: 1, 2, 3,..., т. Ос:азьчнссп и — т предметов можно занумсровать чиспамн: ш+1, т+2,...,и (и — т)! способами. Таким образом, получим т) (и — т)) нумераций всего множества из и предметов числами: 1,2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
