А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е) )~ 1 — 1) ,Я Ри(т), ~~~~ тР„(т), ~'~~ тари(т) Значение первой суммы ул<е было в ще(е параграфе. Оказалось„ что тР„(т) = ~~):, тР, (1п) = ~~) т Ф (1» и= — 1 пр ~~л ~»= 1 и пр ~ т — 1 и — 1 пр ~,' 1-О Последнее равенство написано н ства (2) для значения и, равного и— уеО брав»ем»(. о боинга;. (зй.';:;,„ Беу,';.''";.' редьгдут.,",';: Ч енорь ~ т Р. (т) = ~ т(т-1+ 1) Р. (гп) =. ч .О ги=г П Ю = Х тР,(пг)+ Х ( — 1)Р„(е4 ег=-е ггг=-г 1!г рвал сумма правой части нам известна (равенство (3))г поэтому теР„(гп) .= пр + ~~! т (гп — 1) '"' !г"'дгг-ггг ~ гг г'.г2; ггг ггг-~~ — "'нгг ге=а 1) рв ~Ь~ (" 2) ю-г, гг-ггг: (ег — 2)! (и — ггг)! ггг.=а «=пр+п(п — 1)ра т ' р д" г "'= (гг — 2)! к ггэгг а1 (в — 2 — гг)1 г-е пр + п(п — 1) р*= пгрг -(- пр (1 — р) = ~ п р + ггггггг.
Здесь равенство Е 1" — 2!! рггг*, ь „ гг (гг — 2 — Ц! г=е написано на основании формулы (2) длл и, равного и — ' 2, '1 а:гим образом, Х тгР„(т) ==- ггг,гг -', ггг-г!. ег=О 3аметгггг, что случайные событмн ~ в — р(1<„е и ' л 1 гг — р ~,л е п1готивоноиощгы, а потому е РИ- ~>.1=1-РЦВ- ~-'1 В силу теоремы сложопия вероятностей Р)( — „— Р~.а с~ ~~). Р„(т), где сумма распространена на те значения и, для котор' '-, 1 ° ! т — — Р~ ьв.
Но для втих вначепий т (=.— )' ,ь1, п поатому а Р - ~ — '.-)' где сумма по-прежнему распространена на те т, для кеь~ торых ~ — — р ~ ~ а. Очевидно, что ета сумма может быта(( только увеличена, осли оо распространить на все апачи)г ния т от 0 до и. Следовательно, Р~~-с- — р) ~е~ ( ~~~' а Р„(п» = ( — ". — )' аа= а сч — 1 (т — пр)- Р,, бл) = —, [ у и'Р„(т)— а=-а ю=-.Π— 2пр~~~ тР„(т) +лара~ Р (т)~ = =-а т=-а = —,, (ярд+ п'р' — 2п'р'+ лтр') = ~,,,3 и'а' При вычислениях мы воспольвовались равенствами;, (2), (3) и (4). Теперь Р )' ') ~ — р ~ ( е~ = 1 — Р ~( ~ —" — Р ~ ) а~ ~ 1 — -$- . (ф':; Отсюда видно, что для любого положительного в мы межей, сделать вероятность Р ~~ —" — р ~(а~сколь угодно бл~ кой к 1.
Теорема Бернулли докааана. П р и м е р 1. В примере 3 предыдущего параграф~4 мы интересовались вороятностью того, что число родив"',-',;.'::. 1 шихся мальчиков среди 400 родившихся детей отклонитеаа" СЙММЕ'РРЙЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ 5 1. Введение Б этой главе мы более подробно рассмотриаг'-., дадачп, котсрь.о возникают в схеме случайного блужда.:;:",. пия.
Как ужо было отмечено в главе 1 (см. с. 17 — 21)" ета метоматическая схема подсказана и оправдана физв!':;. чоскими прнлон;оппемн — она служит для простейшего,."." приближенного описания одномерного физического про-":.':" цесса броуновского движения н диффузии матернальннй!! частицы, которая совершает случайные перемощенпя поф;": действием большого числа столкновений с молекуламп:,;" Фнапческтп1 смысл имсот лишь предельный случай непрерывное движение, однако дпскротная схема слу-...':,; чайного блужлшпш прпводнг к результатам, остающимсйс справедлпеымп и в своей прелольпой формо. Представим себе, что некоторая частица (подвшкпай;.
точка) перемещается в дискретные моменты времени пи!~' '$ целым точкам числовой прямой, расположенной верти-':;-,:!. кальпо. Будем считать, что в начальный момент еремеям',:, Ъ и =-. 0 частица находится в начале отсчета, а в каждытв,"," следующий момшп времони и =- 1, 2, 3, ... она совершает":, перемещение на едяшщу вверх или на единицу вниз',,';:, Так, например, в момент и = 1 частица оказывается в точ,:„::;.:, ках +1 плн — 1; если в момент времени и частица вани".:;~ч мала положение р, то в следующий момент времени и + 1,'." гпа оказывается в точках с координатами у + 1 или р — ф!.
.независимо от того, как осУществлЯлось ео движение Дю!г 1х( момоптз и. Нредположим, что движение частицы вверх;; ' и впиз па одпп шаь равновозможно, т. е. происходит с ве.',; роятпостяпп 1/2 каждое, Тогда говорят, что частицй';~ совершает простое симметрии~ее случайное блуждании,„ нэ примоя. Рассмотрим график случайяого блу.кданип.".' в пространствшшо-временной системе координат, гдв,'. та ось абсцисс выступает в роли оси времени, а ось ординат по-прежнему служит для указания положепнн чаетицы.
Отметим точки, соответствуквцие положению частицы з каждый момент времени, соединим ближайхппе точки прямолинейными отрезками. Тогда любой возхюжный исход последовательных поремещепий частицы будет графически изобрел аться ломаной с верн~ивами в точках с абсциссахщ 1, 2, 3... н целочисленными ордипатами. Рис. 21, Траектория дважевия частицы. Полученный график и есть траектория движения частицы. На рис. 21 изображена траектории движения частицы, занимающей за время п = 41 последовательные положения:0,1,2,3,2,1,2,3,2,3,4,3,2,1,0, — 1, О, — 1, — 2,-1, — 2, — 3,— 4, — 5,-4,— 3,— 4,— 3, -2„— 1, О, 1,2,1, 2, 3, 4, 5, б, 7,6,7.
При фиксированном времени наблюдения п в качестве мнозкества возможных событий (исходов) естественно выбрать мноя ество всех траекторий длины п, начинающихся в начала координат. Так как их общее число равно 2" и все опи равповозможны, то каждой траектории приписывается вероятность 2 ". Таккм образом, в спмметричпом случайном блуждании любое событие, состоящее в достижении частицой некоторого многкества точен на прямой, имеет вероятность, пропорциональную числу траекторий, заканчивающихся в точках этого множества. Поэтому при подсчете вероятпостой тох плк иных событий мы будем пользоваться комбннаторлымп форыулааж $5 главы 1.
В этой главе будут рассмотрены задачи,' ткпнчпыо для случайных блужданий,— задача первого достпжоппя частицей некоторого уровня, задача возвращения частицы в начало координат, задача о врегюнп пребывания частицы па полоясительной части прямой н т, и. Па примере спммотричного одномерного случайного блуждани~:,"~'" дуг продемонстрнрованы соверп|онно неожидан»две, 'и тпворечащко„ва первый взгляд, здравому смыслу с«« ства случайных блужданий. Эти закономерности слуео " ных блужданий на прямой имеют чисто комбинатор природу н остаются справедливыми для случайных блр, даний гораздо более общего вида. й 2.
Комби»«аторные основы Траектория частицы графически предста ' ляется ломаной с вершинами в точках с целочися ными координатами, при атом координатами своих в шин каждая траектория определяется однозначно. Тат траектории мы будем называть путями из начала ко' динат, и в етом параграфе будем заниматься подсют числа путей, обладающих определенными свойства Обоеначям Ь (х, у) число всех путей, ведущих из паче ' ~! координат в точку (х, у). Очевидно,.в соответствии с числониями в $5 главы 1, в случае, когда х и у им одинаковую четность и у о.,х, г. (х, у) = С~ ($. '.' ~в других случаях полагаем просто Т, (х, у) = О). видно также, что число путей из точки (хо, у,) в точи .
(х1 у)1 где О (хо (х уо ( хо у ~( х1 хо + уо и х + четны, равно числу путей из начала координат в точй (х — х„у — у,),' т. е. равно Т (х — х, у — у,). Все подсчеты в атом параграфе и вычисление веро востей в следующих параграфах будут основаны на одной замечательном и чрезвычайно простом результате, на'~!,. сящем названио «принципа стран«уния». Лемма 1 (принцип отражения). Пуси(й» А и  — точки с целочисленными координатами (х, у и (х, у), 0(х (х, уо >О, у)0, и А' — т (х„, — у„), симметричная точке А относительно о6(б абсцисс. Тогда число тех путей ие А в В, которые каЗФ сеются или пересекают ось абсцисс, равно числу всеее«.". путей, ведущих ие точки А' в точку В.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждому пути,'- ' вэ А в В, который касается или пересекает ось абсцислоь " путь нз А ' в В следую«цим образом (см. рис. 22): если кутуз. вз А в В попадает на ось абсцисс впервые в точке С, т1»;,', участок А'С пути А'В построим по симметрии как отри»., 7С $ :;-':::, тление участка АС относительно 'оси абсцисс (иа рисунке в, зовый участок пути изображен пунктиром) и сохраним ;:,,': для пути А'В без изменения участок СВ.
Очевидно, что '.'! указанное соответствие между путями из А в В, панах еоющилш на ось абсцисс, и отраженными путями нз А' ::, з В взаимно однозначно, что и доказывает ломму. Рае. 22. Орвацвп отражевае Эта лемма вначнтельво облегчает вычисление числа сутей, обладающих некоторыми нужными свойствами. Будем называть пути положительными, еслних вершины '4 ложат строго выше оси абсцисс, и неотрицательными, е~ лн их вершины не опускаются ниже осн абсцисс.
Аналогично опредоляготся отрицательные н пеполозкитольиые пути. Л е м и а 2. Число полоасительних путей из начала в~ординат в тюку (х, у), О <у ~( х, равно '~ Е(х, у), еде Л (х, у) — число всех путей из (О, О) в (х, у). Д о к а з а т е л ь с т в о. Все положительные пути ароходят через точку (1, 1) (см. ркс. 23). Поэтому искомое число совпадает с числом положительных путей из (1, 1) в (х, у), а это число равно разности между числом всех путей из точки (1, 1) в (х, у) и числом путей из (1, 1) а (х, у), касающихся или пересекающих ось абсцисс, или, ло лемме 1, разности между числом всех путей нз (1, 1) е (х, у) н числом всех путей из (1,— 1) в (х, у), т. е.
равно Х. (х — 1, у — 1) — Ь (х — 1, у+ 1). Теперь легко про') аорить, что «+е 1 — -1 Ь (х — 1, У вЂ” 1) — Ь(х — 1, у + 1) — С„~, С~"" ви' =С' ( — — =) = — С. = — Ь(,у). в'нйз 2 х+у х у 1 у [в+вяз ф 2х 2х г' х " х 77 По симметрии заключаем, что число стрит(атель»' путей в точку (л, — у), р ) О, также равно+ Х (л,'~," П р н и е р 1. Лемма 2 известна как «теорема е„" лотировке» в комбинаторном анализе. Исторически вое ео вспользованио связано е именами Уа (1878 г.) и Ьортрана (1881 г.), решивших так называя'"" баллотарово »пуго задачу. Если два кандидата В и 8'" лучили на выборах соотвотствопно г и а, г ) г, гол '"' Рас. ЗЗ. Подсчет числа полоиштельпых траекторий то каковы шансы, что кандидат тг в течение всох выб ' был по количеству голосов впереди о'» Очевидно, что!', становка задачи предполагает выполпеппой следую несколько паникую процедуру подсчета голосов: ка выборщик отдает свой голос или кандида»у Н, или Я е роятностыо 1/2; послодовательпо опрашнваются все ',' борщики, к па каждом шаге подсчитывается раз голосов, поданных за В и за Ю; после опроса (г + а)-го борщика зта разность должна быть раина г — а Та ' образом, речь идот о подсчете числа положительных и,', из (О, О) в точку (г+ г, т — г).
По ломме 2 зто число р ' А(г+ а,г — а). Тогда шансы на устойчивый перевес кандидата В Ь' в течение выборов измеряются отнопюпием атого к 1, (г + е, г — а), т. е. величиной и+»' П р и м е р 2. Та же задача, но с более попятным сюжетом звучит так. Два шахматиста, имея равные ш сы на успешнын результат в каждой партии (ничьи.„.- засчитьшаются), играют матч из 10 партий. Матч зад чз г чивается победой определенного игрока со счетом 6: 4. 1 "оковы шансы на то, что победитель матча после каждой шутим был впереди по числу очков? Очевидным образом зсвользуя лемму 2 и рассуждения предыдущего примера, получаем, что вероятность етого события равна: = 0,2. з — ф с+4 11ам понадобится еще один важный результат„представляющий собой утверждение, двойствешюе утверждезшо леммы 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
