А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Аналогично можно определить симметричное блуждание в трехмерном пространстве« частица перемещается из точки(х, у, г) аа одиншагв одну из шестнточек (х + 1, у, г), (х — 1, р, г), (х, у + 1, г), (х, р — 1, г), (х, у, г + 1). 4 л. н, Колмогороа з лр 97 решил на нр остра Воза кир сходи ваго в двух »ие к ря сходится к 1, ряд Х иг„расходится. Зто поведение есть проявление общей закономерности, ко докааана в главе 6 (см. $2) и состоит О Х»2« = 1 тогда и только тогда, когда Х иг„—— со; «=1 «е словами, вероятность возвращения в начало равна 1 или л»вньи»с 1 в зависал»ости от того, или сходится ряд Х и2„.
например, если ряд Х и «=2 =е дится, т. е. Х и»„=з с" со, то, суммируя обе част пошевня (1)»ю»г > 1, получаем слева таран в то каор расх (х, р, г — 1) с вероятпостяии %. В 13 мы раэ рос о воавратности симметричного блуждания Рассмотрим эту же задачу на плоскости и н пр ) (окажем, что двумерное случайное блуждание а трехмерное, вообще говоря, невозвратно. Введем снова вероятности иг„ н )2«. Ка и,„— вероятность возвраще»»ия частицы в н поженив в момент 2к, а )2« — вероятность пер щения в момент 2и. Оказывается, что в случае измерений с-тается справедливым соотноше» « и»~= Х»2»и»«ви и)~ 1, » между и»„н )2«(это легко проверить, используя жепия при выводе этой формулы в одномерном см.
лемму в $5 на с. 92). Наша аадача состоит в том, чтобы показать, плоскости Х 6„=1,а в пространстве Х 12„(1. пим, »то в одномерном случае в то время ка рати и тред:~';!;'-:»,,') ф" д Х ~а":;:.::".'',~"-'!~ р дой!,'::)--;,.3 будет',,',-~" ';.'",':~ м, чтр";:; ~ иными,*;, 2«схо-,.;:,"„-'«; '1 Х .— Х . — Х 2 Ч1 и„,= Х иг„— ио = Х»»ь1 — 1, «»«о так как иг = — 1„и справа Х ~ Х )2»и»«-24 = Х )22 2 и2 ° «» 2=2 2=» «=-О 'Хаким обрааом, ;~~ пж — 1= ~Х6 ~ иж, (2) <» Поэтому ~~~) ~,„= 1 — — (1. 1"слн ряд ~ в „расходит» З-О С» ся, то,Р~ (, = 1. В этом параграфе мы только воспользу»=1 емся зткм утверждением, а доказательство отложим до $2 главы б. Исследуем сходимость ряда ~~~~ и,„в двумер»=о пом и трехмерном случае и на атой основе сделаем заклгочение о возвратности соответству!ощего блуждания. Найдем и,„в двумерном случае.
Общее число путей пз начала координат длины 2п равно 4т». Для того чтобы в момент 2л частица оказалась снова в начале координат, число пгр мещений вверх должно быть равно числу перемещений вниз, а число перемещений вправо — числу перемещений влево. Поэтому, если Й вЂ” число перемещений вверх, то число перемещении вниз равно я, а число церемещений вправо, так же как и число перемещений влево, равно и — Й. Так как ири этом последовательность перемещений вверх, вниз, вправо, влево произвольна, то искомое число путей равно (2») ! » ~А' з)ь)( — ь))( — г)! Поскольку 1с может принимать значения от 0 до п, то общее число путей, заканчивающихся в момент 2п в начала координат, равно %'ак как ~ (С'„')' = ~ С~»С» г =Сз», то зто число Равно г-.-з а=а 4' 99 Еще раэ воспользуемся приблия'енным представленным С,"„при больших и ио формуле Стирлинга.
Получаем . ",'. -зе ю ! ! па„ 4 2 яп яс ' . яю (2),::,','-';,"'х-'.. эвратно.:: .-',:„-",, я в шь'::-':.:.,",. ) в (Я"„::::~~:: '; откуда следует, что ряд ~ их„расходится. Поэт н О я, относящ неся к соо тношея е. блуждание во В трехмерно чало координат учае вер ~ент 2п р оятнос авиа ть воэв по анало ращенв тип с (3 (2л)! д у! у'! (и — ! — П! (с $! у'! (ив Выраясения С„(у, у) =, . циентами в так нааываемом — ! — !)! триноми (а + о+ с)" = С„(у, у ,2) 3 С„(у,у).
о ь!-зЮ~ Поэтому (3-"С„(у, у))э ч,. шах (3-"С, (у, у)1 9%1+уча ОФ+жа а иэх ~ (2 ~С~) шах (3 "С„((, у)). эч~+учв ','."й „,„'р и„. 100 (С~,)э. Таким обраэом, и„,=4 ~(С,"„)' польауя соображени эаключаем, что ~ у,„= х, т м сл в мох Полагая в этом разложении 3"= Х вЂ” ! — у)! — П! .) (6):.'.':;-;,' являются коэффи:,".~~ ом раэлоя!енин,,''.",,' (; ) а10Ус 1 если я делится на 3 и при 1=1=— 3 и — 1 пря 1=1=— 3 3 прн и+1 если я — 1 делится на 3, если и+ 1 делится на 3.
Во всех трех случаях,испольвуя формулу Стирлинга, получаем, что яри больших и Вероятности 3 Си (1, 1) достигают своем "максимального вначеяия шах 13 'С„(1, 1)) — — (с — постоянная). о~г ЬЖи Так как 2 Са — =, то ити в (6) по порядку не превосии и 1 Каи ходят 1/яЧ*. Отсюда следует, что ряд ~ ати сходится н и е и конечному пределу, и, следовательно,Я Д,„~1, т.
е. симметричное блуждание в трехмерном пространстве не- ВОВВРатНО (ВЕРОЯтНОСтЬ Г= 3 1тиВМЧИЕЛЕНа И ОКавапаСВ близкой к 0,36). Таким обивавом, замечательное свойство воввратности одномерного симметричного случайного' блуждания сохраняется в двумерном случае и утрачивается при больяем числе намерений. ГЛАВА 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ й $.
Понятие случайной величины В об постоянно и когда ин ь различные тельств. Ск ию в течен я дать стр вызовов з ржено случ так яле н ых происше -либо насел подобных си ми величин быть разлн о нужно зна исчерпываю речень тех з о этого дал тавить себе одни и те же для приме при каждо Одних этих ктеризовать ьно сообщит ыбивает то ая характер ок А лучше, испо очков В данном и ыдеянои жив н риходится встр тересующая на значения в за олько вызовов ие ближайшего ого определен а определенны айным колеба ет возможност етний в течел енном пункте. туацяях прихо ами, т.е.
велич чны в зависим ть о случайно щие сведения7 печений,котор еко не достаточ величины„ кот значения, яо с ра имеются два м выстреле по сведений, коне меткость стр ь вероятности, или иное чис. истика уже воз поскольку он и реже зыбива римере сравпел и н в научных иссл ечаться с такими с величина может зисимости от случ поступит на телеф часа7 На этот в ного ответа, носк й промежутоК вр киям ото дня ко и указать точное гне предстоящих су дится иметь делос инами, значения ко ости от случая.
й величине, чтобы В первую очередь, о ые она может прини но. Действительно, орые принимают разными вероятно стрелке А и В, ко мишени выбить О, чно, недостаточно, елков. Если же которыми квжд чо очков (см. таб можна. Нет сомнении чаще выбивает на ет минимальное чис лие случайных ве 102 пнях цнямл нимат обстоя станц келье число подве Точно уличи каком В чайны могут Чт о ней но, пе Однак праде ности Пусть могут очка. охара интел яих з то так стрел шее ч ков. едова- ". -.~":"., ейных о слу; .';"ф"." то рыла,:,'!»!яв.",» мать;~»"':;»й чтобц!! ":,! допОЛ-.:,:;:,:»)~.,;..
ый и»' -;"'-"-'-" лицу)',-:";::!~~';: о,в ОД5 Й,25 несложно, по можно привести и другие примеры, в кото- рых такое сравнение затруднено, Принято определять случайную величину как число- вую функцию, определенную па множестве исходов. Если все возмоя~ные исходы исчерпываются множеством Е„Ез,..., Е„, то любая числовая функция Е (Е,) явйяется случайной величиной. Прп таком определении на случай- ные величины распространяются все правила действий с обычными функциями: пх можно складывать, вычитать, перемножать и т. д. П р и и е р 1.
Пусть имеются шесть исходов Еы 1 = = 1, 2, 3, 4, 5, 6, вероятности которых равны между со- бой. Определим на атом множестве следующие случайные величины: а) Е,(1) =-1, Е,(2) =2, Ег(3) =-3, Е (4) =- 4, Е, (5) =- 5, Ег (6) =- 6; б) Е (1) = 1, $, (2) = 4, Е, (3) = 9, ) Е (4) = 16. Ез (5) = 25. $з (6) = 36; ,) Е, (1) = 1, Ез (2) =- О, Вз (3) =- 1, $з (4) = 0 Ьз (5) = 1* Ез (6) =- О г) Е„(1) =О, Е (2) =-О, Е4(3) =1. Е (4) =- О, Е (5) = О, Ь~ (6) = 1", д) Е, (1) = -1, $.
(2) = 1. Е (3) = — 1. Ез (4) =. 1, Ез"(5) = — 1, Ез (6) = 1. Сумма случайных величин Е, н Ез дает новую случай- ную величину ц, которая определяется ие равенства з1 (.Е,) — -- Е, (Е,) + Ез (Е;). Следовательно, зд (1) — — 2, з1 (2) =- 6, д (3) = 12, 6 (4) =- 20, П (5) = 30, 1)(6) = 42. Ив определения случайной величины с помощью осповныл свойств вероятностей мы мод.езд найти верояттю- 1СЗ ет то ~ через на нето, ость то исимо зможнвне, сего мно сти, с которыми случайная величина принима иное из возможных своих значений.
Обозначив событие, состоащее из всех тех исходов Еи рых $ (Е ) принимает значение с, тогда вероятн что 5 (Е;) примет значение с, равна Р (В,). В зав от значений с событие В, может оказаться нево состоять нз одного исхода, на двух и даже нз в жества исходов. В примере 1в) мы моясем записать такие рав Р(5з = О) =0,5; РЯз =- 1) = 0,5.
енства:,',.',:,.',:„-':~~~!':-': "(> В примерах 1г) и 1д) Совокупность значений, которые мо>хет и случайная величина$, и вероятностей, с которыми принимает, называют распределением случайнои нм $. В примерах 1а) и 15) уже сразу определены левин. Для примеров. 1в), 1г) и 1д) распределе ли только что выписаны. П р и м е р 2. Пусть случайная величина числу выпадений герба при 10 бросаниях монет значения принимает случайная величина $ и с вероятностями? Очевидно, что ч может принимать любые цел ния от 0 до 10 включительно с вероятностями 1 Ра=0)= — „.. Р(~=1)= —,„„, (ь — ) з>0 ''''> б и Ра=о) ==,; Ра,= 1) =,'; Р(Ь= — 1)=0,5; Р(Ь=1)=0,5. Выделим один важный класс случайных Пусть Š— некоторое случайное событие. Опред чайную величину )(в посредством равенств (О, если Е;~-=Й, М(Е;) =11 ::у; рннимать.,:.;", она ин:.!:„.-':.':",-.; ееличи'': .';;;" распреде«,'!:: $~":,'..;> ния бы>':;,:;,''~ф!:: ') равна~„:;.'":.,';-'~!,"':;: ) ы.
Какйн' "!~-„'> ые значе':.."~ф елим еще.:;„" ".", Эту величину называют карактсристической 1бйнкипсФ:. или индикатором собьгтия В, поскольку по событию мс~кно найти его характеристическую функцию, а по функции Хз (Е,) — поРодиншее ее событие В. Легко проверить, что случайные величины у„,(Е() н.
Хв (Е,) удовлетворяют следующим свойствам1 ХА (Е1)'Хв (Е$) ХАВ (Е!)ю Хл (Е1) + Хн (Е1) Н ев (Ед ХАЕВ (Юэ 1 — Хл (Е1) Хл (Ю. Рассмотрение характеристической фуякции события полезно тем, что оно позволяет свести операции над событиями к соответствующим действиям над характеристическими функциями событий. Две случайные величины $ и е) назьшаются нееааисилеьки, если для любых а и Ь имеют место равенства Р($ а) Р(й Ь) Р(с а, 6 Ь). ,~ П р и м е р 6. Пусть случайная величина $ равна числу очков, выпавшему при первом бросании игральной кости, а 6 — числу очков, выпавшему при втором ее бросании. Докажем, что случайные величины $ и ц независимы при условии, что все исходы двух бросаний кости равиовозможны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
