А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Будем рассматривать все пути из (О, О) з (х, у), обладающие тем свойством, что ординаты всех промежуточных вершин меньше у, н будем называть такие пути путями, впервые достигающими уровень (наложение) у в момент х (или путями первого достижения у). Л е м и а 3. Число путей, выходящих ив начала ноорд«нат и впервые достигающих уровня у, у)О, в момент х, равно — Х,(х, у). У Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим все пути, удовлетворяющие условию, и будем проходить каждый такой путь в обратном направлении.
Для зтого выберем новую гастону координат с началом в точке (х, у) и осями, которые параллельны и противоположно направлены соответствующим осям исходной системы координат. Очевид«о, что вобрзщенныйа путь удовлетворяет условвпо леммы 2, т. е. является полол'игольным путем из нового начала з точку с координатами (х, у) в позой системе (см.
рнс. 23). Том самым установлено взаимно однозначное соответствие между двумя тгшами путей. Используя результат леммы 2, получаем утверн'дение леммы. По симметрии, число путей, впервые достигающих уровня — у, у ) О, равно — ' Ь(х, у). у Докажем в заключение одно простое следствие леммы 1, которое будет полезно в последующих рассуждениях. Л е м и а 4. Число положитсльных путей, выходя«,'«х ив начала координат и заканчивающихся в точках с обсциссой х > 1, равно С;.~~, при х четном и ровно С~":,1 ири х нсчстноль Доказательство. Мы доля<вы найти числе всех путей, ведущих нз (О, 0) в мнозчество М точек (х, у), кишащих одинаковую абсцнссу х н ординаты у ) О.
Бее '«'1 «пе пути необходимо проходят через точку (1, 1). Число «упй оз (1, 1) в М равно Х 1,(х — 1,у — 1), а число путей иа (1, — 1) в М равно ~ Ь(х — 1,у+1)» у, =- 2 прн х четном н у„=- 1 прн х нечетном. х'Огдв ' йомме 1 число путей на (О, 0) в точки множества М рав ' ~, С(х — 1, у — 1) — ~~ А(х — 1,у+ 1) = 3~-м В Р х =Ц вЂ” 1 у — 1) + Х С( — 1у — 1)— е=е»+2 — ~ Ь(т — 1,у+ 1) =Ь(х — 1,уе — 1) = С'~'и х четно,:-'"„ С~":,"", х нечвтн((-''- С л е д с т в н е. Общее число положительных и от цательних путей, выходящих иа начала координат и' "".' иончивоющихся в точках с абщистой х, равно 2Са„т,, С~„нри х = 2н и ровно 2С~ при х = 2н + 1. Упражпевпя 'Ъ 1, Покажвте, что число положительных путей „ ( х'1 (О, О) в (2Я, О) Равно — Са,те.
2, Покажите, что число веотрвцательвыл путав ва (О„ в (2я, 0) ревио + с „. 3» Покажите, что число кеотрпцательвых путей цлаиы равпо С~~„. 4» Исволъауя лемму 1» докажите, что число путей первого ф~!'' стяжения точки у в момент 2л — у реево равности мея»ду числом '.",*' жй ва (0,0) в(2я — у,у) и удвоевяым числом путей вэ (0,01 (Ь вЂ” у — '1, у+1). ' й, Докюките, что число путей иа (О, 0) в точку (х, ае), ае'.~ которые лея»а»г выпю прямой В = — у, В» ) О, равно Ь (х, уе) й (*.
ее+ 2ет)» (Испольауйте пряицпл отражевпя прпмепптельпо к пряма(~~ '$ и= ум) 6. Д окажите, что число путей па (О, 0) в (х, ус), и, > О, кот лежат виже прямой у* уа, у,лус, равно й(х уе) У (х,2а — не)» Испольауйте еадачу 5.) В 3. Задача о возвращенви частицы в начало координат Зтот и последующие параграфы яосвящекы собственно симметричному случайному блужданию ка прямой. Основываясь только на комбинаторных свой-. ствах путей (фактически только на лемме 1), мы получим некоторые глубокие я неол<иданные закономерностнпове- дения блуя.дающей частицы. Наши предсказания, в пер- вую очередь, будут относиться к возвращению частицы в исходное положение и достижению ею некоторого уров- ня.
При решении задачи о воавращении будем рассмат- ривать пути, соединяющие начало координат с точками (л, О), где х = 2л, так как возвращение частицы в нуль может происходить только в четные моменты времени. Событие, состоящее в том, что возвращение в нуль про- изошло на 2л-м шаге, связано лишь с первыми 2я пере- мещениями частицы. В силу симметрии все 2'" возможныа траектории длины 2л оказываются равиовозможными. Поэтому вероятности возвращения вычисляются подсче- том соответствующих путей на отрезке от 0 до 2л. Пусть ит„— вероятность возвращения частицы в 0 в момент 2я.
Так как число путей, соединяющих точки (О, О) и(2я, О), равно Е (2я, О) = С~„(см. формулу(т) $2), то иэ„=* С~ 2 ~". Пусть ~ „— вероятность первого воа- вращения в нуль в момент 2л. Для определения Д,„мы найдем соотношение, связывающее Дэ„с вероятностью и„,. Л е м м а. Ври я ~ 1 Ьи = лай-э лта. (1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть событие Аэ„состо- ит в том, что путь до момента 2п включительно нигде нв' обращается в нуль. По лемме 4 $2 Р (А,„) иэ„.
Пусть событие В состоит в том, что в момент 2л имеет место воз- вращение в куль. Тогда событие Ат„э () В означает, чтя, первое возвращение в нуль произошло в момент времени 2л, я поэтому Р (А,„~ () В) ~ Дт„. Очевидно, что (А .()В)()(А=.~)В)- =. где  — дополнение события В. Так как события, стоящие в скобках, несовместны и Ат„э (") В =~ Аэ„то Р(А„„() В)+ (А,„)-Р(А,), что н приводит к соотношению (1). ( 1 или 1,„= —,гг„,,). х Соотношение (1) можно также доказать как комбвнаторное тождество, если вероятности /,„в вычислнть, непосредственно применяя лемму 2 упражнение 1).
Используи формулу (2), нетрудно проверить роятности первого возвращения в нуль, напри 2-м, 4-м, 6-и шагах, равны соответственно 1з = 0 5 ~г = 0 125, ~е = 0,0625. Вычисление 1,„для небольших значепий и удоб водить, используя табличку значений вероятн Для болыпнх аначений и могкко вычислять )е, прггблгг- жепно, .польауясь таблицами логарнфмов (см. с. 24) пли формулой Стирлинга. По формуле Стирлинга (см.
с. 25) при больших и пг ггг'е"" у' 2лп, откуда п тл Сга.— 2 Позтому Интересно узнать, каковы шансы на воавращение частицы в нуль за некоторое конечное время., Например, вероятность вернуться в нуль аа 2 шага равна 1г = 0,5, за 82 Следствие. При п~>1 1 и гк-г1 гг = — Сг-2 2п — 1 1 1 ош = н Ьа Уж х)г-„„ч* просто~ виде (2) $2 (см. , что вемер, ка во произ- остей и,„г 4 шага ~, + ~в = 0,626, за 6' щагове 'уз.+у' +"у = 0,6875 и т.
д. Очевидно, что вероятность ввзвращейй)( частицы в нуль за время 2и равна й+Л+ ° ° +)з' По лемме получаем, что ),+ ... +7з„=(1 — и)+ ... +(и„„-и„'„) —" — (з) т. е. и,„— вероятность противоположного события., Пользуясь приближенным значением из„при болыпих и, можно вычислить, например, вероятность возвращекнй .- за 100 шагов — 0,9202, за 1000 шагов — 0,9748, за 10' ООО::; шагов — 0,9920.
Заметно, что с ростом и вероятноетн из„".' . е стремятся к О, а вероятности Х 1м возрастают н прибли-. в=1 жаются к 1. Какова же вероятность того, что частица,...:, когда-либо вернется в начало координат? До сих пор 'мы, рассматривали вероятпостн в конечном множестве„'воз-'.", можных событий, а для корректного определения йдче-": '' ' ресующей нас вероятности необходимо рассматривать 'бес-::,, конечное множество траекторий.
Для того чтобы не выев'".:,": дать за рамки конечной схемы, мы упростим рещенввд задачи к предположим, что событие, заключающееся' в вом,'.. что частица рано клн поздно вернется в нуль, имеет определенную вероятность, которую мы обозначим череа г. Тогда (4) )2+)4+ ' ' +)вв+ Теперь мы можем докааать замечательный результат о возвратности симметричного случайного блун~дания 'иа прямой. Т е о р е м а. Возвращение частицы в нуль ироивходизи с вероятностью 1. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из формул (2); (1) и (4) имеем г=(1 — иД+(и,— и)+(и,— ив)+.. *=1. Таким образом, возвращение частнцы в нуль является событием с вероятностью 1. Оказывается, однако, что момента возвращения приходится ждать слишком долго. Для того чтобы в атом убедиться, найдем среднее значение. периода времени до возвращения частицы в нуль. Так ясоответств ия воавраще осходит неко ствуст случ рвется в н большим ие значения я как каждому значени(о 2и времени ожидани вероятность |,„, то среднее время оя(идан частицы, если время наблюдения не прев рого момента 2(((, равно ~ 2лйз~ + И~а((с. с=( Последнее слагаемое в этой сумме соотвст когда за время 2Л' частица ни разу не ве ( ~ /,„+ в,я =1, см, (3)).
Очевидно, что с 1 чепиям Л' соответствуют довольно больш раження (5). Оценим значение выраженв ует':.;.".-:.';й то-. (5) Я~ 2пД расходится Я) и, следовательно, средне нне времени воавращения бесконечно. Итак, частица обязательно вернется в динат, и, стало быть, побывает там бесконе по (среднее) время ояпщания даже первог бесконечно. Можно ли утверя(дать, что нат — единственная точка, которая облад ством9 Ответ на поставленный вопрос да дачи о первом достижении некоторого у По лемме 3 2 2 вероятность того, что точ у) О будет впервые достигнута при аб (и) (( гота)м 2-х Кх = — „Ох ов Р гя с-х~н-(( 2я — уыхсР Положим в (7) у= $ иполучим я,(„, =-2-~ — С,"„, (1) я расход ~ 2лу',„. ъ ( $ Так как при и-ъ сс )ж, и 2)((ж 2 Гсяян' О ~ у ~~ х.
Так как х + у четно, полож и перепишем (6), выразив х через 2п: ° ) Ряд расходятся (сумма бесковечка), есл следователькссть ковечвых частичных сумм, , то ряд:.-':,'.,.' $ е значело коорисло раз, ращения коордивм свой- ение зардннатой х,равна (6) + у = 2ы (7) . 2"'""— ится во- вероятность первого достижения прямой у ='1 в 'мох(е(гг 2н — 1. Как следует из формулы (2), 0) г л««-) =)«к Это соответствие между вероятностями первого достиже ипя точки с ординатой 1 и первого возвращения в .нуль,.-' позволяет применить доказанну(о теорему к решению за.
дачи о первом достижении. Следствие. С вероятностью 1 частица доел(пвавпе уровня 1. По симметрии, тот же вывод справедлив в отножений первого достия,епяя уровня — 1. Теперь интуиция подсказывает, что подобное утверж-. дение может быть сформулировано для лгобого уровня у( план точного доказательства см. в задачах 5 н 6. Общий итог параграфа таков: с вероятностью 1 блуждающая частица бесконечное число раа пересекает любом постоянный уровень, в частностн, бесконечное число рай возвращается в исходное положение, но среднее время- ожидания этих событий бесконечно.
Упражнения !. И«поль«у« лепку 2 1 2 для подсчета числа но;,, лсжктельпых я страдательных пут«й, соединяющих точки.(0, 91 и (2«, О), найдите вероятность й„. 2. В гберегательвую кассу стоят е очерелк 2« человек. Каяйплй ., вэ ввх с вероятностью (/2 вносят (О рублей клк с вероятно«таль., 1/2 берег (О рублей, В вач«львый момент времеви а кассе левах иеа Е!лйдпте вероятность того, что пк одкв к«тех, кто хочет лаять деньги, не будет жлвтвй Докажите, что «та вероятность раева к««, и пайляте ее точные в приближенные «вачепвя лля л 4; $, 6 '„. 3. Опираясь па упражнение 2 1 2, лвйлкте, что = С" .2 '"'" — С« .2 ««+«+'. ',69 '" Ггл-г = га-« ' ж-«-(' 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
