А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(для ьычигления последнего интеграла удобно вспольаовать равеистве 1ф(у) „=2(1 — ( 1 )), е с так как аначевия функции Ф (с) = = ) е "/т йи можно найти .= рЬ,) в любом учебнике по теории вероятностей в таблицах функции нор. мальпого распределения.) й' б. Закон арксипуса Мы установили ваяснейшее свойство симмет; ричного случайного блунсдания — периоды меясду последовательными воавращениями частицы в нуль оказываются необычайно длинными. Мы убедились в атом, ие ' пользуя рааличиые подходы, и теперь иам предстоит ответить на вопрос о том, как долго частица будет в течение блуя4аиия находиться вьппе илп ниже оси абсцисс.
Естествейное, с точки зрения адравого смысла, предположе-. нве о том„ что относительное время, которое частица проводит вьппе оси абсцисс, блиако к '/„ не подгвергкдаестсй окспериментом. Окапывается, что для атой доля времеви аиачеиия, близкие к г/а, наименее вероятны, и аначитель- йй кую часть времени частица проводит в какой-либо пй<»о полуплоскости. Эти парадоксальные закономерностц.:~ рехода частицы с полоя<ительной стороны прямой;-- отрицательную и наоборот раскрываются теоремой, полу чиншей яаазание «аакока арксинуса». Докажем предварительно следующий простой реву4~~~'-. <ат. Л е м м а. При п ~ ~1 и» = Х Ь«и»э-««. ф(~!<тй:.' «=« -Для докааательства рассмотрим все пути длиной '2~~ф:;=.
которые возвращаются в момент 2п в нуль. Формула (1)"41<~~~:;-' ляется вариантом<)<ормулы полной вероятности(см.с.5фщ~- В самом деле, пусть событие А,„соответствует люб<ффГ пути из (О, 0) в (2п, 0), а событие Вм — пути с перв возвращением в нуль в момент 2/<, <<< 1,..., и; при мцбн события Вм несовместны и А,„С 0 В,„. Тогда » 1 Р(А» ) ~ Р(В««)Р(А» <В»»)= Я Р(В»»)Р(А«») » 1 И=» в силу того, что Р (А»„/Вы) = Р (А~ и). Так Р ( „) из„, Р (В»») =* ~»а, получаем (1). Ь бозначим через р«», »„вероятность того, что в тече времени от 0 до 2п путь частицы неотрицателен 2й одина»а времени и неположителен 2п — 2й единиц времени.
Уд но говорить, что частица проводит на поло»кительной от<)-,„ роне время от и до и + 1, если соответствующий отрезщ~;--';,'~-;"::; пути лежит выше оси л. Т е о р е м а 1. При и ь 1 и 0 ~ ~й «( п рвь» =и»ьи»„м. (2д::- Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А»»»„— событие«« состоящее в том, что частица за период времени от 0 до 2»»': проводит 2й единиц времени на положительной стороне )~-' 2п — 2й — на отрицательной стороне. Пусть В,"„и В~ -е события, состоящие в том, что частица впервые возвраща,;;:З«;;,,: ется в нуль в момент 2г, оставаясь до этого соответственй~~!'.-''ф::: па положительной нли отрицательной стороне.
Очевидно»'„'и! что Р(А < «„) =- рм»ч и Р(Вм)=Р(В»м)= ~ )»т 1Ь формуле полной вероятности Р (А, 4 ИР(Вм) Р(Ам, (З+й+ +0Р У так как (В )Р(Аэ,т (В,З Р (Аду.,,. (Вх,) = Р (А„м ю м), Р(Ан, ЫВа) = Р(А„,, х„-,„), Ст 1 %"1 х >~~1 " ~' '~" + 2 г 1 ры, в -ь = нмл т~ж-м ° Рогда нз (3) и (4) получаем х н-г 1 %1 1 РЯ ю 2 яш я ~, (юле~ т~ + 2 им ~~ Й~лазьхг в Иольауясь утверждением леммы, находим окончательно 1 1 РМ,„= — и~ -М-и„, + — Лыи„,2 = и„и, М. 2 2 Соотношение (2) определяет удивительное свойство, орисущее блужданию частицы. Интуиция подсказывае~, что доли времени, проводимые частицей выше н ниже осй абсцисс, примерно одинаковы и близки к Чм Для проверки произведем подсчеты с помощью формулы (2) дая случая я = 10.
Вероятности Р,х,,„даны в следующей 6$ И случае, когда я = О или я = и, равенство (2) тривиалг во, так как искомая вероятность равна и „. Полученное тоя~дество рассматривается прн всех и н О (я ~ и — ' $. Выведем (2) из (3) методом математической индукции п» л. Легко видеть, что при и = 1 соотношение тривиально. Иредположим, что при всех т ( и — х Рхг,зе=вегпе -ГХ а, в частности, Ра-г», т сг = ихч-ххитг-м (4) вранге зги данные показывают, что значениям й =ф:,';~ф ~ й — — и соответствуют наибольшие вероятности и, на~ффа~~~::) рот, менее всего веронтгиг)~~=-,а", что доля вре ени гибл В))~~~;:: к гг2.
В данном случае ва~~Ф~~!"'.г ны не абсолютные значеФф~~:;:;:::~( вероятностей, а характер " паменения в зависимости;::"" .:~~:, й. В общем случае зги ~;;;,'г'„',г ятности обладают след мн свойствами: ртг = р, и „,, при й «(и вероятности ргг ь, убыв при й ь (и + $)/2 — в тают; при и четном мальное значение р,г,з„ тигается в точке й— при и нечетном — в точках й = (и — 1) й = (гг+ 1)/2. ГраФи зависимость ргг, от й вана для и = $0 на д р у у у г 25. Более выразительнд~~~";;, ний и.
Воспользуемся сравнения приблигкенным значением и „ по формуг,,", г'тнрлинга: Ро, ю = Рею гь "== иаи '-— г' яи 1 я1'Ь(и — И В частности, если и четно, то минимальное знач Рзг, з приближенно равно г 2 Рплю =ни ии зг ф~' Р2, 2я 2я Хя, 2з 0,07979 0,02523 0,00798 0,00252 100 10ОО 100000 0,01273 О,ОО127 0,00013 О',00001 О 04030 О,О1203 О,ОО399 0,00120 Отногпение максимальной вероятности к минимальной с ростом п стремится к бесконечности: 2 Рз,зз+Рзз,з У'ян .г— — — =у лп — ьсо.
Ря, зз =У яп Введем в рассмотрение функцию 7(х) = 1 л ргх (1 — х) определенную для 0 ~ х ~ $. Эта функция имеет 77-обрааную форму, симметрична относительно прямой и г(з и имеет минимум в точке х — — Ч„равный Чп (см. рис, 25). Легко убедиться в том, что е) х Г 2 . — 1 7 (х) = — ~ — агся(п ) хх ~ пли х 2 ((Р) Иу = — агсе (п )/х. е Польэуясь только формулой Стирлинга, можно утверждать, что при больших и р,"- — „«ф) с хорошим приблинсением, если только й не очень блинно н 0 или и. Зададимся некоторым сг, 0 (а ~1, и сравним х) ДЛЯ ЭТОГО Доегзтенпс ВСПОМНИТЬ, Что ПРОИЭЗЕДПЭЯ СЛОГННПВ фуннции Р = 7 (ф (х)) находится пс формуле: у' = 1' (Е (х)) гр (Р)а э производная функции у = 1/7' (х) — пе формуле: 1 Р' = — „ .
Р (х). результаты подсчета для и = $00, $000, 10 ООО, 200 ООО сведены в следующую табличку: дое величины Р«», «е и ) ~(я)»«ж »я$<о а Обооначнм т„й/я н дг Х рм,е — Х дяИ(я»). »т<я е»4а Правая часть при и-е. оо или при Дя»-« величине площади фигуры, еграниченной ( (я) и вертикальными примымй а 0 и я щадь по определению выражаетвя нвтевра е «(я) Ня а«со»н г~н, 2 е Х р„,„-о об, »«е<е,ее«« Х рм, - 0.1, еж<«,еея р„,„- 0,29.
»«е<е.»«е« Так, например, ва время н ° $000 част стью 0,1 остается на одной стороне более времени и с вероятностью 0,2 — больше ч времени. П р и и о р, Представим себе, что реют в «орла н решку», поочередно нодбр ную монету и выигрывая всякнй рае «орла» («герба»). Последовательность реву ных партий (последовательность выигр шой) геометрически будет представляться мстричного случайного блуждания. Пол вг«ше осн абсцисс соответствует ситуац ве игла е вер чем 99$ мо ем 915 моне два человека асыван пра нри выпад катетов отде«ггая,, графиком. си»~'=',";; ожеиие граф»«Ф~~~!;,.;"' Таким обравом, мы прилип«и теореме, но нввертна кан «нанон арноннував.
Теорема 3 (ваном ариеииу яооя«ь того, что доля орви«ми, яро«од«ьвоое полон«шпелевой частя, ие ирооодяодн»в ««, ождемпгяоя я(2/Я) агсв1и ~«в нри и «ео. Польвуясь таблицами синуса, межи например, один иэ игроков лидирует;.достижение'графиком осн абсцисс интерпретируется как суммарный ничейный резуль тат ит. п. Результаты Я 4 и 5 применительно к описанной ситуации говорят о том, что с ростом числа сыгранных.
партий «кичьиа становятся все реже н резке, соответственно уменьшается относительное число смен лидерства н, таким образом, ббльшую часть времени лидирует один иэ игроков. В игре, состоящей из 1000 партий, среднее число ничьих равно 12, нз них приблизительно половина будет соответствовать деиствительпой смене лидерства. Как цоказывают предыдущие расчеты, по закону арксипуса не роже чеы в одном случае иэ десяти один игрок будет эа все время находиться в выигрьппе более чем в 975 партиях из 1000. Упра;ккоипя 1.
Доказать, что вероятность того, что последнее воавращекво в нуль для траскторвв длины 2п произойдет в момзвт 2В«, й = О, 1, 2,..., и, розка итти«„зг. 2. Навтп число путей пз начала коордкват в точку (2п, О) таках, что 2й вершин лежат яо впжс осп к, а остальные — ппжо (й = О, 1,..., и).
Доказать, что зто число во заввсвт 1 от В в равно —. Сп . л+ 1 зп. 3. Говорят, что тразкторпя длввы п с ордвватамя у« =- О, у««... уп имеет п«р«ий максимум ук в иомовтя, если уь.м у«, у«м м у„..., уг ) уг г в уг ~~ уг.+г,..., уь ~ у„. Докааать утвзрждеввз, йосяхдоз название «второй аакоп арксввусаы вероятность того, „ что траокторвя длины 2п вмеет первый макскмум в моменты 2)«(й = = О, 1,, „и) клп 2й+ 1 (й = О... „п — 1), раева р«г,«п. ф 6. О симметричном случайном блуждании на плоскости и в пространстве В главе 1 па с.
11 — 17 было рассказано о случайном блуждании па плоскости. Предполагалось, что частица выходит из начала координат (О, О) и перемещается по точкам плоскости с целочисленными координатами. Прп этом за один шаг частица перемещается из точки (х,) у) с вероятностями г!« в одну иэ четырех смея" иых точек (х + 1, у), (х — 1, у), (х, у -~- 1)г (х, р — 1) пезависимо от того, где паходилась частица до точки (х, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
