А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1'асс ютрим несколько примеров. П р и м е р 1. В семье 10 детей. Считая»за упрощения, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются О, 1, 2,..., 10мальчиков. Заметим, что в силу равенства С„=. Сс и и предположения р = д = 0,5 имеют место равеяства Ра (т) Р„(п — т). Таким образом, Рж (0) Р„(1.0) = Сз ° — „ 1 1 45 ю( ) Рж(8) Сю ' 2м 120 Рю (3) = Рж (7) = Сю ° —, а==в 1 210 2"' 1024 з 1 252 Рм(5) = См '— 2~О 0024 Мы видим, таким образом, что почти с вероятност "' 0,25 в многодетной семье с десятью детьми половина бу' "' мальчиков и половина девочек.
Вероятность же того, в семье будут тольке мальчики или только девочки,оче мала — чуть меныке одной пятисотой. С вероятяост 072 21 2 — — в столь многодетных семьях будет четы '"" 1024 з2 3 )4яальчика и жесть девочек, или пять мальчиков и пять Эочек., нлн жесть мальчиков и четыре девочки. х П р и и е р 2. На нскытательпый стенд поставле " з00 конденсаторов. Известно, что вероятность пробоя ко"", ' енсатора до истечения 10000 часов равна 0,01. Чем' 1 анны вероятности того„что за 10 000 часов откаж ~', 1, 2, 3 копденсатора7 ' Согласно формуле (1) имеем Р жо (0) 0 99мп = 0 3660 Рпм (1) =- 100'0,01 0,99з' = 0,3697, Рки (2) = — 0 01' 0 99" = 0.1848, Рпе (3) = ° . 0 01з 0 99м = 0,0185 Вероятность того, что зо время испытаний будутп боп более чем у трех конденсаторов, очепьяевелика':. о яа равна: 1 — (Р„„(0) + Р „(1) + Рамзе (2) + Рпм (3)) = 0,01 вз П р и и е р 3.
Известно, что в некотором городе родилось 400 детей. Чему равна вероятность того, что число родившихся мальчиков оказалось между 180 и 220, если вероятность появления мальчика при кшкдом рождении равна 0,5? Пам нужно найти вероятность того, что число родившихся мальчиков будет равно или181, или182, или183,... ..., или 219.
Если граничные значения — 180 пли 220— я елательно включить в интересующую нас группу событий, то нужно к полученной сумме прибавить и вероятности двух етих событий, Итак, искомая вероятность равна или оао мо Р ~' Рооо(™) = Р~ бооо' вом та ОВВ =гав ооо оооо Однако вти вероятности отличаются друг от друга июнь мело, поскольку Рооо (180) = Рооо (220) = 0,005. П р и м е р 4. Два шахматиста условились сыграть 10 результативных партий. Веронтность выигрыша каждой отдельной партии первым игроком равна 2/3, вероятность выигрыша каждой отдельной партии вторым игроком равна 113 (ничьи не считаются). Чему равны вероятность выигрыша всей игры первым игроком, вторым игроком, общего ничейного реаультата7 Для того чтобы игру выиграл первый игрок, ему необ-.
ходимо выиграть 6, 7, 8, 8 или 10 партий. Вероятность етого в силу формулы Ьернулли и формулы сложения вероятностей равна Рва (6) + Рва (7) + Рво (8) + Рво (9) + Рво (10) ~" —, ° (210 + 240+ 180+ 80 + 161 = Вероятность ничейного результата равна Рво(5) С(оЯ ~ 2) — ', =0,1366. а а, н, Коооогоров о од. Вероятность выигрыша игры вторым игроком равна Р„(0)+ Рю(1)+Р,о(2)+ Рго(З)+ Рго(4)= ':й "4Н вЂ” ')' '-( — ')'(+7= '"" ="::-:: -'- и й Мы видим, что, хотя первый игрок выигрывает каор(- дую отдельную партвю с веронтностыо вдвое бельгией "Ф чем второй игрок, всю игру он выигрывает с вероятйб". стью, более чем в десать рав большей, чем веронтпост~~'. .ныигрыша всей игры вторым игроком.
Для второго игроК1(,:. вероятность сведении игры впнчгло почти вдвое больш6',,'; чем всронтность ее выигрыша. Рассмотрим собьггие Еао заключающееся в том, чтид событпе А появилось т рав в и независимых нспытанпнх,'~;- Обратны внимание па то, что события Е, и = О; — 1~, 1, 2,..., и, являютсн несовместными соГ>ытиями н вдо-'„."1~ банок в сумме составляют достоверное событие. Следе"*,"~ вательно, так как Е~ происходит с вероятностью Р„(нф»-''-,',",,', те .'3 ~ Р„(лг) =1. т=о „-Д Заметам, что, с другой стороны, для каждого испытании, имеет место равенство р + а = 1, анри п испытаниях, нн,::;: основании теоремы умножения вероятностей, (р + а)" =- 1. Таким обраяом, на сравнения левых частой двух только'"':- 5 что написанных равенств находим, что П (р + д)" = ~, Р„(т) = ~ С„р а =О о=-о о Мы волучилн частный случай так пааываемой формулЫ; Салама Ньютона.
рассуокдения настоящего параграфа, как мог наме-. тить внимательный читатель, по существу не связаны,. с классическим определением вероятности: рассматри- ') ваются испытании с двуми взаимоисключающими исхо-.: дами, имнощимп веронтностн Р () з Р з 1, в ~ 1 — Р не обнаательпо равные друг другу. В данных здесь при. мерах мы уже не мол'ем находить веволтностн по сообра 66 1кеяиям симметрин, а должны прибегать и нх статисти шскому определению. Даже в случае р = р = Чз мы с помощью формулы Бернулли приходим к испытаниям с исходами#ии..., Е„, которым соответствуют р а з л ичн ы е вероятности Р„ (и) = Се3'(Чз)". Такимебразом, под ' вероятностью отдельного исхода понимается любое йолоя!птельное число, ие болыпее 1, которое удовлетворяет требованиям, выделенным нами в качестве основных' свойств вероятности.
Изучим теперь вероятность Р (и) как функц1по целочисленного аргумента т. Примеры 1 и 2 наводят па мысль, что следует ожидать такого ее поведения: сначала прн возрастании аргумента и функция Рл (т) возрастает, затем достигает максимального зиаченйя и после этого начинает убывать. Докажем, что это действительно так. С втой целью рассмотрим отношение Рл (и+ 1) л! Р (и) (и+ 1)! (л и 1)! л! л — И Р рт+\ул-и 1 ' Р дл и * ' и! (л — и)! юл+ 1 * т Вероятность Р„(т+ 1) будет больше, равна или меньше вероятности Р„(ш) в зависимости от того, будет ли отнол — и р шение — ° — больше, равно или меньше 1.
В частности, и+! т Р„(ж+1) больше,чем Р (и), т. е. возрастает в точкою, если л — и р и+1 ч т. е. если т <лр — о. Таким образом, Рл (и) возрастает при увеличения'т от О до пр — о. Если и+1' т т. е. если т пр — о (зто равенство возможно в очень редких случаях, а именно только тогда, когда пр — 6 есть целое неотрицательное число), то Р„(т) = Р„(лз -)- 1). т.
е. если т > пр — 1). Теперь поведение функции Р„(т) мы выя постыл. оно возрастает, пока т остается малые достигает максимума н для т, ббльших ир— Если величина ир — д является целым, то и наибольших значения вероятности, а именно — 7) = Р (яр+ р)- Если же ир — о — нецелое число, то име ственное максимальное значение Р„ (т) при т пр — о и меныпем ир + р.
П р и м е р 5. Вероятность события А Найти число появлений события А, имеющее п вероятность, еслч число испытаний равно 19, При и = 19 находим Таким о для двух равна бравом, максимальная вероятность достигается;ь значений т, равных 11 н 12. Эта вероятностугс Р„(11) = Рг, (12) = 0,1797. сн и = 20 максимальная вероятность достигается'!!; для одного значения т, поскольку ир — д='-, 2 2 — — = 12 — — пг является целым числом. Самое,:";,",:-"; 5 е качение т равно 12. Вероятность его появления."" Прн только 3 =20' -5- вероятно равна Р„(12) = 0,1797 Наконец, Р„(т + 1) с.. Р„(т), если Я вЂ” жР11 и+1 о 3 2 ир — о=19 — — — = 11 5 5 спили под~! им ир — у:!~".
д, убыванг".~; моется двф; гу ется един-:,-",-„ , болыпеь~; равна 3/б'.::-,"е аибольшуФ; 20. Совпадение чисел Р е (12) н Р,е (12) вызвано лпшь сочв танием значений и и р н не имеет общего характера. Упражпеквя !. Воспользовавюпсь раосуждепкяып, проведей-:. нымн прп выводе формулы Бернулли, доказать формулу Ньютова С (а)0 п 6)0): (а+6) =а + Сгая гЬ+... +Ь ° 2. В урне В белых и 1 красный жар. Какова вероятвость того,.;'„, зто пря 10 навлечевпях (с возвращенкам кап~лого вынутого жара) "'г~ ев будет извлечен хотя бм рее красный шар? Сколько рее нужно пронгеолить извлечения, чтобы зе»оятность получить хотя бы рее красный шер бмяе не меньше 0,91 /9 >ю 1301 Ответ.
'1 — ) — ~ ж 0,65131 — 22. >10/ ' " 1309 3. Нейтрино пролетает сквозь Землю с нероятностыо 249 999/250 000. С Какой еероятностью нейтрино пролетит сквозь 250 ООО земных шаров, сквозь 500 000 шеронР Ответ: =в > 0,3679; в е — 0,1353. й б. Теорема Бернулли Кы можем теперь сформулировать и докааать одну нз важнейших теорем теории вероятностен, найденную Я, Бернулли и опубликованную уже после его кончини в >7тЗ году.
Задача, которая привела Я. Бернулли к формулировке теоремы, получившей наименование' закона больших чисел в форме Я. Бернулли, очень естественна и может быть описана так. В каждом из и независимых испытаний Бернулли с одной н той же вероятностью р моя>ет появиться некоторое событие А. В предыдущем параграфе мы установили, Фто наиболее вероятное число появлений события А в п испытаниях близко к пр.
Нельзя ли высказать несколько болев определенное суждение относительно числа появлений А во всей совокупности этих испытаний> Оказывается, >южно. Обозначим с этой целью через р число появлений события А во всех и испытаниях и рассмотрим разность р/и — р между частотой р/и события А и его вероятностью р. Величина этой разности, естественно, зависит от случая, поскольку р может принять любое целочисленное значение от 0 до и. Однако, как мы увидим, чем больше п, тем реже эта равность сможет значительно отклониться от О. Болев того, каков бы малов полон<нтельиое число е мы ни взяли, например, 0,000$ или 0,000001, при достаточно большом п разность р/и — р по абсолютной величине окан>ется с большой вероятностью меньше, чем е. Дадим теперь точную формулировку этого утверждения Бернулли.
Закон больших чисел (теорема Бери у л л и). Если вероят>шсть наступ ения некоторого случайного события А в последовательности п нсгависил>ых испытаний постоянна и раен р, то, каково бы ни 39 тпостью, сколь м и ризпос1пь р меиыие; чем ь следуя)д(цм о нри достаточн Дрен1де чем перейти к доказательству теоремы нулли, вычислим следунчцие суммы: ычислено в п и „'р1 Р„(т)=1 п=о Теперь )1Р Ч" р»Ф-1 дй-В~ »3=-1 и! — 1)! (и — 1»)1 р ч (и — 1)1 (»1 — 1)1 (и — 1»)1 ри-1аи-»: 1 С~' „рга(и и 1= П а основании равеи,-, 1. Итак, Й и ~~~~ тр„(т) = пр 70 была полозсительиое число е, с вероя близкой к 1, при достд1дОЧ))б 6альшо по йбсолютной величине окилсется Это утверждение мржцо ваписат каковы бы нп были е~ О и т) > О, том и имеет место неравенство Р ( ( )1(п — р ) ~..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
